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代数系统

代数结构作为重要的代数分支，主要研究各种类型的抽象的代数运算系统。
本教材这一部分的内容主要涉及“抽象代数”（或称“近世代数”）中有关群、环、
域和格的基础知识。
近世代数的基本概念与目标在 19 世纪就已经确定下来了。它的出现与发展有
以下三个方面的原因：其一，在多项式方程的求解研究中，人们逐步发现五次以
上的方程式不存在一般的（仅由四则运算及开方运算组成）根的表达式；其二，
新数系的出现以及研究与应用中要求代数处理的对象不一定是实数或复数组成的
集合，如四元数系、二次型集合、超复数集合等；其三，数学对象以及其他学科
对象中有关对称性的研究需要相应的数学理论与工具。
近世代数最早开始于对多项式方程求根的表达式公式的研究。许多著名的
数学家涉足有关方面的研究，并做出了有开创意义的贡献，诸如 Euler，Gauss，
Cauchy 等。在此，我们要特别提到两位青年数学家：挪威的阿贝尔（Abel）
（1802.8—1829.4）和法国的伽罗瓦（Galois）（1811.10—1832.5），他们在这一
领域中做出了卓越的贡献。
近世代数在数学上是微分几何、拓扑、数论和调和分析等领域的基础；也为
光谱学、结晶学（晶体学）、原子物理、粒子物理等学科所必须。随着计算机技术
的发展，它在通信理论、计算机科学、系统工程等许多领域有广泛的应用，成为
这些领域中科技人员的基本工具

12.1 代 数 系 统

一个非空集合 $S$ ，与一个或若干个定义在 $S$ 上的运算 $Q_1, \cdots, Q_k, k \geqslant 1$ ，就构成了一个代数系统，表示为 $\left[S ; Q_1, \cdots, Q_k\right]$ 。例如，大家熟悉的整数集合 $Z$ 和整数的加法＂+ ＂运算，就构成一个代数系统 $[Z ;+]$ 。在此基础上再考虑整数的乘法＂$\times$＂运算，又得到另一个代数系统 $[Z ;+, x]$ 。

在代数系统 $\left[S ; Q_1, \cdots, Q_k\right]$ 中称集合 $S$ 为该系统的载集合，或简称为载集。
运算
上面提到＂定义在 $S$ 上的运算＂是什么意思？为此，我们需要对＂运算＂做抽象的认识。

设集合 $S \neq \varnothing, ~ f$ 为一个 $S \rightarrow S$ 的映射，即对任意一 $a \in S$ ，存在唯一的 $b \in S$ ，使 $b$ 是 $a$ 在 $f$ 下的象，记为 $f(a)=b$ ，称 $a$ 是 $b$ 在 $f$ 下的原象。由本书第一部分知映射 $f$ 又称为函数。在代数系统中我们视 $f$ 为一个一元运算。如果映射 $g: S \times S \rightarrow S$ ，即任意 $(a, b) \in S \times S$存在唯一的 $c \in S$ ，使得 $g(a, b)=c$ ，则称 $g$ 为二元运算。以此类推，映射 $h: S^n \rightarrow S$ ，即对任一有序元组 $\left(a_1, \cdots, a_n\right) \in S^n$ 存在唯一的 $b \in S$ ，使得 $h\left(a_1, \cdots, a_n\right)=b$ ，则称 $h$ 为 $S$ 上的 $n$ 元运算。

请注意，定义在 $S$ 上的一个运算，其值域必然为 $S$ 或 $S$ 的子集，否则有关运算就不能视作定义在 $S$ 上的运算。例如整数的除法运算就不能视作定义在整数集合 $Z$ 上的运算，因为 $Z$中任意两个非 0 的整数相除的结果可能不是整数。与此相应的 $[Z ; \div]$ 就不是我们讨论的代数系统。这一个性质，我们称它为运算的封闭性。
今后我们讨论的各种代数系统，除非特别说明，均非我们所熟知通常的算术系统。例如，代数系统 $[S ; *]$ ，其中 $*$ 是定义在 $S$ 上的一个二元运算，表示 $a, b \in S, a * b \in S$ 。又如 $[S ; \cdot]$ 是一个代数系统，是定义在 $S$ 上的二元运算，$a \cdot b$ 可简写为 $a b$ ，它只表示 $a, b \in S$ 时 $a b \in S$ ，而不是通常的数的乘法运算的简化表示。

