最后更新: 2025-01-22 08:32 查看: 109 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

关系的闭包

从给定关系 $R$ 出发构造一个新关系 $R^{\prime}$ ，使得 $R^{\prime}$ 具有某种性质，并且 $R^{\prime}$ 又是具有该种性质并且包含 $R$ 的所有关系中最小的关系。从关系 $R$ 得到这样的新关系 $R^{\prime}$ 的运算称为闭包运算。现定义如下。

定义2．11 设 $R$ 是 $A$ 上的二元关系，定义 $R$ 的自反（对称，传递）闭包，记为 $R^{\prime}$ ，满足下列 3 个条件：
（1）$R^{\prime}$ 是自反的（对称的，传递的）。

（2）$R \subseteq R^{\prime}$ 。
（3）对任一自反（对称，传递）关系 $R^{\prime \prime}$ ，若 $R \subseteq R^{\prime \prime}$ ，则 $R^{\prime} \subseteq R^{\prime \prime}$ 。
$R$ 的自反闭包，对称闭包和传递闭包分别记为 $r(R), s(R)$ 和 $t(R), t(R)$ 又可记为 $R^{+}$。
由定义 2.11 ，可以看出 $R^{\prime}$ 的自反（对称，传递）闭包是包含 $R^{\prime}$ ，且具有自反（对称，传递）性质的所有关系中的最小关系。

例2．17（1）在例2．2 中，对于 $A$ 上的小于关系 $R, A$ 上的小于等于关系 $R^{\prime}$ 是 $R$ 的自反闭包，$A$ 上的不等关系 $R$＂是 $R$ 的对称闭包，$R$ 的传递闭包还是 $R$ 。
（2）设 $R$ 是 $A=\{1,2,3\}$ 上的二元关系，且 $R=\{(1,2),(1,3)\}$ ，则 $r(R)=\{(1,1),(2,2),(3,3)$ ， $(1,2),(1,3)\} ; s(R)=\{(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)\} ; t(R)=R$ 。

由定义 2.11 ，容易得到如下定理。
定理 2.5 设 $R$ 是 $A$ 上的二元关系，则
（1）$R$ 是自反的当且仅当 $r(R)=R$ 。
（2）$R$ 是对称的当且仅当 $s(R)=R$ 。
（3）$R$ 是传递的当且仅当 $t(R)=R$ 。
并且 $r(R), s(R), t(R)$ 具有单调性，如下述定理。
定理 2.6 设 $R_1$ 和 $R_2$ 是 $A$ 上的二元关系，$R_1 \subseteq R_2$ 则
（1）$r\left(R_1\right) \subseteq r\left(R_2\right)$ 。
（2）$s\left(R_1\right) \subseteq s\left(R_2\right)$ 。
（3）$t\left(R_1\right) \subseteq t\left(R_2\right)$ 。
证明留作习题。

下面对自反闭包，对称闭包和传递闭包分别作进一步讨论，根据给出的关系，给出求闭包的一般表达式。

定理 2.7 设 $R$ 是集合 $A$ 上的二元关系，$I_A$ 是集合 $A$ 上的恒等关系，则 $r(R)=R \cup I_A$ 。
证明：令 $R^{\prime}=R \cup I_A$ 。要证明 $R^{\prime}$ 是 $R$ 的自反闭包，就要根据定义 2.11 ，证明 $R^{\prime}$ 满足自反闭包定义中的 3 个条件即可。
（1）因为对任意 $a \in A$ ，有 $(a, a) \in I_A \subseteq R \cup I_A=R^{\prime}$ ，所以 $R^{\prime}$ 自反。
（2）又因为 $R^{\prime}=R \cup I_A$ ，所以 $R \subseteq R^{\prime}$ 。
（3）假设有 $A$ 上的二元关系 $R^{\prime \prime}, ~ R^{\prime \prime}$ 自反且 $R \subseteq R^{\prime \prime}$ ，对任意的 $(a, b) \in R^{\prime}=R \cup I_A$ ，若 $(a, b) \in R$ ，则因为 $R \subseteq R^{\prime \prime}$ ，故 $(a, b) \in R^{\prime \prime}$ ；若 $(a, b) \in I_A$ ，即 $b=a$ ，则因为 $R^{\prime \prime}$ 自反，故 $(a, b) \in R^{\prime \prime}$ ；所以总有 $(a, b) \in R^{\prime \prime}$ ，因此 $R^{\prime} \subseteq R^{\prime \prime}$ 。

即 $R^{\prime}=R \cup I_A$ 是 $R$ 的自反闭包。
定理 2.8 设 $R$ 是集合 $A$ 上的二元关系，则 $s(R)=R \cup R^{-1}$ 。
证明：令 $R^{\prime}=R \cup R^{-1}$ 。同理，要证明 $R^{\p

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