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代数系统Z

12.3 代数系统 $[Z ;+, \cdot]$

例 12.3 已经说明 $[Z ;+, \cdot]$ 是一个代数系统，加法的单位元是 0 ，又称它是（乘法）零元；乘法的单位元是 1 。为便于今后学习，在这里简单介绍一些有关的数论知识，但不作具体证明。

读者已熟知带余除法：任意 $a, b \in Z, b \neq 0$ ，一定存在 $q, r \in Z, 0 \leqslant r<|b|$ 使

$$
a=b q+r
$$

称 $q$ 为不完全商，$r$ 为余数。当 $r=0$ 时，$q$ 为 $b$ 除 $a$ 的商，称 $b$ 为 $a$ 的一个因子。并说 $b$ 能整除 $a$ ，记为 $b \mid a$ 。

如果 $c \in Z, c \mid a$ 且 $c \mid b$ 则说 $c$ 为 $a, b$ 的一个公因子。如果对任意的 $d \in Z, d|a, d| b$ 时必有 $d \mid c$ ，就称 $c$ 为 $a, b$ 的最大公因子，记为 $c=\operatorname{GCD}(a, b)$ ，有时也简记为 $c=(a, b)$ 。

如果有 $s \in Z, a|s, b| s$ ，则称 $s$ 为 $a, b$ 的一个公倍数。若对任一个 $t \in Z, a|t, b| t$ 必有 $s \mid t$ ，则称 $s$ 为 $a, b$ 之最小公倍数，记为 $s=\operatorname{LCM}(a, b)$ ，有时也简化表示成 $s=[a, b]$ 。

当 $d=\operatorname{GCD}(a, b), s=\operatorname{LCM}(a, b)$ 时，一定有

$$
a b=\operatorname{GCD}(a, b) \cdot \operatorname{LCM}(a, b)^{\circ}
$$

两个整数的最大公因子可用辗转相除法求得，中国古代称辗转相除法为长除法，国外称它为欧几里德除法。设 $a \geqslant b \geqslant 0$ ，则

$$
\operatorname{GCD}(a, b)= \begin{cases}a & (\text { if } b=0) \\ \operatorname{GCD}(b, a \bmod b) & (\text { if } b>0)\end{cases}
$$

当 $d=\operatorname{GCD}(a, b)$ 时必存在 $s, t \in Z$ 使得 $d=s a+t b$ 。下面介绍广义欧几里德除法。设 Extended－GCD $(a, b)=(d, s, t)$ ，则
$$
\begin{aligned}
&(d, s, t)= \begin{cases}(a, 1,0) & (\text { if } b=0) \\ \left.\left(d, t^{\prime}, s^{\prime}-t^{\prime} \left\lvert\, \frac{a}{b}\right.\right]\right) & \left(\text { if } b>0, \text { Extended-GCD }(b, a \bmod b)=\left(d, s^{\prime}, t^{\prime}\right)\right)\end{cases}\\
&\text { 特别，在 } d=1 \text { 是称 } a, b \text { 两数互质，同样有 }\\
&1=s a+t b
\end{aligned}
$$

最后，任意一个正整数 $n$ ，可以分解为有限个素数的乘积，即

$$
n=p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}
$$

其中 $r_i \geqslant 1, i=1, \cdots, k_1$ 。而且这种分解式是唯一的。这个性质称为整数的唯一析因定理。此定理也适合负整数。

根据上述性质，在不考虑正，负号时（即当 $p$ 为素数时，$-p$ 也为素数），我们对整数集 $Z$ 可作如下划分：$\{0\},\{ \pm 1\},\{$ 素数全体 $\}$ 及 $\{$ 合数全体 $\}$ 。

今后还会用到的关于素数的性质有：
（1）$p$ 为素数，$p \mid a b$ 则 $p \mid a$ 或 $p \mid b$ 。
（2）$p$ 为素数，$k \in Z, k \mid p$ 则 $k= \pm 1$ 或 $k= \pm p$ 。加上了 +- 号。

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