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半群、拟群与群

群是最简单的一类代数系统。群论是近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。

这一章所讨论的代数系统由一个非空的集合 $S$ 和一个定义在 $S$ 上的二元运算 $*$ 所构成，即 $[ S ; *]$ 。
半群和拟群
定义 13.1 代数系统 $[S ; *]$ ，当其二元运算＊是可结合的，即对任 $a, b, c \in S$ 有

$$
a *(b * c)=(a * b) * c
$$

则称该系统为半群。
事实上，半群是一个比群更一般的概念，在许多场合也很有用，但关于它的理论却比较新。在此，我们对它不作过多讨论，只在引入群和环的概念时用到它。

定义 13.2 设 $[S ; *]$ 为半群，当 $*$ 在 $S$ 中有单位元 $e$ ，即对任意 $a \in S$ ，有

$$
a * e=e * a=a
$$

称该半群为含单位元半群或称为拟群。
例13．1 如第 12 章的例12．1，例12．2所述，代数系统 $[Z ;+]$ 与 $[Z ; \times]$ 都是半群，又因为分别以 0 与 1 为其单位元，所以这两个系统又都是拟群。

例13．2 设 $S=\{1,0\} S \rightarrow S$ 的映射有

$$
\sigma_0: \begin{aligned}
& 0 \rightarrow 0 \\
& 1 \rightarrow 1
\end{aligned} \quad \sigma_1: \begin{aligned}
& 0 \rightarrow 1 \\
& 1 \rightarrow 1
\end{aligned} \quad \sigma_2: \begin{aligned}
& 0 \rightarrow 0 \\
& 1 \rightarrow 0
\end{aligned} \quad \sigma_3: \begin{aligned}
& 0 \rightarrow 1 \\
& 1 \rightarrow 0
\end{aligned}
$$

这些映射的复合运算 0 结果如表 13.1 所例。

![图片](/uploads/2025-01/3efe8d.jpg)
 
 由表 13.1 可见复合运算。关于集合 $S^S=\left\{\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\right\}$ 是封闭的，由于映射的复合运算是可结合的，所以我们知道代数系统［ $S^S$ ；。］是半群。查表 13.1 可见，以 $\sigma_0$ 为标志的行中所有运算结果与标志行元素相同；以 $\sigma_0$ 为标志的列中所有运算结果与标志列元素相同，即

$$
\sigma_0 \circ \sigma_i=\sigma_i \circ \sigma_0=\sigma_i \quad i=1,2,3,0
$$

说明 $\sigma_0$ 为该系统关于运算 $\circ$ 的单位元，$\left[S^S ; \circ\right]$ 为拟群。至此，我们可把表 13.1 称为拟群 ［ $S^S ; \circ$ ］的运算表。

例13．3 设 $\Sigma=\left\{x_i \mid i=1, \cdots, n\right\}$ 是一个由字符组成的有限集。 $\Sigma^{+}=\left\{a_1 a_2 \cdots a_k \mid a_i \in \Sigma, i=\right.$ $1, \cdots, k, k \in N\}$ 是一个由 $\Sigma$ 中的字符组成的，有限长字符串构成的集合。

定义二元连接运算。如下。
设 $\alpha=a_1 \cdots a_k, \quad \beta=b_1 \cdots b_l \in \Sigma^{+}$，

$$
\alpha \circ \beta=a_1 \cdots a_k b_1 \cdots b_l
$$

即将 $\alpha, \beta$ 两个字符串连接为一个新的字符串。显然这个连接运算在 $\Sigma^{+}$封闭的。对任意 $r \in \Sigma^{+}$，设 $r=c_1 \cdots c_t$ ，则

$$
\alpha \circ(\beta \circ \gamma)=(\alpha \circ \beta) \circ \gamma=a_1 \cdots a_k b_1 \cdots b_l c_1 \cdots c_t
$$

