最后更新: 2025-04-20 14:16 查看: 108 次反馈刷题

群、半群与幺半群

## 群的概述
群的概念起源于对多项式方程的研究，最早由伽罗瓦在 1830 年代提出，他使用 群（法语：group）这一术语来描述方程根的对称群，这一概念如今被称为伽罗瓦群。随着来自数论、几何等其他领域的贡献，群的概念得到了推广，并在 1870 年左右被正式确立。现代群论是一个活跃的数学学科，它研究群本身的性质。为了探索群，数学家引入了各种概念，以便将群分解为更小、更易理解的部分，例如子群、商群和单群。除了研究群的抽象性质之外，群论学者还研究群的具体表现方式，包括表示论（即群的表示）和计算群论的方法。对于有限群，已经发展出一整套理论，并最终在 2004 年完成了有限单群的分类。自 20 世纪 80 年代中期以来，几何群论这一分支迅速发展，它将有限生成群视为几何对象进行研究，成为群论中的一个活跃领域。

群论是近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。

这一章所讨论的代数系统由一个非空的集合 $S$ 和一个定义在 $S$ 上的二元运算 $*$ 所构成，即 $[ S ; *]$ 。

## 近世代数对代数的思考
在《线性代数》里，我们介绍了[近似代数对数学的整体思考](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2602)，没有看过的朋友可以先看一下，下面介绍一下数学界对“代数”的整体思考，代数，在初中时就学过，比如 加法、减法、乘法、除法、乘法、开方等。我们有没有想过，这些“法则”是怎么定义的？或者说，这种“法则”的产生是一种巧合还是一种人类数学史发展的必然？ 如果是人类的定义，比如定义乘法 $ab=ba$，当把$a,b$扩展到矩阵时，又发现$AB \ne BA$，因此，我们需要捋顺一下整个代数定义的基本思路。参考下图
 
 
 ![图片](/uploads/2025-04/7e34cc.jpg){width=400px}

## 元素
我们把一个个“物体”称作元素。他可以是实体也可以是虚拟的，比如班级里的男生，那么男生就是一个“元素”。元素放在一起就组成了集合Set

## 集合
这是集合论的创立者康托尔对集合的定义，物以类聚为集合。比如班里的男生集合，班里的女生集合。

这是一个直观且朴素的定义，比较容易理解，但是不够严格。比如著名的罗素悖论(Russell's paradox)就对康托尔的集合论造成了致命一击，甚至引发了第三次数学危机。

康托尔对于集合的研究被称为朴素集合论。而为了规避罗素悖论，数学家们对集合论进行了严格公理化，被称为公理化集合论。

集合论可以说是现代数学的基石，几乎所有分支里面都会集合的概念。

比如集合加上结构，构成了空间，再进一步衍生出拓扑空间，度量空间，线性空间等，这是线性代数的分支。
如下图

**集合的特性**
集合要满足以下三个特性：
无序性。{1,2,3}与{3,2,1}是一样的。
互异性。集合内的元素都是不同的。
确定性。一个元素属不属于一个集合是确定的，不能含糊。高富帅不是集合，因为定义模糊。但是身高1米八、年薪100w的人是集合 ，因为是确定的

集合元素之间的二元运算则称作原群

## 原群 Magma
二元运算，通俗一点说，二元运算就是：以两个元素为输入，经过一个运算后得到一个元素，如下图所示
 ![图片](/uploads/2025-04/207c45.jpg){width=300px}

二元运算可以随意定义：
比如集合中两个元素为 x 和 y ，我们可以将运算定义为：
- 加法：$x+y$
- 乘法：$x \times y$
- 自定义的运算：$(x+y) / 2 \pi$

又比如集合为 $\{剪刀，石头，布 \}$
我们定义运算的结果为：剪刀石头布三者，打架后谁赢了，如下图所示：

![图片](/uploads/2025-04/05b69a.jpg)

### Magma 原群

如果二元运算的结果还在集合中，我们称这个集合在该运算下闭合（Closed），这一性质叫做**封闭性**（Closure）。

集合与在该集合上的一个二元封闭性运算，构成了原群（Magma）。
注意这里面有三个关键词：集合，二元运算，封闭性。

**这里特别要强调一下封闭性，以整数，整数的加法，减法和乘法仍然是整数，但是整数的乘法出现了小数，我们就说整数对除法不封闭。但是，如果我们把整数集扩展到实数集，就发现实数对加法，减肥，乘法和除法是封闭的。**

## 半群
结合律（Associative property）
结合律依然是描述二元运算的，通俗一点讲，就是集合中多个元素在二元运算上的结果与结合顺序没有关系。

比如二元运算为 $\circ$ ，集合为 $S$ ，则 $x \circ(y \circ z)=(x \circ y) \circ z, \forall x, y, z \in S$ ，如下图所示：

