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代数系统

## 代数系统
**代数结构作为重要的代数分支，主要研究各种类型的抽象的代数运算系统。**
本教材这一部分的内容主要涉及“抽象代数”（或称“近世代数”）中有关群、环、域和格的基础知识。

近世代数的基本概念与目标在 19 世纪就已经确定下来了。它的出现与发展有
以下三个方面的原因：
其一，在多项式方程的求解研究中，人们逐步发现五次以上的方程式不存在一般的（仅由四则运算及开方运算组成）根的表达式；

其二，新数系的出现以及研究与应用中要求代数处理的对象不一定是实数或复数组成的集合，如四元数系、二次型集合、超复数集合等；

其三，数学对象以及其他学科对象中有关对称性的研究需要相应的数学理论与工具。

近世代数最早开始于对多项式方程求根的表达式公式的研究。许多著名的
数学家涉足有关方面的研究，并做出了有开创意义的贡献，诸如 Euler，Gauss，Cauchy 等。在此，我们要特别提到两位青年数学家：挪威的阿贝尔（Abel）（1802.8—1829.4）和法国的伽罗瓦（Galois）（1811.10—1832.5），他们在这一领域中做出了卓越的贡献。

近世代数在数学上是微分几何、拓扑、数论和调和分析等领域的基础；也为
光谱学、结晶学（晶体学）、原子物理、粒子物理等学科所必须。随着计算机技术的发展，它在通信理论、计算机科学、系统工程等许多领域有广泛的应用，成为这些领域中科技人员的基本工具

## 12.1 代 数 系 统

一个非空集合 $S$ ，与一个或若干个定义在 $S$ 上的运算 $Q_1, \cdots, Q_k, k \geqslant 1$ ，就构成了一个代数系统，表示为 $\left[S ; Q_1, \cdots, Q_k\right]$ 。例如，大家熟悉的整数集合 $Z$ 和整数的加法＂+ ＂运算，就构成一个代数系统 $[Z ;+]$ 。在此基础上再考虑整数的乘法＂$\times$＂运算，又得到另一个代数系统 $[Z ;+, x]$ 。

在代数系统 $\left[S ; Q_1, \cdots, Q_k\right]$ 中称集合 $S$ 为该系统的载集合，或简称为载集。

## 运算
上面提到＂定义在 $S$ 上的运算＂是什么意思？为此，我们需要对＂运算＂做抽象的认识。

设集合 $S \neq \varnothing, ~ f$ 为一个 $S \rightarrow S$ 的映射，即对任意一 $a \in S$ ，存在唯一的 $b \in S$ ，使 $b$ 是 $a$ 在 $f$ 下的象，记为 $f(a)=b$ ，称 $a$ 是 $b$ 在 $f$ 下的原象。由本书第一部分知映射 $f$ 又称为函数。在代数系统中我们视 $f$ 为一个一元运算。如果映射 $g: S \times S \rightarrow S$ ，即任意 $(a, b) \in S \times S$存在唯一的 $c \in S$ ，使得 $g(a, b)=c$ ，则称 $g$ 为二元运算。以此类推，映射 $h: S^n \rightarrow S$ ，即对任一有序元组 $\left(a_1, \cdots, a_n\right) \in S^n$ 存在唯一的 $b \in S$ ，使得 $h\left(a_1, \cdots, a_n\right)=b$ ，则称 $h$ 为 $S$ 上的 $n$ 元运算。

请注意，定义在 $S$ 上的一个运算，其值域必然为 $S$ 或 $S$ 的子集，否则有关运算就不能视作定义在 $S$ 上的运算。例如整数的除法运算就不能视作定义在整数集合 $Z$ 上的运算，因为 $Z$中任意两个非 0 的整数相除的结果可能不是整数。与此相应的 $[Z ; \div]$ 就不是我们讨论的代数系统。这一个性质，我们称它为运算的封闭性。
今后我们讨论的各种代数系统，除非特别说明，均非我们所熟知通常的算术系统。例如，代数系统 $[S ; *]$ ，其中 $*$ 是定义在 $S$ 上的一个二元运算，表示 $a, b \in S, a * b \in S$ 。又如 $[S ; \cdot]$ 是一个代数系统，是定义在 $S$ 上的二元运算，$a \cdot b$ 可简写为 $a b$ ，它只表示 $a, b \in S$ 时 $a b \in S$ ，而不是通常的数的乘法运算的简化表示。

我们关心的是在集合 $S$ 上新定义的运算满足什么运算规则，满足不同运算规则的代数系

统将构成性质完全不同的

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