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代数系统

## 第 4 章 代 数 系 统

代数结构理论可用于计算机算法的复杂性分析，研究抽象数据结构的性质及操作，同时也是程序设计语言的理论基础。本节介绍代数系统的最基本概念和最基本理论，以及几类常用的代数系统。

### 4． 1 代数系统的基本概念
代数系统是在集合上通过代数运算构造数学模型的方法生成的，所以称为代数系统，因为它是一种抽象的方法，故又称为抽象代数。
**4．1．1 代数运算**
称自然数集 $\mathbf{N}$ 上的加法＂＋＂为运算，这是因为给定两个自然数 $a, b$ ，由加法 ＂＋＂，可以得到唯一的自然数 $c=a+b$ 。 $\mathbf{N}$ 上的加法运算＂＋＂本质上是一个 $N \times N \rightarrow N$ 的函数。

**定义4．1** 设 $A, B, C$ 是非空集合，从 $A \times B$ 到 $C$ 的一个函数 $f: A \times B \rightarrow C$称为一个 $A \times B$ 到 $C$ 的二元代数运算，简称**二元运算**。

一个二元运算就是一个特殊的函数，该函数能够对任意 $a \in A$ 和任意 $b \in B$进行＂。＂运算，得到 $C$ 中的一个元素 $c$ ，即。 $(a, b)=c$ 。

中缀方法表示为：

$$
a^{\circ} b=c
$$

`例4.1` 判别下面的函数是不是二元运算：
设 $A=\{0,1\}, B=\{1,2\}, C=\{m, n\}$ ，定义函数 $*: A \times B \rightarrow C$ ，其中

$$
\begin{aligned}
& *(0,1)=m, \quad *(0,2)=n, \\
& *(1,1)=n, \quad *(1,2)=m 。
\end{aligned}
$$

分析：＂＊＂是一个 $A \times B$ 到 $C$ 的函数，因此，由定义 4.1 可知＂$*$＂是一个 $A \times B$ 到 $C$ 的运算。

**定义 4.2** 设 $A_1, A_2, \cdots, A_n, A$ 为 $n+1$ 个非空集合，$A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ 到 $A$的一个函数 $*: A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n \rightarrow A$ 称为一个 $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ 到 $A$ 的 $n$ 元代数运算，简称 $n$ 元运算。当 $n=1$ 时，称 $*$ 为一元运算，当 $n=2$ 时，称 $*$ 为二元运算。

`例4.2`（1）在整数集 $\mathbf{Z}$ 上，规定 $* a=-a$ ，则＂$*$＂是 $\mathbf{Z}$ 一元运算。
（2）$f: \mathbf{N} \times \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}, f(x, y)=x+y$ 是自然数集 $\mathbf{N}$ 上的二元运算。

### 4．1．2 封闭性

**定义4．3** 如果＂＊＂是 $A \times A$ 到 $A$ 的二元运算，则称运算＂＊＂对集合 $A$ 是封闭的，或者称＂＊＂是 $A$ 上的二元运算。

`例4.3`（1）设 $A$ 是实数集 $\mathbf{R}$ ，规定：

$$
a * b=a-b \quad \forall a, b \in A
$$

则＂＊＂为 $\mathbf{R}$ 上的一个代数运算。
分析：＂＊＂实质上是 $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 的函数，也就是说＂$*$＂是 $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 的一个二元运算。
（2）$*: \mathbf{N} \times \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}, *(x, y)=x-y$
该运算不是自然数集 $\mathbf{N}$ 上的二元运算，称 $\mathbf{N}$ 对减法不封闭。
（3）在整数集 $\mathbf{Z}$ 上，规定：

$$
a * b=(a, b)
$$

这里 $(a, b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最大公因数。则＂＊＂是 $\mathbf{Z}$ 上的二元运算。

