最后更新: 2025-11-21 16:43 查看: 122 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

无向图与有向图

## 无向图
在集合论中已给出了集合与笛卡儿积的概念ꎬ这里还需要给出多重集与无序积的概念。

集合中的元素不重复出现，当允许元素重复出现时称作**多重集**。如，$\{a, a, b, c, c, c\}$ 与 $\{a,b, c\}$ 作为集合是相同的，而作为多重集是不相同的．

设 $A, B$ 为两集合，$\{\{a, b\} \mid a \in A \wedge b \in B\}$ 称为 $A$ 与 $B$ 的**无序积**，记作 $A \& B$ ．为方便起见，将无序对 $\{a, b\}$ 记作 $(a, b)$ 。无论 $a, b$ 是否相同，显然有 $(a, b)=(b, a)$ 。例如，设 $A=\left\{a_1\right.$ ， $\left.a_2\right\}, B=\left\{b_1, b_2\right\}$ ，则

$$
\begin{aligned}
& A \& B=\left\{\left(a_1, b_1\right),\left(a_1, b_2\right),\left(a_2, b_1\right),\left(a_2, b_2\right)\right\}, \\
& A \& A=\left\{\left(a_1, a_1\right),\left(a_1, a_2\right),\left(a_2, a_2\right)\right\} .
\end{aligned}
$$

**定义5.1** 一个无向图 $G$ 是一个二元组 $\langle V, E\rangle$ ，其中：
（1）$V$ 是一个非空的有穷集合，称为 $G$ 的**顶点集**，$V$ 中元素称为**顶点**或**结点**；
（2）$E$ 是无序积 $V \& V$ 的一个多重子集，称为 $G$ 的**边集**，$E$ 中元素称为**无向边**或简称**边**．

图 $G$ 的顶点集记作 $V(G)$ ，边集记作 $E(G)$ 。在图的运算中，有时会产生顶点集为 $\varnothing$ 的结果，因而规定顶点集为 $\varnothing$ 的图为**空图**．

以上给出的是一个无向图的数学定义，还可以用图形表示无向图，更直观．用小圆圈或实心点表示顶点，用连接两个顶点的线段表示边，其中顶点的位置、线段的曲直及是否相交都无关紧要。例如，$G=<V, E>, V=\left\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_3, \boldsymbol{v}_4, \boldsymbol{v}_5\right\}, E=\left\{\l

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