最后更新: 2026-05-18 18:53 查看: 143 次纠错评论(0) 课件开VIP

集合的运算★★★★★

## 集合的运算
给定任意集合 $A$ 和 $B$ ，可以通过集合的交、并、差、补、对称差等运算产生新集合。下面分别给出集合的这几种运算。

### 1．3．1 集合的基本运算
**定义1．8** 设 $A, B$ 是两个集合，由集合 $A$ 和集合 $B$ 中的公共元素组成的集合称为集合 $A$ 与集合 $B$ 的交集，记作 $A \cap B$ ，读作＂$A$ 交 $B$＂，即 $A \cap B$ 是由既属于 $A$ 又属于 $B$ 的元素组成的集合，用符号表示为：$A \cap B=\{x \mid x \in A$ 且 $x \in B\}$ ，其文氏图如图1．3所示。

![图片](/uploads/2026-05/42e1fa.jpg)
 
`例1.11` 设 $A=\{a, b, c, d\}, B=\{c, d, e, f\}$ ，则 $A \cap B=\{c, d\}$ 。

`例1.12` 设集合 $A=\{1,2,3\}$ ，集合 $B=\{a, b\}$ ，则 $A \cap B=\varnothing$ 。

特殊的，若 $A \cap B=\varnothing$ ，则称 $A$ 与 $B$ 不相交，或分离，此时的文氏图如图1．4所示。

![图片](/uploads/2026-05/13b660.jpg)
 
**定义 1.9** 设 $A, B$ 是两个集合，由集合 $A$ 和集合 $B$ 中所有的元素组成的集合称为集合 $A$ 与集合 $B$ 的并集，记作 $A \cup B$ ，读作＂$A$ 并 $B$＂，即 $A \cup B$ 是由属于集合 $A$ 或属于集合 $B$ 的元素所组成的集合，用符号表示为：$A \cup B=\{x \mid x \in A$或 $x \in B\}$ ，其文氏图如图1．5所示。

![图片](/uploads/2026-05/77e778.jpg)
 
 `例1.13` 设 $A=\{a, b, c, d\}, B=\{c, d, e, f\}$ ，则 $A \cup B=\{a, b, c, d, e, f\}$ 。
 
`例1.14` 设集合 $A=\{1,2,3\}$ ，集合 $B=\{a, b\}$ ，则 $A \cup B=\{1,2,3, a, b\}$ 。
两个集合的交和并运算可以推广成 $n$ 个集合的交和并，用公式表示如下：
 
$$
\begin{aligned}
& \bigcap_{i=1}^n A_i=A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \\
& \bigcup_{i=1}^n A_i=A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n
\end{aligned}
$$

**定义1.10** 设 $A, B$ 是两个集合，由所有只属于集合 $A$ 而不属于集合 $B$ 的元素组成的集合，称为集合 $A$ 与集合 $B$ 的差集，记作 $A-B$ ，用符号表示为：

$$
A-B=\{x \mid x \in A \text { 且 } x \notin B\}
$$

![图片](/uploads/2026-05/e68f3d.jpg)
 
 `例1.15`设 $A=\{a, b, c, d\}, B=\{c, d, e, f\}$ ，则 $A-B=\{a, b\}$ 。

`例1.16`设集合 $A=\{1,2,3\}$ ，集合 $B=\{a, b\}$ ，则 $A-B=\{1,2,3\}$ 。

由差集的运算可以直接定义补集。
**定义1．11** 集合 $A$ 的补集 $\sim A$ 定义为 $\sim A=E-A$ ，用符号表示为：$\sim A= \{x \mid x \in E$ 且 $x \notin A\}$ 。补集的文氏图如图 1.7 所示。

![图片](/uploads/2026-05/bf41cc.jpg)
 
 
`例1.17`  设 $E=\{0,1,2,3, \cdots\}, A=\{0,2,4,6, \cdots\}$ ，则 $\sim A=\{1,3,5$ ， $7, \cdots\}$ 。

**定义1．12** 设 $A, B$ 是两个集合，集合 $A 、 B$ 的**对称差**（或**布尔和**）定义为

$$
A \oplus B=(A-B) \cup(B-A)
$$

其文氏图如图 1.8 所示。

![图片](/uploads/2026-05/3eb7be.jpg)
 
 `例1.18`设 $A=\{a, b, c, d\}, B=\{c, d, e, f\}$ ，则 $A \oplus B=\{a, b, e, f\}$ 。
由例1．18可以看出，$A \oplus B$ 即集合 $A 、 B$ 的所有非公共元素所组成的集合。

