最后更新: 2025-04-20 16:41 查看: 51 次反馈刷题

同态，同构与商系统

## 同态，同构与商系统
如前所述，在近世代数的研究中，我们所关心的是代数系统中运算所满足的性质，而非具体的运算如何实施。对遵循相同运算规则的系统只需要研究其中的一个就可以了解其他。如何知道这两个代数系统是本质上相同的呢？为此，引进一些非常重要的基本概念，如同态，同构。

设有两个代数系统 $[S ; *]$ 与 $[T ; \circ$ 。，其中 $*$ 与。均为二元运算。如果存在映射 $\varphi: S \rightarrow T$ ，使得对任意的 $a, b \in S$ ，有：

$$
\varphi(a * b)=\varphi(a) \circ \varphi(b)
$$

其中 $\varphi(a), \varphi(b)$ 与 $\varphi(a * b)$ 均为 $T$ 中的元素。此时称 $\varphi$ 为代数系统 $[S ; *]$ 到代数系统 $[T ; \circ]$ 的一个**同态映射**。

一般而言，$S$ 在 $\varphi$ 下的同态象集 $\varphi(S)$ 是 $T$ 的一个子集合。当 $\varphi(S)=T$ 时，$\varphi$为满同态映射，称 $[S ; *]$ 与 $[T ; \circ]$ 两个**系统同态**。在这种情况下同态映射把 $S$ 系统的许多性质带到了 $T$ 系统。例如，当 $*$ 可交换，$\circ$ 必可交换；＊有单位元 $e \in S$ ，。也有单位元 $e^{\prime} \in T$ ，且 $\varphi(e)=e^{\prime}$ 。

如果映射 $\varphi$ 是代数系统［ $S ; *$ ］到 $[T ; \circ]$ 的同态映射，当 $\varphi$ 是一个一一对应时，称两个代数系统是同构的，$\varphi$ 就是它们的一个同构映射。此时系统 $S$ 与 $T$ 就被看作＂同一个＂代数系统，并表示成 $[S ; *] \cong[T ; \circ$ ，或简写成 $S \cong T$ 。

`例12.6` 有两个代数系统 $[Z ; \times]$ 与 $[\{0,1\} ; \times]$ 。定义映射 $\varphi: Z \rightarrow\{0,1\}$ 为

$$
\varphi(x)= \begin{cases}1 & (x \text { 为奇数 }) \\ 0 & (x \text { 为偶数 })\end{cases}
$$

不难检查映射 $\varphi$ 是保持运算的：对任意 $x, y \in Z$ ，

$$
\varphi(x y)= \begin{cases}0 \cdot 0=0 & (x, y \text { 皆为偶数, } x y \text { 为偶数 }) \\ 1 \cdot 0=0 & (x \text { 为奇数, } y \text { 为偶数, } x y \text { 为偶数 }) \\ 0 \cdot 1=0 & (x \text { 为偶数, } y \text { 为奇数, } x y \text { 为偶数 }) \\ 1 \cdot 1=1 & (x, y \text { 皆为奇数, } x y \text { 为奇数 })\end{cases}
$$

所以 $\varphi(x y)=\varphi(x) \varphi(y)$ ，且 $\varphi$ 是映上的。所以系统 $Z$ 与系统 $\{0,1\}$ 是同态的。
有关同构的例子在这里就不举例了。

## 商结构（商系统）
后文我们常遇到这样一种情况：从一个代数系统 $[S ; *]$ 出发，其中 $*$ 为二元运算，通过在 $S$ 上定义的一个等价关系～，诱导一个新的，被称为商系统的代数系统［ $\tilde{S} ; \square]$ 。

为此，首先引入相容等价关系的概念。对 $S$ 中的任意元素 $a, b, c, d$ ，当 $a \sim b, c \sim d$ 时，有 $a * c \sim b * d$ ，我们就称等价关系与运算 $*$ 时相容的，也说～是代数系统 $[S ; *]$ 的相容等价关系。这个关系～将 $S$ 作等价类的划分。以 $[a]$ 表示与 $a$ 等价的元素全体，则 $\tilde{S}$ 即为由等价类元素构成的集合。在 $\tilde{S}$ 上定义一个新的二元运算口如下：对任意 $[a],[b] \in \tilde{S}$ ，令 $[a][b]=[a * b]$ 。由于～关于＊的相容性，保证了运算 $\square$ 的结果与等价类代表元选取无关（以后将给出详细证明）。称 $[\tilde{S} ; \square]$为原系统 $[S ; *]$ 的商结构或商系统。

`例12.7`$[Z ;+]$ 是我们已熟悉的代数系统，定义 $Z$ 上的一个等价关系 $\sim$ 为：任意 $a, b \in Z, a \sim b$当且仅当 $a \equiv b \bmod k, k>1$ 是自然数。这个关系又叫同余（关于 $k$ ）关系。

当 $a \equiv b \bmod k$ 且 $c \equiv d \bmod k$ 时，必有

$$
(a+c) \equiv(b+d) \bmod k
$$

所以这是个相容等价关系，且有

$$
\begin{gathered}
\tilde{Z}=\{[0],[1], \cdots,[k-1]\} \\
{[i]=\{n k+i \mid n \in Z\}}
\end{gathered}
$$

