最后更新: 2026-05-24 19:48 查看: 113 次纠错评论(0) 课件开VIP

关系的等价与自然连接

## 关系的等价
在日常生活中或在数学等学科中，经常需要对某个集合上的元素按照某种方式进行分类，即集合的划分，这是一个非常重要的而且应用非常广泛的概念。集合的划分与一种重要的关系——等价关系密切相关。利用等价关系，可以将集合中的元素分类，将一个大的集合分成若干个等价类，其主要意义在于证实了应用抽象的一般原理的正确性，即在某方面等价的个体产生等价类，对全体的等价类进行分析常常比对全体本身进行分析更简单。

### 2．6．1 等价关系

**定义2．19** 设 $R$ 是定义在非空集合 $A$ 上的关系，如果 $R$ 是自反的、对称的、传递的，则称 $R$ 为集合 $A$ 上的等价关系。此时，若 $(x, y) \in R$ ，则称 $x$ 等价于 $y$ ，记作 $x \sim y$ 。

`例2.31` 以下关系是等价关系：
（1）集合 $A$ 上的恒等关系 $I_A$ 和全关系 $U_A$ 都是等价关系；
（2）所有三角形所组成的集合上的＂全等＂关系、＂相似＂关系是等价关系；
（3）在一个班级里＂年龄相等＂的关系是等价关系。
例2． 32 整数集 $\mathbf{Z}$ 上的关系 $R: R=\{(x, y) \mid x-y$ 可以被 3 整除 $\}$ 是等价关系吗？

解：（1）$\forall x \in \mathbf{Z}, x-x=0$ 可被 3 整除，则 $(x, x) \in R, R$ 是自反的；
（2）$\forall(x, y) \in R, y-x=-(x-y)$ 可被 3 整除，则 $(y, x) \in R, R$ 是对称的；
（3）$(x, y),(y, z) \in R$ ，则 $x-z=(x-y)+(y-z)$ 可被3整除，则 $(x, z) \in R, R$ 是传递的。

综上可知，关系 $R$ 是等价关系，满足这个关系的 $x, y$ 被 3 除后有相同的余数，所以关系 $R$ 也叫作同余关系或以 3 为模的同余关系。一般也将关系 $x R y$ 写成 $x \equiv y(\bmod m)(m$ 是任意整数），叫作 $x$ 与 $y$ 对模 $m$ 是同余的，而这种表达式叫作同余式。

`例2.33`集合 $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, R$ 为定义在集合 $A$ 上的以 3 为模的同余关系，即 $R=\{(x, y) \mid x-y$ 可以被 3 整除 $\}$ ，则关系图如图2．5所示。从图 2.5 可以看出，等价关系的关系图具有如下特点：

![图片](/uploads/2026-05/ff175c.jpg)
 
 （1）集合 $A$ 被分成若干子集——等价类；
（2）每个子集内的所有元素间均满足关系。
注意：当 $R$ 是集合 $A$ 上的一个等价关系时，并不是 $A$ 中任何两个元素都有恒等关系，而是 $A$ 中的元素按照等价关系 $R$ 分成了若干子集，每一子集就是 $A$的一个子集，称为等价类。

**定义2．20** 设 $R$ 是集合 $A$ 上的等价关系，对集合 $A$ 中的任意元素 $a$ ，可构造一个 $A$ 的非空子集 $[a]_R$ ，称为由 $a$ 生成的等价类：

$$
[a]_R=\{x \mid x \in A \text { 且 } a R x\}
$$

根据等价类的定义，例2．33中集合 $A=\{1,2, \cdots, 9\}$ 上模 3 的同余关系 $R$ 构成如下的等价类：

$$
\begin{array}{lll}
{[1]_R=\{1,4,7\}} & {[4]_R=\{1,4,7\}} & {[7]_R=\{1,4,7\}} \\
{[2]_R=\{2,5,8\}} & {[5]_R=\{2,5,8\}} & {[8]_R=\{2,5,8\}} \\
{[3]_R=\{3,6,9\}} & {[6]_R=\{3,6,9\}} & {[9]_R=\{3,6,9\}}
\end{array}
$$

