最后更新: 2025-04-20 14:16 查看: 295 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

群、半群与幺半群

## 群的概述
群的概念起源于对多项式方程的研究，最早由伽罗瓦在 1830 年代提出，他使用 群（法语：group）这一术语来描述方程根的对称群，这一概念如今被称为伽罗瓦群。随着来自数论、几何等其他领域的贡献，群的概念得到了推广，并在 1870 年左右被正式确立。现代群论是一个活跃的数学学科，它研究群本身的性质。为了探索群，数学家引入了各种概念，以便将群分解为更小、更易理解的部分，例如子群、商群和单群。除了研究群的抽象性质之外，群论学者还研究群的具体表现方式，包括表示论（即群的表示）和计算群论的方法。对于有限群，已经发展出一整套理论，并最终在 2004 年完成了有限单群的分类。自 20 世纪 80 年代中期以来，几何群论这一分支迅速发展，它将有限生成群视为几何对象进行研究，成为群论中的一个活跃领域。

群论是近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。

这一章所讨论的代数系统由一个非空的集合 $S$ 和一个定义在 $S$ 上的二元运算 $*$ 所构成，即 $[ S ; *]$ 。

## 近世代数对代数的思考
在《线性代数》里，我们介绍了[近似代数对数学的整体思考](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2602)，没有看过的朋友可以先看一下，下面介绍一下数学界对“代数”的整体思考，代数，在初中时就学过，比如 加法、减法、乘法、除法、乘法、开方等。我们有没有想过，这些“法则”是怎么定义的？或者说，这种“法则”的产生是一种巧合还是一种人类数学史发展的必然？ 如果是人类的定义，比如定义乘法 $ab=ba$，当把$a,b$扩展到矩阵时，又发现$AB \ne BA$，因此，我们需要捋顺一下整个代数定义的基本思路。参考下图
 
 
 ![图片](/uploads/2025-04/7e34cc.jpg){width=400px}

## 元素
我们把一个个“物体”称作元素。他可以是实体也可以是虚拟的，比如班级里的男生，那么男生就是一个“元素”。元素放在一起就组成了集合Set

## 集合
这是集合论的创立者康托尔对集合的定义，物以类聚为集合。比如班里的男生集合，班里的女生集合。

这是一个直观且朴素的定义，比较容易理解，但是不够严格。比如著名的罗素悖论(Russell's paradox)就对康托尔的集合论造成了致命一击，甚至引发了第三次数学危机。

康托尔对于集合的研究被称为朴素集合论。而为了规避罗素悖论，数学家们对集合论进行了严格公理化，被称为公理化集合论。

集合论可以说是现代数学的基石，几乎所有分支里面都会集合的概念。

比如集合加上结构，构成了空间，再进一步衍生出拓扑空间，度量空间，线性空间等，这是线性代数的分支。
如下图

**集合的特性**
集合要满足以下三个特性：
无序性。{1,2,3}与{3,2,1}是一样的。
互异性。集合内的元素都是不同的。
确定性。一个元素属不属于一个集合是确定的，不能含糊。高富帅不是集合，因为定义模糊。但是身高1米八、年薪100w的人是集合 ，因为是确定的

集合元素之间的二元运算则称作原群

## 原群 Magma
二元运算，通俗一点说，二元运算就是：以两个元素为输入，经过一个运算后得到一个元素，如下图所示
 ![图片](/uploads/2025-04/207c45.jpg){width=300px}

二元运算可以随意定义：
比如集合中两个元素为 x 和 y ，我们可以将运算定义为：
- 加法：$x+y$
- 乘法：$x \times y$
- 自定义的运算：$(x+y) / 2 \pi$

又比如集合为 $\{剪刀，石头，布 \}$
我们定义运算的结果为：剪刀石头布三者，打架后谁赢了，如下图所示：

![图片](/uploads/2025-04/05b69a.jpg)

### Magma 原群

如果二元运算的结果还在集合中，我们称这个集合在该运算下闭合（Closed），这一性质叫做**封闭性**（Closure）。

集合与在该集合上的一个二元封闭性运算，构成了原群（Magma）。
注意这里面有三个关键词：集合，二元运算，封闭性。

**这里特别要强调一下封闭性，以整数，整数的加法，减法和乘法仍然是整数，但是整数的乘法出现了小数，我

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