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等价关系与划分

等价关系用于表示在现实的集合中＂物以类聚，人以群分＂的关系，因此等价关系和集合的划分有密切联系。

定义2．12 设 $A$ 是任意一个集合。 $A_i \subseteq A, A_i \neq \varnothing, i=1,2, \cdots, n_{\circ}$ 若 $\cup_{i=1}^n A_i=A$ ，且 $A_i \cap A_j=\varnothing(i$ ， $j=1,2, \cdots, n, i \neq j)$ ，则称 $\pi=\left\{A_1, A_2, \cdots, A_n\right\}$ 是 $A$ 的一个划分，其中每个 $A_i$ 称为划分 $\pi$ 的一个块。

例 2.21 设 $A=\{a, b, c\}$ ，考察下列几个由 $A$ 的子集所组成的集合是否是 $A$ 的划分：$P=\{\{a, b\}$ ， $\{c\}\}, S=\{\{a\},\{b\},\{c\}\}, T=\{\{a, b, c\}\}, U=\{\{a\},\{c\}\}, V=\{\{a, b\},\{b, c\}\}, W=\{\{a, b\},\{a, c\},\{c\}\}$ 。

解：因为 $\{a, b\} \cup\{c\}=\{a, b, c\},\{a, b\} \cap\{c\}=\varnothing$ ，所以 $P$ 是 $A$ 的划分；
因为 $\{a\} \cup\{b\} \cup\{c\}=\{a, b, c\}, \quad\{a\} \cap\{b\}=\{a\} \cap\{c\}=\{b\} \cap\{c\}=\varnothing$ ，所以 $S$ 是 $A$ 的划分；
$T$ 显然是 $A$ 的划分；
由于 $\{a\} \cup\{c\} \neq\{a, b, c\}$ ，所以 $U$ 不是 $A$ 的划分；
尽管 $\{a, b\} \cup\{b, c\}=\{a, b, c\}$ ，但 $\{a, b\} \cap\{b, c\}=\{b\} \neq \varnothing$ ，所以 $V$ 不是 $A$ 的划分；
类似可知 $W$ 也不是 $A$ 的划分。
定义 2.12 中的划分的块数也可以是无限的。
例 2.22 整数 $I$ 的划分 $\pi_1=\{E, O\}$ ，其中 $E$ 为偶数集，$O$ 为奇数集；$\pi_2=\{\{0\},\{-1,1\},\{-2,2\}$ ， $\{-3,3\}, \cdots\}$ 也是 $I$ 的一个划分，其划分的块数是无限的。

定义2．13 设 $R$ 是集合 $A$ 上的二元关系，若 $R$ 是自反的，对称的和传递的，则称 $R$ 是 $A$上的等价关系。若 $(a, b) \in R$ ，则称 $a$ 与 $b$ 等价。

如果给出了一个 $A$ 上的等价关系 $R$ ，怎样对 $A$ 进行划分呢？
例2．23 设 $A$ 是一个学生集合，定义 $A$ 上二元关系 $R:(a, b) \in R$ 当且仅当 $a$ 与 $b$ 同年龄，则容易验证 $R$ 是等价关系。 $A$ 按年龄进行分类，如设 $A_1$ 为 18 岁的学生集合，$A_1 \subseteq A$ ；设 $A_2$ 为 19 岁的学

生集合，$A_2 \subseteq A ; \cdots$ 这样的分类显然是 $A$ 的划分，$A_1, A_2, \cdots$ 则是 $A$ 的块。类似 $A$ 也可以按籍贯划分，也可以按专业划分等。

例 2.24 设整数集 $I$ 上的模 2 同余关系为 $R$ ，易验证 $R$ 是 $I$ 上的等价关系。把 I 分为两类：偶数集 $E$ 和奇数集 $O$ 。 $E=\{m \mid m \in I, m R 0\}, O=\{m \mid m \in I, m R 1\}$ 。显然，$E$ 和 $O$ 是 $I$ 的一个划分。

从上述例子可以体会到在等价关系与划分之间存在着某种联系，下面就介绍这种联系。
定义2．14 设 $R$ 是 $A$ 上的等价关系，对于每个 $a \in A$ ，与 $a$ 等价的元素全体所组成的集合称为由 $a$ 生成的关于 $R$ 的等价类，记为 $[a]_R$ ，即 $[a]_R=\{x \mid x \in A,(x, a) \in R\}, a$ 称为该等价类的代表元。

在不会引起误解的情况下，可把 $[a]_R$ 简记为 $[a]$ 。
定义2．15 设 $R$ 是 $A$ 上的一个等价关系，关于 $R$ 的等价类全体所组成的集合族称为 $A$ 上关于 $R$ 的商集，记为 $A / R$ ，即 $A / R=\{[a] \mid a \in A\}$ 。

例 $2.25(1)$ 对于例 2.24 中整数集 $I$ 上的模 2 同余关系 $R$ ，其等价类为 $[0]$ ，［1］。其中 $[0]=\{\cdots$ ， $-4,-2,0,2,4, \cdots\}=[2]=[4]=[-2]=[-4]=\cdots,[1]=\{\cdots,-3,-1,1,3, \cdots\}=[3]=[-1]=[-3]=\cdots$ ，因此 $A / R=\{[0],[1]\}$ 。
（2）整数集 $I$ 上的模 $n$ 同余关系 $R$ 也是 $I$ 上的等价关系。 $I$ 上关于 $R$ 的等价类为

$$
\begin{aligned}
& {[0]=\{\cdots,-2 n,-n, 0, n, 2 n, \cdots\}} \\
& {[1]=\{\cdots,-2 n+1,-n+1,1, n+1,2 n+1, \cdots\}} \\
& \cdots \\
& {[n-1]=\{\cdots,-n-1,-1, n-1,2 n-1,3 n-1, \cdots\}}
\end{aligned}
$$

这些类又称 $I$ 上模 $n$ 同余类。 $I$ 上关于 $R$ 的商集 $I / R=\{[0],[1], \cdots,[n-1]\}$ 。现在进一步研究集合 $A$ 上关于 $R$ 的等价类具有什么性质，有下面定理。

定理 2.13 设 $R$ 是 $A$ 上的等价关系，则
（1）对任一 $a \in A$ ，有 $a \in[a]$ ；
（2）对 $a, b \in A$ ，如果 $(a, b) \in R$ ，则 $[a]=[b]$ ；
（3）对 $a, b \in A$ ，如果 $(a, b) \notin R$ ，则 $[a] \cap[b]=\varnothing$ ；
（4）$\bigcup_{a \in A}[a]=A$ 。
证明：（1）对任一 $a \in A$ ，因为 $R$ 是 $A$ 上的等价关系，所以有 $(a, a) \in R$ ，则 $a \in[a]$ 。
（2）对 $a, b \in A$ ，如果 $(a, b) \in R$ ，分别证明 $[a] \subseteq[b],[b] \subseteq[a]$ 。
对任意的 $x \in[a]$ ，则有 $(x, a)

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