即

$$
\begin{aligned}
& {[1]_R=[4]_R=[7]_R=\{1,4,7\}} \\
& {[2]_R=[5]_R=[8]_R=\{2,5,8\}} \\
& {[3]_R=[6]_R=[9]_R=\{3,6,9\}}
\end{aligned}
$$

所以，不同的等价类只有 3 个，即 $[1]_R,[2]_R,[3]_R$ 。

**定义 2.21** 设 $R$ 为非空集合 $A$ 上的等价关系，以 $R$ 的所有等价类作为元素的集合称为 $A$ 关于 $R$ 的商集，记作 $A / R$ ，即

$$
A / R=\left\{[a]_R \mid a \in A\right\}
$$

$A / R$ 的基数（不同类的个数）称为 $R$ 的秩。
显然，例 2.33 中的商集为 $A / R=\{\{1,4,7\},\{2,5,8\},\{3,6,9\}\}$ ，关系 $R$ 的秩为 3 。

定理2．17 设 $R$ 是定义在集合 $A$ 上的关系，则 $R$ 为等价关系的充要条件是

$$
R \cdot \bar{R}=R
$$

### 2．6．2 集合的划分
**定义2．22** 设 $S$ 是一个集合，$A_1, A_2, \cdots, A_m$ 是它的非空子集，满足
（1）完整性：$\bigcup_{i=1}^m A_i=S$
（2）不交性：$A_i \cap A_j=\varnothing(i \neq j)$
则称集合 $A=\left\{A_1, A_2, \cdots, A_m\right\}$ 为 $S$ 的一个划分，而 $A_1, A_2, \cdots, A_m$ 为这个划分的划分块。
根据划分的定义，则 $A / R=\{\{1,4,7\},\{2,5,8\},\{3,6,9\}\}$ 为集合 $A=\{1$ ， $2, \cdots, 9\}$ 的一个划分。

例2． 34 设集合 $A=\{1,2, \cdots, 9\}$ ，则集合 $A$ 的划分有很多种。

$$
\begin{aligned}
& \pi_1=\{\{1\},\{2\}, \cdots,\{9\}\} \\
& \pi_2=\{\{1,2, \cdots, 9\}\} \\
& \pi_3=\{\{1,4,7\},\{2,5,8\},\{3,6,9\}\}
\end{aligned}
$$

根据划分的定义，$\pi_1 、 \pi_2$ 和 $\pi_3$ 都是 $A$ 的划分。
**定义2．23** 设 $\pi_1=\left\{A_1, A_2, \cdots, A_n\right\}$ 和 $\pi_2=\left\{B_1, B_2, \cdots, B_m\right\}$ 是集合 $A$ 的两种划分。如果 $\pi_1$ 中的每个 $A_i$ 都是 $\pi_2$ 中某个 $B_j$ 的子集，则称划分 $\pi_1$ 是划分 $\pi_2$ 的一个细分。如果 $\pi_1$ 是 $\pi_2$ 的细分，且 $\pi_1$ 中至少有一个 $A_i$ 是 $\pi_2$ 中某个 $B_j$ 的真子集，则称 $\pi_1$ 是 $\pi_2$ 的真细分。

`例2.35` 设集合 $A=\{1,2,3,4\}$ ，则划分 $\pi_1=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\}$ 是 $\pi_2= \{\{1\},\{2,3,4\}\}$ 的细分，也是真细分；划分 $\pi_3=\{\{1,2\},\{3,4\}\}$ 是划分 $\pi_4=\{\{1$ ， $2,3,4\}\}$ 的细分，也是真细分。