**定义4．4** 设＂${ }^*$＂是一个 $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ 到 $A$ 的 $n$ 元代数运算，如果 $A_1=A_2=\cdots=A_n=A$ ，则称代数运算＂$*$＂对集合 $A$ 是封闭的，或者称＂$*$＂是 $A$上的 $n$ 元代数运算。

说明：通常用大写的英文字母表示集合，用＂＋＂＂－＂＂＊＂＂／＂＂$\cap$＂＂$\cup$＂＂$\wedge$＂ ＂ V ＂＂¬＂＂★＂内＂＂。＂＂ ＂ ＂＂+ ＂＂ ×＂＂ ＂＂等抽象的符号来表示一个抽象的运算。

本质上，运算是一种函数，若运算的结果都属于原集合，则称具有这种特征的运算是封闭的。

## 4．1．3 代数系统
**定义4．5** 设 $A$ 是非空集合，$*_1, *_2, \cdots, *_m$ 分别是定义在 $A$ 上封闭运算，称集合 $A$ 和 $*_1, *_2, \cdots, *_m$ 所组成的系统为代数系统，简称代数，记为 $\left(A, *_1\right.$ ， $*_2, \cdots,{ }_m$ ）。

当 $m=1$ 时，＊是定义在 $A$ 上封闭运算，称集合 $A$ 和＊所组成的系统为代数系统，简称代数，记为 $(A, *)$ 。

当 $A$ 是有限集合时，该代数系统称为有限代数系统，否则称为无限代数系统。

注意：判断集合 $A$ 和其上的代数运算是否构成代数系统，关键是判断两点，一是集合 $A$ 非空，二是这些运算关于 $A$ 是否满足封闭性。

`例4.4` （1） $\mathbf{R}$ 上的＂+ ＂＂ ×＂运算，构成一个代数系统 $(\mathbf{R},+, \times)$ ；在实数集 $\mathbf{R}$ 上的加法、减法、乘法都是 $\mathbf{R}$ 的代数运算，但除法运算却不是 $\mathbf{R}$ 的代数运算。想一想，这是为什么？
（2）$\rho(S)$ 上的＂$\cap$＂＂$\cup$＂＂—＂＂$\oplus$＂运算，构成代数系统 $(\rho(S), \cap, \cup,-, \oplus)$ ，称集合代数；
（3）$S^S$ 是 $S$ 到 $S$ 上的所有函数的集合，则复合运算。是 $S^S$ 上的二元封闭运算，构成代数系统（ $S^S, \circ$ ），称之为复合函数代数。

## 4．1．4 同类型代数系统
**定义4．6** 设 $\left(A, *_1, *_2, \cdots, *_m\right)$ 和 $\left(B,{ }_1,{ }_{\circ}{ }_2, \cdots,{ }_m\right)$ 是两个代数系统，若 ＂。 ${ }_i$＂和＂${ }^*{ }_i$＂都是 $k_i$ 元运算，$i=1,2, \cdots, m$ ，则称这两个代数同类型。也就是说，如果两个代数系统有相同个数的运算符，每个对应的运算符有相同的元数，则称这两个代数系统有相同的类型。

如：代数系统 $(\mathbf{Z},+),(\mathbf{R}, \times),(\rho(S), \cap),(\rho(S), \cup)$ 都是同类型的代数系统；代数系统 $(\mathbf{Z},+, \times),(\mathbf{R},+, \times),(\rho(S), \cap, \cup)$ 都是同类型的代数系统。

## 4．1．5 子代数
定义4．7 设 $\left(A, *_1, *_2, \cdots, *_m\right)$ 是代数系统，如果：
（1）$B \subseteq A$ 并且 $B \neq \varnothing$ ；
（2）$*_1, *_2, \cdots, *_m$ 都是 $B$ 上的封闭运算。
则 $\left(B, *_1, *_2, \cdots, *_m\right)$ 也是一个代数系统，称之为 $\left(A, *_1, *_2, \cdots, *_m\right)$ 的子代数系统，简称子代数。又若 $B \subset A$ ，则称 $\left(B, *_1, *_2, \cdots, *_m\right)$ 是 $\left(A, *_1, *_2, \cdots\right.$ ， ${ }^*{ }_m$ ）的真子代数。