我们关心的是在集合 $S$ 上新定义的运算满足什么运算规则，满足不同运算规则的代数系

统将构成性质完全不同的代数系统。
以代数系统 $[S ; *]$ 为例，介绍几个重要二元运算 $*$ 的性质。
（1）封闭性：任意 $a, b \in S, a * b \in S$ ，则称运算 $*$ 关于集合 $S$ 封闭。
（2）结合律：任意 $a, b \in S$ 有

$$
a *(b * c)=(a * b) * c
$$

（3）交换律：任意 $a, b \in S$ 有

$$
a * b=b * a
$$

（4）单位元（或称幺元）：若 $S$ 中存在元素 $e^{\prime}$ ，使对任意的 $a \in S$

$$
e^{\prime} * a=a
$$

称 $e^{\prime}$ 为 $*$ 在 $S$ 中的左单位元；同理，若有 $e^{\prime \prime}$ ，使对任意 $a \in S$ 有

$$
a * e^{\prime \prime}=a
$$

则称 $e^{\prime \prime}$ 为＊在 $S$ 中的右单位元。如果有 $e \in S$ ，使对任意 $a \in S$ 有

$$
a * e=e * a=a
$$

则称 $e$ 为 $*$ 在 $S$ 中的单位元。
可以证明 $*$ 在 $S$ 中的单位元 $e$ 是唯一的。
证明：设 $\tilde{e} \in S$ 也是单位元，则

$$
\tilde{e}=e * \tilde{e}=\tilde{e} * e=e
$$

（5）逆元：对有单位元 $e$ 的代数系统而言，如果 $a \in S$ 存在 $b \in S$ ，使 $a * b=e$ ，则称 $b$ 为 $a$ 的右逆元；同理，如果有 $c \in S$ 使 $c * a=e$ ，称 $c$ 为 $a$ 的左逆元。当 $a * b=b * a=e$ 时，称 $b$ 为 $a$ 的逆元，表示成 $a^{-1}$ 。

逆元的性质：当 $*$ 满足结合律，且 $a$ 有逆元时，$a$ 的逆元是唯一的。
证明：$a^{-1}$ 为 $a$ 的逆元，设 $\tilde{a}$ 也是 $a$ 的逆元，则

$$
\tilde{a}=e * \tilde{a}=\left(a^{-1} * a\right) * \tilde{a}
$$

$$
\begin{aligned}
& =a^{-1} *(a * \tilde{a}) \\
& =a^{-1} * e=a^{-1}
\end{aligned}
$$

（6）零元：设有 $\theta \in S$ ，使对任意 $a \in S$ 有

$$
\theta * a=a * \theta=\theta
$$

则称 $\theta$ 为 $*$ 在 $S$ 中的零元。与单位元相似的也可定义左零元或右零元。
（7）分配律：设代数系统 $[S ; *, \circ]$ ，其中 $*$ 与。均为定义在 $S$ 上的二元运算，当对任意 $a, b, c \in S$ 有

$$
a \circ(b * c)=(a \circ b) *(a \circ c)
$$

则称。关于 $*$ 满足左分配律，同理

$$
(b * c) \circ a=(b \circ a) *(c \circ a)
$$

时，则称。关于 $*$ 满足右分配律。当。关于 $*$ 同时满足左，右分配律时，称其满足分配律。下面介绍几个常用的集合记号。
$Z$ ：整数集合。
$Q$ ：有理数集合。
$R$ ：实数集合。

$C$ ：复数集合。
$N$ ：自然数集合（在以后的使用中，有时把 0 包含在其中）。
$M_{n, m}(R): n \times m$ 阶实数矩阵，同样可将 $R$ 换成 $Z, Q, C, N$ 等情况。
$Z_n$ ：整数关于自然数 $n>1$ 的同余类（等价类）为元素的集合，即

$$
Z_n=\{[0],[1], \cdots,[n-1]\}
$$

接着，我们来看几个例子。
例12．1 $[Z ;+]$ 是前面提到的整数关于普通＂加法＂运算所构成的代数系统。＂＋＂满足交换律，结合律，有单位元 0 ，每个元素 $a \in Z$ ，有逆元 $-a$ ，习惯上称加法的逆元为负元。

例12．2 $[Z ; \times]$ ，其中＂$\times$＂为通常的数的乘法运算。＂$\times$＂满足交换律，结合律，有单位元 1 ，但是除 1 有逆元＂ 1 ＂，-1 有逆元＂-1 ＂外，其他元素均无逆元。 0 是 $[Z ; \times]$ 的零元。

例12．3 $[Z ;+, \times]$ 为有两个二元运算的代数系统，其中＂+ ＂与＂$\times$＂的运算性质已如例 12．1，例 12.2 所述。我们又知道＂$\times$＂关于＂+ ＂满足分配律的。注意 0 是加法＂+ ＂的单位元，却是乘法＂$\times$＂的零元。

例12．4 设 $M_{n, n}(Q)$ 表示有理数集合 $Q$ 上的 $n$ 阶方阵。＂$\times$＂为矩阵的乘法运算。 $\left[M_{n, n}(Q) ; \times\right]$ 为一代数系统。我们知道矩阵的乘法运算 $\times$ 是可结合的，但是不可交换的。它有单位元

$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \cdots & 1
\end{array}\right]
$$

非奇异方阵 $A$ 有逆元，即其逆阵 $A^{-1}$ ；而奇异方阵没有逆元。
例12．5 设集合 $S \neq \varnothing, P(S)$ 为其幂集合，$\cup, \cap, \sim$ 分别为集合的并，交，补的运算。
这三个运算关于 $P(S)$ 皆封闭，所以 $[P(S) ; \cup, \cap, \sim]$ 为一个代数系统。其中 $\cup, \cap$ 为二元运算，$\sim$ 为一元运算。有关这些运算所满足的运算规则是大家熟悉的，在此不一一列出。

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