最后更新: 2025-01-22 10:44 ● 参与者查看: 23 次纠错分享参与项目词条搜索

同态，同构与商系统

如前所述，在近世代数的研究中，我们所关心的是代数系统中运算所满足的性质，而非具体的运算如何实施。对遵循相同运算规则的系统只需要研究其中的一个就可以了解其他。如何知道这两个代数系统是本质上相同的呢？为此，引进一些非常重要的基本概念，如同态，同构。

设有两个代数系统 $[S ; *]$ 与 $[T ; \circ$ 。，其中 $*$ 与。均为二元运算。如果存在映射 $\varphi: S \rightarrow T$ ，使得对任意的 $a, b \in S$ ，有：

$$
\varphi(a * b)=\varphi(a) \circ \varphi(b)
$$

其中 $\varphi(a), \varphi(b)$ 与 $\varphi(a * b)$ 均为 $T$ 中的元素。此时称 $\varphi$ 为代数系统 $[S ; *]$ 到代数系统 $[T ; \circ]$ 的
一个同态映射。一般而言，$S$ 在 $\varphi$ 下的同态象集 $\varphi(S)$ 是 $T$ 的一个子集合。当 $\varphi(S)=T$ 时，$\varphi$为满同态映射，称 $[S ; *]$ 与 $[T ; \circ]$ 两个系统同态。在这种情况下同态映射把 $S$ 系统的许多性质带到了 $T$ 系统。例如，当 $*$ 可交换，$\circ$ 必可交换；＊有单位元 $e \in S$ ，。也有单位元 $e^{\prime} \in T$ ，且 $\varphi(e)=e^{\prime}$ 。

如果映射 $\varphi$ 是代数系统［ $S ; *$ ］到 $[T ; \circ]$ 的同态映射，当 $\varphi$ 是一个一一对应时，称两个代数系统是同构的，$\varphi$ 就是它们的一个同构映射。此时系统 $S$ 与 $T$ 就被看作＂同一个＂代数系统，并表示成 $[S ; *] \cong[T ; \circ$ ，或简写成 $S \cong T$ 。

例12．6 有两个代数系统 $[Z ; \times]$ 与 $[\{0,1\} ; \times]$ 。定义映射 $\varphi: Z \rightarrow\{0,1\}$ 为

$$
\varphi(x)= \begin{cases}1 & (x \text { 为奇数 }) \\ 0 & (x \text { 为偶数 })\end{cases}
$$

不难检查映射 $\varphi$ 是保持运算的：对任意 $x, y \in Z$ ，

$$
\varphi(x y)= \begin{cases}0 \cdot 0=0 & (x, y \text { 皆为偶数, } x y \text { 为偶数 }) \\ 1 \cdot 0=0 & (x \text { 为奇数, } y \text { 为偶数, } x y \text { 为偶数 }) \\ 0 \cdot 1=0 & (x \text { 为偶数, } y \text { 为奇数, } x y \text { 为偶数 }) \\ 1 \cdot 1=1 & (x, y \text { 皆为奇数, } x y \text { 为奇数 })\end{cases}
$$

所以 $\varphi(x y)=\varphi(x) \varphi(y)$ ，且 $\varphi$ 是映上的。所以系统 $Z$ 与系统 $\{0,1\}$ 是同态的。
有关同构的例子在这里就不举例了。

商结构（商系统）
后文我们常遇到这样一种情况：从一个代数系统 $[S ; *]$ 出发，其中 $*$ 为二元运算，通过在 $S$ 上定义的一个等价关系～，诱导一个新的，被称为商系统的代数系统［ $\tilde{S} ; \square]$ 。

为此，首先引入相容等价关系的概念。对 $S$ 中的任意元素 $a, b, c, d$ ，当 $a \sim b, c \sim d$ 时，有 $a * c \sim b * d$ ，我们就称等价关系与运算 $*$ 时相容的，也说～是代数系统 $[S ; *]$ 的相容等价关系。这个关系～将 $S$ 作等价类的划分。以 $[a]$ 表示与 $a$ 等价的元素全体，则 $\tilde{S}$ 即为由等价类元素构成的集合。在 $\tilde{S}$ 上定义一个新的二元运算口如下：对任意 $[a],[b] \in \tilde{S}$ ，令 $[a][b]=[a * b]$ 。由于～关于＊的相容性，保证了运算 $\square$ 的结果与等价类代表元选取无关（以后将给出详细证明）。称 $[\tilde{S} ; \square]$为原系统 $[S ; *]$ 的商结构或商系统。

例12．7 $[Z ;+]$ 是我们已熟悉的代数系统，定义 $Z$ 上的一个等价关系 $\sim$ 为：任意 $a, b \in Z, a \sim b$当且仅当 $a \equiv b \bmod k, k>1$ 是自然数。这个关系又叫同余（关于 $k$ ）关系。

当 $a \equiv b \bmod k$ 且 $c \equiv d \bmod k$ 时，必有

$$
(a+c) \equiv(b+d) \bmod k
$$

所以这是个相容等价关系，且有

$$
\begin{gathered}
\tilde{Z}=\{[0],[1], \cdots,[k-1]\} \\
{[i]=\{n k+i \mid n \in Z\}}
\end{gathered}
$$

其中
商结构 $[\tilde{Z} ; \oplus], \oplus$ 定义如下：

$$
\forall[i],[j] \in \tilde{Z}, \quad[i] \oplus[j]=[i+j]
$$

请注意：如果代数系统中有两个或更多的运算，相容等价关系必须与每个运算相容。如例12．7改为系统 $[Z ;+, \times]$ ，则上述同余关系与乘法＂$\times$＂也是相容的。因为当

$$
a \equiv b \bmod k, c \equiv d \bmod k
$$

时，必有

$$
a \times c \equiv b \times d \bmod k
$$

相应的商结构就是 $[\tilde{Z} ; \oplus, \otimes]$ ，其中 $\otimes$ 定义为

$$
[i] \otimes[j]=[i \times j]
$$

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