例4．5 在代数系统 $(\mathbf{Z},+)$ 中，令 $\mathbf{Q}=\{5 z \mid z \in \mathbf{Z}\}$ ，则 $(\mathbf{Q},+)$ 是 $(\mathbf{Z},+)$ 的子代数。

分析：根据定义 4．7，要想结论成立只需证明两点：
（1） $\mathbf{Q}$ 是非空子集；
（2）＂＋＂对集合 $\mathbf{Q}$ 封闭。
显然，集合 $\mathbf{Q}$ 非空。对任意 $5 z_1, 5 z_2 \in \mathbf{Q}$ ，有 $5 z_1+5 z_2=5\left(z_1+z_2\right) \in \mathbf{Q}$ ，因此 ＂＋＂对集合 Q 封闭。

## 4.2 运算规律

`例4.6` 设＂＋＂是定义在自然数集 $\mathbf{N}$ 上的普通加法运算，试回忆 $\mathbf{N}$ 上的加法运算＂＋＂满足哪些运算性质？
分析：对任意 $a, b, c \in \mathbf{N}$ ，有：
$(a+b)+c=a+(b+c)$ ，即结合律成立；
$a+b=b+a$ ，即交换律成立；
对任意 $x, y \in \mathbf{N}$ ，如果 $a+x=a+y$ ，则 $x=y$ ，即消去律成立；
$0 \in \mathbf{N}, 0+0=0$ ，即 0 是幂等元，但其他自然数不是幂等元，即不满足幂等律。
又如，设 $S$ 是集合，$\rho(S)$ 是 $S$ 的幂集，则代数系统 $(\rho(S), \cup)$ 和 $(\rho(S), \cap)$ 中的 $\cup$ 、 $\cap$ 都适合交换律和结合律，即它们与 $(\mathbf{N},+)$ 有类似的运算性质。这些就是代数系统研究的一部分内容。

对于给定集合，可以任意地在这个集合上规定运算使它成为代数系统。但这里所研究的是其运算有某些性质的代数系统。

在前面考察几个具体的代数系统时，已经涉及高中代数中运算的某些性质。这一节，主要讨论一般二元运算的一些性质。

### 4．2．1 结合律与交换律
**定义 4.8** 设 $(A, *)$ 是二元代数系统，如果对任意 $a, b, c \in A$ ，都有

$$
(a * b) * c=a *(b * c)
$$

则称＂＊＂在 $A$ 上是可结合的，或称＂＊＂满足结合律。
**定义4．9** 设 $(A, *)$ 是二元代数系统，如果对任意 $a, b \in A$ ，都有

$$
a * b=b * a
$$

则称＂＊＂在 $A$ 上是可交换的，或称＂＊＂满足交换律。
常用的代数系统如数集上加法、乘法，幂集上交、并运算均满足结合律和交换律。

`例4.7` 设＂。＂是整数集 $\mathbf{Z}$ 上的二元运算，对于 $\forall i, j \in \mathbf{Z}$ ，有 $i \circ j=i+j-i \cdot j$ ，其中＂＋＂和＂•＂是通常的加法和乘法，问运算＂。＂是否是可交换和可结合的？

解：因为 $i \circ j=i+j-i \cdot j$

$$
\begin{aligned}
& =j+i-j \cdot i \\
& =j \circ i
\end{aligned}
$$

因此运算。是可交换的。

$$
\begin{aligned}
(i \circ j) \circ k & =(i+j-i \cdot j) \circ k \\
& =(i+j-i \cdot j)+k-(i+j-i \cdot j) \cdot k \\
& =i+j+k-i \cdot j-i \cdot k-j \cdot k+i \cdot j \cdot k
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
i \circ(j \circ k) & =i \circ(j+k-j \cdot k) \\
& =i+j+k-j \cdot k-i \cdot(j+k-j \cdot k) \\
& =i+j+k-j \cdot k-i \cdot j-i \cdot k+i \cdot j \cdot k
\end{aligned}
$$

