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离散数学
第六章 树
连通度与块
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更新:
2025-01-22 10:06
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连通度与块
点连通度与边连通度 为了衡量一个图的连通程度,我们要定义图的点连通度与边连通度。 定义 11.1 (点割/割点)设图 $G$ 的顶点子集 $V^{\prime}, \omega\left(G-V^{\prime}\right)>\omega(G)$ ,称 $V^{\prime}$ 为 $G$ 的一个点割。 $\left|V^{\prime}\right|=1$ 时,$V^{\prime}$ 中的顶点称为割点。  如在图 11.1 所示的图中,$\left\{v_1, v_4\right\}$ 是点割,$v_5$ 和 $v_6$ 是割点。 定义 11.2 (点连通度/连通度)设有图 $G$ ,为产生一个不连通图或平凡图需要从 $G$ 中删去的最少顶点数称为 $G$ 的点连通度,记为 $k(G)$ ,简称为 $G$ 的连通度。 图 11.1 显然,$G$ 是不连通图或平凡图时,$k(G)=0$ ;连通图 $G$ 有割点时,$k(G)=1 ; ~ G$ 是完全图 $K_n$ 时, $k\left(K_n\right)=n-1$ 。 在图 11.1 所示的图中,$k(G)=1$ 。 定义 11.3 (边连通度)设有图 $G$ ,为产生一个不连通图或平凡图需要从 $G$ 中删去的最少边数称为 $G$ 的边连通度,记为 $\lambda(G)$ 。 显然,$G$ 是不连通图或平凡图时,$\lambda(G)=0$ ;连通图 $G$ 有一桥时,$\lambda(G)=1 ; ~ G$ 是完全图 $K_n$ 时, $\lambda\left(K_n\right)=n-1$ 。 如在图 11.1 所示的图中,$\lambda(G)=1, e_7$ 和 $e_8$ 是桥。 点连通度,边连通度与最小顶点度数的关系由定理 11.1 给出。 定理 11.1 对任何一个图 $G, k(G) \leqslant \lambda(G) \leqslant \delta(G)$ 。 证明:首先证明 $\lambda(G) \leqslant \
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