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代数系统

## 代数系统
**代数结构作为重要的代数分支，主要研究各种类型的抽象的代数运算系统。**
本教材这一部分的内容主要涉及“抽象代数”（或称“近世代数”）中有关群、环、域和格的基础知识。

近世代数的基本概念与目标在 19 世纪就已经确定下来了。它的出现与发展有
以下三个方面的原因：
其一，在多项式方程的求解研究中，人们逐步发现五次以上的方程式不存在一般的（仅由四则运算及开方运算组成）根的表达式；

其二，新数系的出现以及研究与应用中要求代数处理的对象不一定是实数或复数组成的集合，如四元数系、二次型集合、超复数集合等；

其三，数学对象以及其他学科对象中有关对称性的研究需要相应的数学理论与工具。

近世代数最早开始于对多项式方程求根的表达式公式的研究。许多著名的
数学家涉足有关方面的研究，并做出了有开创意义的贡献，诸如 Euler，Gauss，Cauchy 等。在此，我们要特别提到两位青年数学家：挪威的阿贝尔（Abel）（1802.8—1829.4）和法国的伽罗瓦（Galois）（1811.10—1832.5），他们在这一领域中做出了卓越的贡献。

近世代数在数学上是微分几何、拓扑、数论和调和分析等领域的基础；也为
光谱学、结晶学（晶体学）、原子物理、粒子物理等学科所必须。随着计算机技术的发展，它在通信理论、计算机科学、系统工程等许多领域有广泛的应用，成为这些领域中科技人员的基本工具

## 12.1 代 数 系 统

一个非空集合 $S$ ，与一个或若干个定义在 $S$ 上的运算 $Q_1, \cdots, Q_k, k \geqslant 1$ ，就构成了一个代数系统，表示为 $\left[S ; Q_1, \cdots, Q_k\right]$ 。例如，大家熟悉的整数集合 $Z$ 和整数的加法＂+ ＂运算，就构成一个代数系统 $[Z ;+]$ 。在此基础上再考虑整数的乘法＂$\times$＂运算，又得到另一个代数系统 $[Z ;+, x]$ 。

在代数系统 $\left[S ; Q_1, \cdots, Q_k\right]$ 中称集合 $S$ 为该系统的载集合，或简称为载集。

## 运算
上面提到＂定义在 $S$ 上的运算＂是什么意思？为此，我们需要对＂运算＂做抽象的认识。

设集合 $S \neq \varnothing, ~ f$ 为一个 $S \rightarrow S$ 的映射，即对任意一 $a \in S$ ，存在唯一的 $b \in S$ ，使 $b$ 是 $a$ 在 $f$ 下的象，记为 $f(a)=b$ ，称 $a$ 是 $b$ 在 $f$ 下的原象。由本书第一部分知映射 $f$ 又称为函数。在代数系统中我们视 $f$ 为一个一元运算。如果映射 $g: S \times S \rightarrow S$ ，即任意 $(a, b) \in S \times S$存在唯一的 $c \in S$ ，使得 $g(a, b)=c$ ，则称 $g$ 为二元运算。以此类推，映射 $h: S^n \rightarrow S$ ，即对任一有序元组 $\left(a_1, \cdots, a_n\right) \in S^n$ 存在唯一的 $b \in S$ ，使得 $h\left(a_1, \cdots, a_n\right)=b$ ，则称 $h$ 为 $S$ 上的 $n$ 元运算。

请注意，定义在 $S$ 上的一个运算，其值域必然为 $S$ 或 $S$ 的子集，否则有关运算就不能视作定义在 $S$ 上的运算。例如整数的除法运算就不能视作定义在整数集合 $Z$ 上的运算，因为 $Z$中任意两个非 0 的整数相除的结果可能不是整数。与此相应的 $[Z ; \div]$ 就不是我们讨论的代数系统。这一个性质，我们称它为运算的封闭性。
今后我们讨论的各种代数系统，除非特别说明，均非我们所熟知通常的算术系统。例如，代数系统 $[S ; *]$ ，其中 $*$ 是定义在 $S$ 上的一个二元运算，表示 $a, b \in S, a * b \in S$ 。又如 $[S ; \cdot]$ 是一个代数系统，是定义在 $S$ 上的二元运算，$a \cdot b$ 可简写为 $a b$ ，它只表示 $a, b \in S$ 时 $a b \in S$ ，而不是通常的数的乘法运算的简化表示。