![图片](/uploads/2025-04/457cb8.jpg)

### 半群(Semigroup)
如果我们在原群的基础上，再加一点约束条件：结合律，则原群(Magma)变成一个半群(Semigroup)。

## 幺半群(Monoid)

### 单位元（Identity）
假设有一集合S，e为集合中的元素，如果对于 $S$ 中任意元素 $a$ ，有一运算 o ：
- 如果满足：$e \circ a=a$ ，则称 e 为左单位元
- 如果满足：$a \circ e=a$ ，则称 e 为右单位元
- 如果满足：$e \circ a=a \circ e=a$ ，则称 e 为 单位元

**这里的$e$ 你可以理解为初等数学里的数字：1**

### 么半群（Monoid）

幺半群就是包含单位元的半群。

> **为什么叫幺半群？起了个这么奇怪的名字？因为幺在汉语里有1的意思，比如火警电话119读作 幺幺九，而很少读一一九**

## 群(Group)

### 逆元（Inverse）

假设集合 $S$ 的单位元为 $e$ ，对于集合中的元素 x ，
- 如果集合中存在元素 y 和运算 $\circ$ 使得 $x \circ y=e$ ，则称 y 为 x 的右逆元
- 如果集合中存在元素 y 和运算 0 使得 $y \circ x=e$ ，则称 y 为 x 的左逆元
- 如果集合中存在元素 y 和运算 $\circ$ 使得 $x \circ y=y \circ x=e$ ，则称 y 为 x 的逆元

比如实数的加法逆元为 - x ，非零实数的乘法逆元为 $1 / x$

### 群（Group）
如果我们在么半群Monoid 的基础上，再加一点约束条件：其中任意元素都存在 逆元，则么半群（Monoid）变成一个群（Group）。

**到了群这一级别，还可以继续定义，比如运算满足交换律的群被称为阿贝尔群，如果满足元素到自身的映射称作置换群，另外还有对称性、有限群等等**

## 半群与拟群
**定义13.1** 代数系统 $[S ; *]$ ，当其二元运算＊是可结合的，即对任 $a, b, c \in S$ 有

$$
a *(b * c)=(a * b) * c
$$

则称该系统为**半群**。

事实上，半群是一个比群更一般的概念，在许多场合也很有用，但关于它的理论却比较新。在此，我们对它不作过多讨论，只在引入群和环的概念时用到它。

定义13.2 设 $[S ; *]$ 为半群，当 $*$ 在 $S$ 中有单位元 $e$ ，即对任意 $a \in S$ ，有

$$
a * e=e * a=a
$$

称该半群为含单位元半群或称为**拟群**(幺半群)。

`例` 半群的例子
- 自然数与乘法可以构成一个半群，因为 $(x * y) * z=x *(y * z), \forall x, y, z \in N$
- 自然数与加法可以构成一个半群，$(x+y)+z=x+(y+z), \forall x, y, z \in N$
- 自然数与减法不是半群，也不是原群，因为运算后会出现负数，不在自然数集合里。
- 实数与加法可以构成一个半群，因为 $(x+y)+z=x+(y+z), \forall x, y, z \in R$
- 实数与减法不是半群，因为 $(x-y)-z \neq x-(y-z), \forall x, y, z \in N$ ，虽然 $z$ 为 0 时可以满足，但是依然不符合定义中的：＂对于任意 $x , y , z $"

`例` 是原群但是不是半群的例子

我们定义 $x \circ y=\frac{x+y}{2}$ ，则 $( R , \circ)$ 是原群，但是不是半群。因为不符合结合律。
验证：

$$
\begin{aligned}
& (1 \circ 3) \circ 5=\frac{\frac{1+3}{2}+5}{2}=3.5 \\
& 1 \circ(3 \circ 5)=\frac{1+\frac{3+5}{2}}{2}=2.5
\end{aligned}
$$

还有我们原群的文章中提到的石头剪子布的例子也是一个原群，但不是半群。

`例`幺半群的例子
- 自然数与加法构成幺半群，因为 0 在集合中且是加法的单位元
- 自然数与乘法构成幺半群，因为 1 在集合中且是乘法的单位元
- $\{3,4,5,8\}$ 与Max构成么半群，最小元素 3 是单位元