－满足结合律。可见 $\left[\Sigma^{+} ; \circ\right.$ 是一个半群。但它没有单位元，不是拟群。
习惯上称字符串 $a_1 \cdots a_k$ 的长度为 $k$ ，现引进一长度为 0 的＂空字＂，表示为 $\lambda$ ，集合 $\Sigma^*=\Sigma^{+} \bigcup\{\lambda\}$ ，代数系统 $\left[\Sigma^* ; \circ\right.$ ］是半群；又因 $\lambda$ 是它的单位元，$\alpha \circ \lambda=\lambda \circ \alpha=\alpha$ ，所以 $\left[\Sigma^* ; \circ\right]$ 是一个拟群。

有关半群和拟群的另一些性质，如可交换等，在讲了群以后很容易理解，这里不再展开。
群
定义 $13.3[S ; *]$ 为拟群，当 $S$ 中的每一个元素都有逆元时，称它为群。
这个定义可以更清楚的叙述如下。

$[S ; *]$ 是一个代数系统，＊为定义在 $S$ 上的二元运算（满足封闭性），满足下述条件。对任意的 $a, b, c \in S$ ：
（1）可结合：$a *(b * c)=(a * b) * c$ 。
（2）有单位元 $e \in S$ ，使 $a * e=e * a=a$ 。
（3）每个元有逆元，即存在 $a^{-1} \in S, a * a^{-1}=a^{-1} * a=e$ ，则称 $[S ; *]$ 为群。
今后我们常用 $[G ; \cdot]$ 表示一个群，习惯上把它的运算称为乘法运算，并将 $a, b$ 两个元素运算的结果写成 $a b$ 。

当群中的二元运算又满足交换律时，称该群为交换群，也称它为阿贝尔（Abel）群。
例13．4 例13．1所说的 $[Z ;+]$ 是群，其单位元是 0 ，以后常用 0 表示加法群中的单位元，每个元 $k \in Z$ 的逆元是 $-k$ ，称为 $k$ 的负元。但 $[Z ; \times]$ 不是群，因为 $0 \in Z$ ，但它没有逆元。

例13．5 $G=\{1,-1, i,-i\},[G ;$ 。］中乘法＂。＂运算见表13．2。
 ![图片](/uploads/2025-01/0483fc.jpg)
 
 由表 13.2 知，$\circ$ 运算是封闭的； 1 是单位元，每个元有逆元：$(1)^{-1}=1,(-1)^{-1}=-1,(i)^{-1}=$ $-i,(-i)^{-1}=i$ ；运算是可结合的，且满足交换律。所以 $[G ; \circ$ 是群，而且是交换群。

与前类似，我们把上述运算表称为群运算表。
例13．6 类似于例13．4所述，$[Q ;+],[R ;+],[C ;+]$ 皆为群，且都是可交换的，把它们分别称为有理数加法群，实数加法群和复数加法群。

而 $[Q ; \times],[R ; \times],[C ; \times]$ 都因为有 0 元存在，所以都不是群。但 $Q^*=Q-\{0\}, R^*=R-\{0\}$ ， $C^*=C-\{0\}$ 与乘法都分别构成群，称为有理数（实数，复数）乘法群。

定义 13.4 设 $[G ; \cdot]$ 为群，当 $|G|=+\infty$ 时，称该群为无限群；当 $|G|=n<+\infty$ 时，称它为有限群，且说群 $G$ 的阶为 $n$ 。

例13．7 $n \in N$ 为有理数，$Z_n=\{[0], \cdots,[n-1]\}$ ，则 $\left[Z_n ; \oplus\right]$ 是有限，可交换群。
$\left[Z_n ; \otimes\right]$ 不是群，因为 $[0] \in Z_n$ 没有乘法逆元。它是一个有限可交换拟群。如果取 $Z_n{ }^*=Z_n-\{[0]\}$ ，那么 $\left[Z_n{ }^* ; \otimes\right]$ 是否是群？请读者考虑几种可能性。