我们关心的是在集合 $S$ 上新定义的运算满足什么运算规则，满足不同运算规则的代数系

统将构成性质完全不同的代数系统。
以代数系统 $[S ; *]$ 为例，介绍几个重要二元运算 $*$ 的性质。
（1）封闭性：任意 $a, b \in S, a * b \in S$ ，则称运算 $*$ 关于集合 $S$ 封闭。
（2）结合律：任意 $a, b \in S$ 有

$$
a *(b * c)=(a * b) * c
$$

（3）交换律：任意 $a, b \in S$ 有

$$
a * b=b * a
$$

（4）单位元（或称幺元）：若 $S$ 中存在元素 $e^{\prime}$ ，使对任意的 $a \in S$

$$
e^{\prime} * a=a
$$

称 $e^{\prime}$ 为 $*$ 在 $S$ 中的左单位元；同理，若有 $e^{\prime \prime}$ ，使对任意 $a \in S$ 有

$$
a * e^{\prime \prime}=a
$$

则称 $e^{\prime \prime}$ 为＊在 $S$ 中的右单位元。如果有 $e \in S$ ，使对任意 $a \in S$ 有

$$
a * e=e * a=a
$$

则称 $e$ 为 $*$ 在 $S$ 中的单位元。

`例` 单位元是唯一的
证明 $*$ 在 $S$ 中的单位元 $e$ 是唯一的。
证明：设 $\tilde{e} \in S$ 也是单位元，则

$$
\tilde{e}=e * \tilde{e}=\tilde{e} * e=e
$$

（5）逆元：对有单位元 $e$ 的代数系统而言，如果 $a \in S$ 存在 $b \in S$ ，使 $a * b=e$ ，则称 $b$ 为 $a$ 的右逆元；同理，如果有 $c \in S$ 使 $c * a=e$ ，称 $c$ 为 $a$ 的左逆元。当 $a * b=b * a=e$ 时，称 $b$ 为 $a$ 的逆元，表示成 $a^{-1}$ 。

`例`当 $*$ 满足结合律，且 $a$ 有逆元时，$a$ 的逆元是唯一的。
证明：$a^{-1}$ 为 $a$ 的逆元，设 $\tilde{a}$ 也是 $a$ 的逆元，则

$$
\tilde{a}=e * \tilde{a}=\left(a^{-1} * a\right) * \tilde{a}
$$

$$
\begin{aligned}
& =a^{-1} *(a * \tilde{a}) \\
& =a^{-1} * e=a^{-1}
\end{aligned}
$$

（6）零元：设有 $\theta \in S$ ，使对任意 $a \in S$ 有

$$
\theta * a=a * \theta=\theta
$$

则称 $\theta$ 为 $*$ 在 $S$ 中的零元。与单位元相似的也可定义左零元或右零元。
（7）分配律：设代数系统 $[S ; *, \circ]$ ，其中 $*$ 与。均为定义在 $S$ 上的二元运算，当对任意 $a, b, c \in S$ 有

$$
a \circ(b * c)=(a \circ b) *(a \circ c)
$$

则称。关于 $*$ 满足左分配律，同理

$$
(b * c) \circ a=(b \circ a) *(c \circ a)
$$

时，则称。关于 $*$ 满足右分配律。当。关于 $*$ 同时满足左，右分配律时，称其满足分配律。下面介绍几个常用的集合记号。
$Z$ ：整数集合。
$Q$ ：有理数集合。
$R$ ：实数集合。
$C$ ：复数集合。
$N$ ：自然数集合（在以后的使用中，有时把 0 包含在其中）。
$M_{n, m}(R): n \times m$ 阶实数矩阵，同样可将 $R$ 换成 $Z, Q, C, N$ 等情况。
$Z_n$ ：整数关于自然数 $n>1$ 的同余类（等价类）为元素的集合，即

$$
Z_n=\{[0],[1], \cdots,[n-1]\}
$$

接着，我们来看几个例子。

`例12.1` $[Z ;+]$ 是前面提到的整数关于普通＂加法＂运算所构成的代数系统。＂＋＂满足交换律，结合律，有单位元 0 ，每个元素 $a \in Z$ ，有逆元 $-a$ ，习惯上称加法的逆元为**负元**。

`例12.2`$[Z ; \times]$ ，其中＂$\times$＂为通常的数的乘法运算。＂$\times$＂满足交换律，结合律，有单位元 1 ，但是除 1 有逆元＂ 1 ＂，-1 有逆元＂-1 ＂外，其他元素均无逆元。 0 是 $[Z ; \times]$ 的零元。

`例12.3` $[Z ;+, \times]$ 为有两个二元运算的代数系统，其中＂+ ＂与＂$\times$＂的运算性质已如例 12．1，例 12.2 所述。我们又知道＂$\times$＂关于＂+ ＂满足分配律的。注意 0 是加法＂+ ＂的单位元，却是乘法＂$\times$＂的零元。

`例12.4` 设 $M_{n, n}(Q)$ 表示有理数集合 $Q$ 上的 $n$ 阶方阵。＂$\times$＂为矩阵的乘法运算。 $\left[M_{n, n}(Q) ; \times\right]$ 为一代数系统。我们知道矩阵的乘法运算 $\times$ 是可结合的，但是不可交换的。它有单位元