## 例题
`例1.3` 设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ ， $A=\{1,2,3,4,5\}, B=\{1,2,4,6\}, C=\{7,8\}$ 。则 $A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\}, A \cap B=\{1,2,4\}, A \cap C=\varnothing$ ， $A-B=\{3,5\}, A-C=A, \quad \bar{A}=\{6,7,8,9,10\}, \quad \bar{B}=$ $\{3,5,7,8,9,10\}$ 。

若 $A \cap B=\varnothing$ ，则称 $A$ 和 $B$ 不相交。由定义 1.10 ，集合的差和交之间的关系为

$$
A-B=A \cap \bar{B}
$$

利用集合运算的性质和集合相等的概念，我们可以对集合运算表达式的相等进行验证。

**由定理 1．1，两个集合相等的充要条件是这两个集合互为子集** 即左式 $\subseteq$ 右式，右式 $\subseteq$ 左式。所以可以根据定义 1.1 ，由对任意的 $x \in$ 左式推出 $x \in$ 右式，再由对任意的 $x \in$ 右式推出 $x \in$ 左式，来证明两个集合运算表达式相等。下面先介绍几个例子。

`例1.4` 证明 $A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$ 。
证明：先证明左式 $\subseteq$ 右式，即 $A \cap(B \cup C) \subseteq(A \cap B) \cup(A \cap C)$ 。
对任意的 $x \in A \cap(B \cup C)$ ，根据定义 1．4，则 $x \in A$ 并且 $x \in B \cup C$ ，即 $x \in A$ ，并且 $x \in B$ 或者 $x \in C$ 。如果 $x \in B$ ，则 $x \in A \cap B$ ；如果 $x \in C$ ，则 $x \in A \cap C$ ；所以 $x \in(A \cap B) \cup(A \cap C)$ ，则 $A \cap(B \cup C) \subseteq$ $(A \cap B) \cup(A \cap C)$ 。

再证明 $(A \cap B) \cup(A \cap C) \subseteq A \cap(B \cup C)$ 。同理，对任意的 $x \in(A \cap B) \cup(A \cap C)$ ，根据定义 1．4， $x \in A \cap B$ 或者 $x \in A \cap C$ ；则 $x \in A$ 并且 $x \in B$ ，或者 $x \in A$ 并且 $x \in C$ ；即 $x \in A$ ，并且 $x \in B$ 或者 $x \in C$ ，所以 $x \in A \cap(B \cup C)$ ，则 $(A \cap B) \cup(A \cap C) \subseteq A \cap(B \cup C)$ 。

所以，$A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$ 。

`例1.5`若 $A \subseteq B$ ，则 $(A \cap B)=A, A \cup B=B$ 。
证明：若 $A \subseteq B$ ，对任意的 $x \in A$ ，有 $x \in B$ ，所以 $x \in A \cap B$ ；则 $A \subseteq A \cap B$ ；另一方面 $A \cap B \subseteq A$ ；因此 $(A \cap B)=A$ 。

对任意的 $x \in A \cup B$ ，则 $x \in A$ 或者 $x \in B$ 。若 $x \in A$ ，因为 $A \subseteq B$ ，则 $x \in B$ ，所以 $A \cup B \subseteq B$ ；另一方面 $B \subseteq A \cup B$ ；因此 $A \cup B=B$ 。

`例1.6`证明 $\overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}$ 。
证明：先证明 $\overline{A \cap B} \subseteq \bar{A} \cup \bar{B}$ 。
对任意 $x \in \overline{A \cap B}, x \notin A \cap B$ ，即 $x \notin A$ 或 $x \notin B$ ，故 $x \in \bar{A}$ 或 $x \in \bar{B}$ ，因此 $x \in \bar{A} \cup \bar{B}$ 。
再证明 $\bar{A} \cup \bar{B} \subseteq \overline{A \cap B}$ 。
对任意 $x \in \bar{A} \cup \bar{B}, x \in \bar{A}$ 或 $x \in \bar{B}$ ，如果 $x \notin \overline{A \cap B}$ ，则 $x \in A \cap B$ ，即 $x \in A$ 且 $x \in B$ ，与 $x \in \bar{A}$ 或 $x \in \bar{B}$ 矛盾，所以 $x \in A \cap B$ 。
因此 $\overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}$ 。

集合的并，交，差和补运算的基本性质概括如下。
## 集合性质

设 $E$ 为全集，$A, B, C$ 是 $E$ 的三个任意子集，则根据集合运算的定义，给出集合的运算定律如下，这些运算定律都可以通过定义推导出来。
（1）交换律：

$$
\begin{aligned}
& A \cap B=B \cap A \\
& A \cup B=B \cup A \\
& A \oplus B=B \oplus A
\end{aligned}
$$