定义 13.3 中我们给出了群的一种定义，实际上群有多种定义方法，下面通过对群的性质讨论引进这些等价定义。今后把群［ $G$ ；$]$（将＊改为点）简记为群 $G$ 。

定理13．1 半群 $G$ 中 $n$ 个元素 $a_1 \cdots a_n$ 连乘的积，经任意加括号其结果不变。
证明：只需证明任意加括号所得的积皆与 $\left(\cdots\left(\left(a_1 a_2\right) a_3\right) \cdots a_n\right)$ 相等。用数学归纳法证明之。
归纳基础：$n=2$ ，定理显然成立。
归纳假设：有 $k \geqslant 2$ 个元素连乘时，定理成立。
归纳步骤：设 $n=k+1$ 。不失一般性，经若干运算后得 $k+1$ 个元素的积为 $\left(\left(a_1 \cdots a_i\right)\right.$ $\left.\left(a_{i+1} \cdots a_{k+1}\right)\right)$ ，分几种情况讨论。

情况 $1 \quad i=k$ 。由归纳假设知，$a_1 \cdots a_k$ 之积与加括号无关

$$
\begin{aligned}
& \left(a_1 \cdots a_k\right) a_{k+1} \\
& =\left(\cdots\left(\left(a_1 a_2\right) a_3\right) \cdots a_k\right) a_{k+1}
\end{aligned}
$$

情况 $2 i=k-1$ 。应用结合律与归纳假设，有
$$
\begin{aligned}
& \left(a_1 \cdots a_{k-1}\right)\left(a_k a_{k+1}\right) \\
= & \left(\left(a_1 \cdots a_{k-1}\right) a_k\right) a_{k+1} \\
= & \left(\cdots\left(a_1 a_2\right) \cdots a_k\right) a_{k+1}
\end{aligned}
$$

情况 $3 i<k-1$ 。应用归纳假设与结合律，有

$$
\begin{aligned}
& \left(a_1 \cdots a_i\right)\left(a_{i+1} \cdots a_{k+1}\right) \\
= & \left(a_1 \cdots a_i\right)\left(\left(a_{i+1} \cdots a_k\right) a_{k+1}\right) \\
= & \left(\left(a_1 \cdots a_i\right)\left(a_{i+1} \cdots a_k\right)\right) a_{k+1} \\
= & \left(\cdots\left(a_1 a_2\right) \cdots a_k\right) a_{k+1}
\end{aligned}
$$

因此结论成立。
由这个定理我们可把 $a_1 \cdots a_n$ 写成 $\prod_{i=1}^n a_i$ ，特别当 $a_i=a_j=a, i, j=1, \cdots, n$ 时可写成幂的形式 $a^n$ 。类似地，对加法群中 $n$ 个元素相加可写成 $\sum_{i=1}^n a_i$ ，同一元素相加 $n$ 次可写成 $n a$ 。

定理13．2 $G$ 为群，$a_i \in G, i=1, \cdots, n$ ，则

$$
\left(a_1 \cdots a_n\right)^{-1}=a_n^{-1} \cdots a_1^{-1}
$$

证明：由结合律与定理 13.1 知下述等式成立。

$$
\begin{aligned}
& \left(a_1 \cdots a_n\right)\left(a_n^{-1} \cdots a_1^{-1}\right) \\
= & a_1 \cdots\left(a_n a_n^{-1}\right) \cdots a_1^{-1} \\
= & a_1 \cdots a_{n-1} e a_{n-1}^{-1} \cdots a_1^{-1} \\
= & \cdots \\
= & a_1 a_1^{-1} \\
= & e
\end{aligned}
$$

所以，$a_n{ }^{-1} \cdots a_1{ }^{-1}$ 是 $a_1 \cdots a_n$ 之逆元 $\left(a_1 \cdots a_n\right)^{-1}$ 。
上面已介绍有关幂（指数）的表示法，现讨论有关指数运算的规律，先约定：

$$
\begin{gathered}
a^0=e(0 a=0) \\
a^{-k}=\left(a^{-1}\right)^k(-k a=k(-a))
\end{gathered}
$$