$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \cdots & 1
\end{array}\right]
$$

非奇异方阵 $A$ 有逆元，即其逆阵 $A^{-1}$ ；而奇异方阵没有逆元。

`例12.5`设集合 $S \neq \varnothing, P(S)$ 为其幂集合，$\cup, \cap, \sim$ 分别为集合的并，交，补的运算。
这三个运算关于 $P(S)$ 皆封闭，所以 $[P(S) ; \cup, \cap, \sim]$ 为一个代数系统。其中 $\cup, \cap$ 为二元运算，$\sim$ 为一元运算。有关这些运算所满足的运算规则是大家熟悉的，在此不一一列出。

## 代数系统的通俗理解
代数系统是数学中研究“运算规则”的抽象框架，可以理解为“集合+运算规则”的组合。它不关心具体数字或对象，而是关注运算本身的性质（比如是否满足交换律、是否有单位元等）。以下用通俗的例子和类比帮助理解：

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一、核心概念：集合与运算
1. 集合：代数系统的“原材料库”。  
   • 例如：自然数集合（1,2,3,…）、字母集合（A,B,C,…）、图形集合（圆形、三角形）等。

• 通俗类比：就像厨房里的食材，运算规则决定了如何“加工”这些食材。

2. 运算：集合中元素之间的操作规则。  
   • 例如：自然数的加法（1+2=3）、字母的拼接（A+B=AB）、图形的旋转等。

• 关键要求：运算结果必须仍在集合内（封闭性）。

◦ 例如：自然数加法是封闭的（结果仍是自然数），但减法不封闭（1-2=-1，不属于自然数）。

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二、代数系统的“性格特点”
不同代数系统通过运算规则区分，类似“性格标签”：
1. 单位元：运算中的“不变量”。  
   • 例如：加法中的0（任何数+0=原数）、乘法中的1（任何数×1=原数）。

• 类比：就像班级里的班长，无论和谁组合，班长身份不变。

2. 逆元：运算中的“反向操作”。  
   • 例如：加法中3的逆元是-3（3+(-3)=0），乘法中2的逆元是1/2（2×1/2=1）。

• 注意：并非所有元素都有逆元（如自然数中没有负数的逆元）。

3. 交换律与结合律：  
   • 交换律：操作顺序不影响结果（如加法3+5=5+3）。

• 结合律：分组方式不影响结果（如(3+5)+2=3+(5+2)）。

• 反例：矩阵乘法不满足交换律（AB≠BA），但满足结合律。

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三、常见的代数系统举例
1. 群（Group）  
   • 规则：封闭性、结合律、有单位元、每个元素有逆元。

• 例子：整数集+加法（单位元0，每个数都有相反数）。

• 应用：密码学中的加密算法（如RSA）依赖群论性质。

2. 环（Ring）  
   • 规则：两个运算（如加法和乘法），加法构成交换群，乘法满足结合律和分配律。

• 例子：整数集+加法和乘法（乘法不交换，但分配律成立）。

• 类比：类似“加法负责对称，乘法负责组合”。

3. 布尔代数（Boolean Algebra）  
   • 规则：运算结果只有0和1，满足交换律、分配律，且有补元（如非运算）。

• 应用：计算机逻辑电路设计（AND、OR、NOT门）。

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四、代数系统的“变形”：同构与同态
1. 同构（Isomorphism）  
   • 本质：两个代数系统结构完全相同，只是元素“改名”。

• 例子：温度单位摄氏度（℃）和华氏度（℉）的转换公式（需调整零点和比例）。

• 通俗理解：就像把“苹果”换成“橘子”，但吃法（运算规则）不变。

2. 同态（Homomorphism）  
   • 本质：保留部分运算结构，允许信息简化。

• 例子：将复数集合映射到实数集合（只保留加法，忽略乘法）。

• 应用：数据库查询优化（用简化结构模拟复杂关系）。

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五、为什么需要代数系统？
1. 统一规律：不同领域的问题可能共享相同结构（如群论同时用于晶体对称性和量子力学）。  
2. 抽象简化：忽略具体细节，聚焦核心规则（如编程语言用“类型系统”抽象数据操作）。  
3. 解决实际问题：  
   • 密码学：利用椭圆曲线群实现安全加密。

• 计算机科学：用布尔代数设计逻辑电路。

• 物理学：群论描述基本粒子的对称性。

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总结
代数系统就像“数学乐高”：  
• 积木块 = 集合中的元素

• 拼接规则 = 运算

• 说明书 = 运算规则（封闭性、结合律等）

通过组合不同的“积木”和“规则”，可以构建出千变万化的数学结构，解释从数论到量子物理的复杂现象。

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