即 $(i \circ j) \circ k=i \circ(j \circ k)$ ，因此运算。是可结合的。

### 4．2．2 分配律

**定义4．10** 设＂＊＂＂。＂是集合 $A$ 上的二元运算，$(A, *, 。)$ 是一个代数系统，对任意 $a, b, c \in A$ ，有：
（1）$a \circ(b * c)=(a \circ b) *(a \circ c)$,
则称运算＂。＂对＂＊＂在 $A$ 上满足左分配律（或第一分配律）；
（2）$(b * c) \circ a=(b \circ a) *(c \circ a)$,
则称运算＂。＂对＂＊＂在 $A$ 上满足右分配律（或第二分配律）；
（3）如果＂。＂对＂＊＂既满足左分配律又满足右分配律，则称＂。＂对＂＊＂在 $A$上满足分配律。

数集上乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律。幂集上交对并、并对交均满足分配律。

### 4．2．3 消去律
**定义4．11** 设 $(A, *)$ 是二元代数系统，元素 $a \in A$ ，
（1）对任意 $x, y \in A$ ，都有：
如果 $a * x=a * y$ ，那么 $x=y$ ，则称 $a$ 在 $A$ 中关于＂＊＂是左可消去元；
（2）对任意 $x, y \in A$ ，都有：
如果 $x * a=y * a$ ，那么 $x=y$ ，则称 $a$ 在 $A$ 中关于＂＊＂是右可消去元；
（3）如果 $a$ 既是 $A$ 左可消去元又是右可消去元，则称 $a$ 是 $A$ 的可消去元；
（4）若 $A$ 中所有元素都是可消去元，则称＂＊＂在 $A$ 上可消去，或称＂＊＂满足消去律。

整数集合上的加法和乘法都满足消去律。幂集 $\rho(A)$ 上的并和交运算一般不满足消去律。

### 4．2．4 幂等律
**定义 4.12** 设 $(A, *)$ 是二元代数系统，若元素 $a \in A$ ，满足：

$$
a * a=a,
$$

则称 $a$ 是 $A$ 中关于＂＊＂的一个幂等元，简称幂等元。若 $A$ 中的每一个元素都是幂等元，则称＂＊＂在 $A$ 中是幂等的，或称＂＊＂满足幂等律。

**例 4.8** 设 $S$ 是集合 $A$ 的幂集，在 $S$ 上定义两个二元运算＂$\cup$＂和＂$\cap$＂，集合的＂$\cup$＂和＂$\cap$＂分别为集合的＂并＂运算与＂交＂运算，验证 $\cup$ ，$\cap$ 是幂等的。

解：对于任意的 $B \in S$ ，有 $B \cup B=B$ 和 $B \cap B=B$ ，因此运算 $\cup$ 和 $\cap$ 都满足幂等律。

### 4． 2.5 幂
设＂＊＂是集合 $A$ 上可结合的二元运算，$a \in A$ ，则 $a * a \in A, a * a * a \in A, \cdots$ ，由此，可以归纳定义 $a$ 的正整数幂方：

$$
a^1=a, a^2=a * a, a^3=a^2 * a, \cdots, a^n=a^{n-1} * a, \cdots
$$

对任意正整数 $n, m$ ，有以下等式：

$$
a^n * a^m=a^{n+m},\left(a^n\right)^m=a^{n m}
$$

### 4．2．6 吸收律
**定义4．13** 设＂＊＂＂。＂是集合 $A$ 上的二元运算，$(A, *, 。)$ 是一个代数系统，如果对任意 $x, y \in A$ ，都有：

$$
\begin{aligned}
& x *(x \circ y)=x \\
& x \circ(x * y)=x
\end{aligned}
$$

则称＂$*$＂和＂。＂满足吸收律。

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