`例`是半群但是不是么半群的例子
- 正整数与加法是半群，但不是么半群，因为没有 0 ，也就没有相加后与自身相等的元素
- 偶数与乘法是是半群，但不是么半群，因为没有 1 ，也就没有相乘后与自身相等的元素

###   半群在生活中的作用
排队系统 
假设一个队伍每次只能从末尾添加新人，无论先加A还是先加B，最终队伍顺序都是A→B。这种“添加操作”满足结合律，构成半群。
 菜谱步骤 
做菜时，先放盐再放糖，和先放糖再放盐，最终味道可能不同（不满足结合律）。但如果操作是“混合食材A和B”，无论先混A还是先混B，结果相同，则构成半群。
 文件合并 
将多个文件合并成一个，无论先合并文件A和B，再与C合并，还是先合并B和C，再与A合并，最终结果都是三个文件的完整内容。

`例` 设 $S=\{1,0\} S \rightarrow S$ 的映射有

$$
\sigma_0: \begin{aligned}
& 0 \rightarrow 0 \\
& 1 \rightarrow 1
\end{aligned} \quad \sigma_1: \begin{aligned}
& 0 \rightarrow 1 \\
& 1 \rightarrow 1
\end{aligned} \quad \sigma_2: \begin{aligned}
& 0 \rightarrow 0 \\
& 1 \rightarrow 0
\end{aligned} \quad \sigma_3: \begin{aligned}
& 0 \rightarrow 1 \\
& 1 \rightarrow 0
\end{aligned}
$$

这些映射的复合运算 0 结果如表 13.1 所例。

![图片](/uploads/2025-01/3efe8d.jpg)
 
 由表 13.1 可见复合运算。关于集合 $S^S=\left\{\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\right\}$ 是封闭的，由于映射的复合运算是可结合的，所以我们知道代数系统［ $S^S$ ；。］是半群。查表 13.1 可见，以 $\sigma_0$ 为标志的行中所有运算结果与标志行元素相同；以 $\sigma_0$ 为标志的列中所有运算结果与标志列元素相同，即

$$
\sigma_0 \circ \sigma_i=\sigma_i \circ \sigma_0=\sigma_i \quad i=1,2,3,0
$$

说明 $\sigma_0$ 为该系统关于运算 $\circ$ 的单位元，$\left[S^S ; \circ\right]$ 为拟群。至此，我们可把表 13.1 称为拟群 ［ $S^S ; \circ$ ］的运算表。

`例`设 $\Sigma=\left\{x_i \mid i=1, \cdots, n\right\}$ 是一个由字符组成的有限集。 $\Sigma^{+}=\left\{a_1 a_2 \cdots a_k \mid a_i \in \Sigma, i=\right.$ $1, \cdots, k, k \in N\}$ 是一个由 $\Sigma$ 中的字符组成的，有限长字符串构成的集合。

定义二元连接运算。如下。
设 $\alpha=a_1 \cdots a_k, \quad \beta=b_1 \cdots b_l \in \Sigma^{+}$，

$$
\alpha \circ \beta=a_1 \cdots a_k b_1 \cdots b_l
$$

即将 $\alpha, \beta$ 两个字符串连接为一个新的字符串。显然这个连接运算在 $\Sigma^{+}$封闭的。对任意 $r \in \Sigma^{+}$，设 $r=c_1 \cdots c_t$ ，则

$$
\alpha \circ(\beta \circ \gamma)=(\alpha \circ \beta) \circ \gamma=a_1 \cdots a_k b_1 \cdots b_l c_1 \cdots c_t
$$

－满足结合律。可见 $\left[\Sigma^{+} ; \circ\right.$ 是一个半群。但它没有单位元，不是拟群。
习惯上称字符串 $a_1 \cdots a_k$ 的长度为 $k$ ，现引进一长度为 0 的＂空字＂，表示为 $\lambda$ ，集合 $\Sigma^*=\Sigma^{+} \bigcup\{\lambda\}$ ，代数系统 $\left[\Sigma^* ; \circ\right.$ ］是半群；又因 $\lambda$ 是它的单位元，$\alpha \circ \lambda=\lambda \circ \alpha=\alpha$ ，所以 $\left[\Sigma^* ; \circ\right]$ 是一个拟群。

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