其中
商结构 $[\tilde{Z} ; \oplus], \oplus$ 定义如下：

$$
\forall[i],[j] \in \tilde{Z}, \quad[i] \oplus[j]=[i+j]
$$

请注意：如果代数系统中有两个或更多的运算，相容等价关系必须与每个运算相容。如例12．7改为系统 $[Z ;+, \times]$ ，则上述同余关系与乘法＂$\times$＂也是相容的。因为当

$$
a \equiv b \bmod k, c \equiv d \bmod k
$$

时，必有

$$
a \times c \equiv b \times d \bmod k
$$

相应的商结构就是 $[\tilde{Z} ; \oplus, \otimes]$ ，其中 $\otimes$ 定义为

$$
[i] \otimes[j]=[i \times j]
$$

##  通俗理解同态、同构与商系统

一、**同态（Homomorphism）**  
核心思想：“翻译”两个代数系统，保留运算规则，但可能简化信息。  
• 通俗类比：

想象两个不同语言的国家（比如中文和英文），同态就像一本词典，把中文的语法规则（运算）翻译成英文的语法规则，且翻译后的句子逻辑关系（运算结果）保持一致。例如：  
  • 中文“1+1=2” → 翻译成英文“1+1=2”，运算规则完全一致。

• 但中文“苹果+苹果=两苹果” → 翻译成英文“Apple+Apple=Two Apples”，结构相同但符号不同。

• 数学例子：

• 整数加法 → 模5加法：把整数运算“翻译”成模5运算。例如，整数3+4=7，翻译成模5后是2（因为7 mod5=2）。虽然结果简化了，但加法规则（如交换律、结合律）完全保留。

• 群同态：比如将平面旋转群映射到单位复数乘法群，旋转角度对应复数指数形式，旋转后的结果保持群运算结构。

• 关键性质：

• 同态映射可能“压缩”信息（如模运算丢失原数的具体值，只保留余数）。

• 若同态是满射（像覆盖整个目标系统），则称为满同态；若映射是双射（一一对应），则升级为同构。

---

二、**同构（Isomorphism）**  
核心思想：两个代数系统是“同一结构的不同马甲”。  
• 通俗类比：

• 中文和英文的语法规则完全一致，只是词汇和符号不同。比如“1+1=2”和“One plus one equals two”本质上是同一运算的不同表达。

• 游戏中的“角色属性”和“数值标签”：若将角色攻击力、防御力等属性用不同单位（如百分比或固定值）表示，但运算规则（如伤害计算公式）完全一致，则它们是同构的。

• 数学例子：

• 整数群与偶数群：整数加法群（…,-2,-1,0,1,2,…）和偶数加法群（…,-4,-2,0,2,4,…）同构，映射为“乘以2”（双射且保持加法规则）。

• 几何变换群：平面上所有旋转操作构成的群，与单位复数乘法群同构（旋转角度对应复数指数形式）。

• 重要性：

同构意味着两个系统在数学上是“不可区分的”，研究一个即可完全理解另一个。例如，计算机科学中用图同构判断两个网络结构是否等价。

---

三、**商系统（Quotient System）**  
核心思想：通过“等价分类”简化结构，保留核心运算规则。  
• 通俗类比：

• 班级分组：将全班学生按性别分为“男生组”和“女生组”，每组内的学生具有相同属性（性别）。若定义“组间运算”（如合并两组），则新系统的运算规则与原系统部分一致。

• 模运算的构造：整数集通过模n分组（如n=3时，余数0、1、2为等价类），商系统就是模3的剩余类环，运算规则继承自整数但更简化。

• 数学构造：

1. 定义等价关系：例如整数集合中，定义“a~b当且仅当a-b是3的倍数”。  
  2. 划分等价类：得到[0]={…,-3,0,3,…}、[1]={…,-2,1,4,…}、[2]={…,-1,2,5,…}。  
  3. 定义商系统运算：例如[1]+[2]=[0]（对应原系统中1+2=3≡0 mod3）。

• 关键性质：

• 商系统是原系统的“简化版”，但可能丢失部分细节（如具体数值，只保留余数）。

• 同态基本定理：任何满同态的像都同构于原系统的商系统。例如整数模3映射的像（商系统）与原系统通过同态关联。

---

四、**三者的关系与作用**  
1. 同态 → 同构：  
   • 同态是“宽松的同构”，允许信息压缩；同构是“严格保持结构”的同态。

• 例如：身份证号（唯一标识）与人名（可能重复）是同态映射，但若要求唯一性，则需升级为同构。

2. 同态 → 商系统：  
   • 同态的核（映射到零元的元素集合）生成商系统。例如整数模3的核是3的倍数，商系统即模3剩余类。

3. 实际应用：  
   • 密码学：同态加密允许在加密数据上直接运算（如加法），结果解密后与原运算结果一致。

• 编程：面向对象编程中的“多态”本质是同态思想（不同对象响应相同方法名但实现不同）。

• 图论：图的同构用于判断两个网络结构是否等价（如社交网络中的社区发现）。

---

总结  
• 同态：保留运算规则，允许信息简化（如翻译）。

• 同构：结构完全一致，仅符号或标签不同（如双语对照）。

• 商系统：通过分类简化结构，继承核心规则（如模运算）。

类比链条：  
同态是“带压缩的翻译” → 同构是“无损的双向翻译” → 商系统是“按规则分类后的新语言”。

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：代数系统

下一篇：代数系统

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)