定理 13.3 在群 $G$ 中存在指数律，$a \in G, m, n \in Z$
（1）$a^m \cdot a^n=a^{m+n}$
（2）$\left(a^m\right)^n=a^{m n}$
本定理的证明留作习题。对于加法群，上述结论分别为：
（1）$m a+n a=(m+n) a$
（2）$n(m a)=(n m) a$
定理13．4 当 $G$ 为交换群时，任意 $a, b \in G$ 有

$$
(a b)^n=a^n b^n
$$

证明：$n=0$ 时，等式显然成立。
$n>0$ 时，由交换律与结合律可证等式成立。
$n<0$ 时，设 $n=-n^{\prime}, n^{\prime}>0$
$$
\begin{aligned}
(a b)^n & =(a b)^{-n^{\prime}}=\left((a b)^{-1}\right)^{n^{\prime}} \\
& =\left(b^{-1} a^{-1}\right)^{n^{\prime}} \\
& \left.=\left(a^{-1} b^{-1}\right)^{n^{\prime}} \quad \text { (交换律 }\right) \\
& \left.=\left(a^{-1}\right)^{n^{\prime}}\left(b^{-1}\right)^{n^{\prime}} \quad \text { (用 } n^{\prime}>0 \text { 时结论 }\right) \\
& =a^{-n^{\prime}} b^{-n^{\prime}}=a^n b^n
\end{aligned}
$$

因此结论成立。
定理 13.5 在群 $G$ 中存在消去律，即对任意 $a, b, c \in G$ ，有
（1）若 $a c=b c$ ，则 $a=b$ 。
（2）若 $c a=c b$ ，则 $a=b$ 。
证明：由 $a c=b c$ 得 $(a c) c^{-1}=(b c) c^{-1}$ ，由结合律得等式 $a\left(c c^{-1}\right)=b\left(c c^{-1}\right)$ ，于是 $a=b$ ，
（2）式证明亦然。
定理13．6 半群 $G$ 是群，当且仅当下列条件满足：
（1）对任意 $g \in G$ ，存在 $\tilde{e} \in G$ 使 $\tilde{e} g=g$ ，即 $\tilde{e}$ 为左单位元。
（2）对任意 $g \in G$ ，存在 $\tilde{g} \in G$ 使 $\tilde{g} g=\tilde{e}$ ，不妨称 $\tilde{g}$ 为 $g$ 的左逆元。
证明：必要性是显然的，因为单位元也是左单位元，每个元的逆元也是它的左逆元。
充分性：首先由 $\tilde{g} g=\tilde{e}$ 证明 $g \tilde{g}=\tilde{e}$ ：对 $\tilde{g} \in G$ ，由（2）知存在 $\tilde{\tilde{g}} \in G$ 使 $\tilde{\tilde{g}} \tilde{g}=\tilde{e}$ 。于是

$$
\begin{aligned}
g \tilde{g} & =\tilde{e}(g \tilde{g}) \quad \text { (由 }(1) \tilde{e} \text { 为左单位元) } \\
& =(\tilde{e} g) \tilde{g} \\
& =((\tilde{\tilde{g}} \tilde{g}) g) \tilde{g} \\
& =(\tilde{\tilde{g}}(\tilde{g} g)) \tilde{g} \quad \text { (结合律 }) \\
& =(\tilde{\tilde{g}} \tilde{e}) \tilde{g} \\
& =\tilde{\tilde{g}}(\tilde{e} \tilde{g}) \\
& =\tilde{\tilde{g}} \tilde{g} \\
& =\tilde{e}
\end{aligned}
$$

再证明 $\tilde{e}$ 也是右单位元

$$
g \tilde{e}=g(\tilde{g} g)=(g \tilde{g}) g=\tilde{e} g=g
$$

所以 $[G ; \cdot]$ 为群。

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