（2）结合律：

$$
\begin{aligned}
& (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C) \\
& (A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C) \\
& (A \oplus B) \oplus C=A \oplus(B \oplus C)
\end{aligned}
$$

（3）分配律：

$$
\begin{aligned}
A \cap(B \cup C) & =(A \cap B) \cup(A \cap C) \\
A \cup(B \cap C) & =(A \bigcup B) \cap(A \bigcup C)
\end{aligned}
$$

（4）同一律：

$$
\begin{aligned}
& A \cup \varnothing=A \\
& A \cap E=A
\end{aligned}
$$

（5）互补律：

$$
\begin{aligned}
& A \cup \sim A=E \\
& A \cap \sim A=\varnothing
\end{aligned}
$$

（6）零一律：

$$
\begin{gathered}
A \cup E=E \\
A \cap \varnothing=\varnothing
\end{gathered}
$$

（7）幂等律：

$$
\begin{aligned}
& A \cup A=A \\
& A \cap A=A
\end{aligned}
$$

（8）吸收律：

$$
\begin{aligned}
& A \cap(A \cup B)=A \\
& A \cup(A \cap B)=A
\end{aligned}
$$

（9）双补律：

$$
\sim(\sim A)=A
$$

（10）德•摩根律（De Morgan＇s Law）

$$
\begin{aligned}
& \sim(A \cup B)=\sim A \cap \sim B \\
& \sim(A \cap B)=\sim A \cup \sim B
\end{aligned}
$$

（11）功能完备律：

$$
\begin{gathered}
A-B=A \cap \sim B \\
A \oplus B=(A \cup B)-(A \cap B)
\end{gathered}
$$

除了运算定律以外，还有一些关于集合运算性质的重要结果，例如：

$$
A \cap B \subseteq A \quad A \cap B \subseteq B \quad A \subseteq A \cup B \quad B \subseteq A \cup B \quad A-B \subseteq A
$$

`例1.7`证明 $(A \cap B)-(A \cap C)=A \cap(B-C)$ 。
证明：$(A \cap B)-(A \cap C)=(A \cap B) \cap(\overline{A \cap C})$

$$
\begin{aligned}
& =(A \cap B) \cap(\bar{A} \cup \bar{B})=((A \cap B) \cap \bar{A}) \cup((A \cap B) \cap \bar{C}) \\
& =\varnothing \cup(A \cap(B \cap \bar{C})) \\
& =\varnothing \cup(A \cap(B-C)) \\
& =A \cap(B-C)
\end{aligned}
$$

`例1.8`证明 $A \oplus B=(A \cup B)-(A \cap B)$ 。
证明:
$$
\begin{aligned}
&   A \oplus B=(A-B) \cup(B-A) \\
& =(A \cap \bar{B}) \cup(B \cap \bar{A}) \\
& =((A \cap \bar{B}) \cup B) \cap((A \cap \bar{B}) \cup \bar{A}) \\
& =((A \cup B) \cap(\bar{B} \cup B)) \cap((A \cup \bar{A}) \cap(\bar{B} \cup \bar{A})) \\
& =(A \cup B) \cap \overline{(B \cap A)}=(A-B) \cup(B-A)
\end{aligned}
$$

## 集合的推广
集合并，交可以推广到多个集合中去 
定义 1.11 设集合 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ ，定义：

$A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n=\left\{x \mid\right.$ 至少有某个 $\left.i, 1 \leqslant i \leqslant n, x \in A_i\right\}$ ，称为 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 的并，记为 $\bigcup_{i=1}^n A_i$ 。

$A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n=\left\{x \mid\right.$ 对于所有的 $\left.i, 1 \leqslant i \leqslant n, x \in A_i\right\}$ ，称为 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 的交，记为 $\bigcap_{i=1}^n A_i$ 。一般情况下，对于多个集合的运算，除对并（交）有结合律，交换律成立以外，还有如下定律。

设 $n$ 个集合 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 和集合 $B$ ，则有
（1）分配律

$$
\begin{aligned}
& B \cap\left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\right)=\left(B \cap A_1\right) \cup\left(B \cap A_2\right) \cup \cdots \cup\left(B \cap A_n\right) \\
& B \cup\left(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n\right)=\left(B \cup A_I\right) \cap\left(B \cup A_2\right) \cap \cdots \cap\left(B \cup A_n\right)
\end{aligned}
$$

（2）狄•摩根律

$$
\begin{aligned}
& \overline{\bigcup_{i=1}^n A_i}=\bigcap_{i=1}^n \overline{A_i} \\
& \overline{\bigcap_{i=1}^n A_i}=\bigcup_{i=1}^n \overline{A_i}
\end{aligned}
$$

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