对集合 $A=\{1,2,3,4\}$ ，有 $\pi_1=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\}$ 是对集合 $A$ 的任意一个划分的细分，而对集合 $A$ 的任意一个划分都是划分 $\pi_4=\{\{1,2,3,4\}\}$ 的细分，对这两个特殊的划分，有如下的定义。

**定义2． 24** 设 $A$ 是非空集合，则 $G=\{\{a\} \mid a \in A\}$ 称为 $A$ 的最大划分，$S= \{A\}$ 称为 $A$ 的最小划分。

显然，在例2． 35 中，$\pi_1=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\}$ 是对集合 $A$ 的最大划分， $\pi_4=\{\{1,2,3,4\}\}$ 是对集合 $A$ 的最小划分。

### 2．6．3 等价关系与划分
比较某集合 $A$ 的划分与 $A$ 的等价关系的商集的定义，可以发现：一个划分对应一个等价关系。

`例2.36` 设集合 $A=\{1,2,3\}$ ，求出 $A$ 上的所有等价关系。
解：定义在集合 $A$ 上所有的划分为：

$$
\begin{gathered}
\pi_1=\{\{1,2,3\}\} \\
\pi_2=\{\{1\},\{2,3\}\} \\
\pi_3=\{\{2\},\{1,3\}\} \\
\pi_4=\{\{3\},\{1,2\}\} \\
\pi_5=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}
\end{gathered}
$$

设对应划分 $\pi_i(i=1,2,3,4,5)$ 的等价关系为 $R_i$ ，则有

$$
\begin{gathered}
R_1=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\} \\
R_2=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\} \\
R_3=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)\} \\
R_4=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\} \\
R_5=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}
\end{gathered}
$$

由等价关系构造对应的划分，以及由划分确定其对应的等价关系，从它们的定义来看，划分与等价关系的这种对应是唯一确定的。事实上可以证明，不可能有两个不同的等价关系对应同一个划分，也不可能有两个不同的划分对应同一个等价关系。

因此有下面的定理。
**定理2． 18** 设 $R$ 是定义在集合 $A$ 上的等价关系，$\pi$ 是集合 $A$ 的一个划分，那么，对应 $\pi$ 的等价关系为 $R$ 的充分必要条件是 $R$ 对应的划分为 $\pi$ 。

## 自然联接
在数据库查询中常常遇到需要通过两个以上的关系才能导出所需答案的情况，当被处理的各个关系的属性之间毫无联系时，可通过迪卡儿积运算来实现我们的目标。但在许多情况下，对参与运算的各个关系的元组常常附加了某些限制条件，这时可以采用联接运算。这里介绍一种自然联接运算。

设有 $n$ 元关系 $R$ 和 $m$ 元关系 $S, R$ 有属性 $A_1, A_2, \cdots, A_n, S$ 有属性 $B_1, B_2, \cdots, B_m$ ，其中属性 $A_{n-p+1}$ ， $A_{n-p+2}, \cdots, A_n$ 分别与 $B_1, B_2, \cdots, B_p$ 相同，定义 $R$ 与 $S$ 的自然联接 $R \infty S$ 为

$$
R \propto S=\Pi_{A_1, A_2, \cdots, A_n, B_{p+1}, B_{p+2}, \cdots, B_m} \sigma_{\left(A_{n-p+1}=B_1\right) \cdots \cdots\left(A_n=B_p\right)}(R \times S)
$$

例 2.15 设 $R$ 和 $S$ 是三元关系，如下表表示，求 $R \infty S$ 。
 ![图片](/uploads/2025-01/ddaa7f.jpg)
 
 例 2.16 找出学生学号为 920003 所修课程的课程名。这一查询与成绩表 $S C$ 和课程表 $C$有关。因此，先用自然联接将 $S C$ 和 $C$ 联成一张表格，然后再在联接后的表中，用选择和投影找出所需答案为

$$
\Pi_{C N A M E} \sigma_{S \#=20003} \quad(S C \infty C)
$$

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