最后更新: 2025-04-20 15:11 查看: 38 次反馈刷题

群与交换群

## 群

建议在阅读本文前已经了解[群、半群与幺半群](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2112)

**定义13.3**  $[S ; *]$ 为拟群(幺半群)，当 $S$ 中的每一个元素都有逆元时，称它为群。群相当于定义了一个代数系统，需要满足的基本条件。
 
这个定义可以更清楚的叙述如下。
 
$[S ; *]$ 是一个代数系统，＊为定义在 $S$ 上的二元运算（满足封闭性），满足下述条件。对任意的 $a, b, c \in S$ ：
（1）可结合：$a *(b * c)=(a * b) * c$ 。
（2）有单位元 $e \in S$ ，使 $a * e=e * a=a$ 。
（3）每个元有逆元，即存在 $a^{-1} \in S, a * a^{-1}=a^{-1} * a=e$ ，则称 $[S ; *]$ 为群。
今后我们常用 $[G ; \cdot]$ 表示一个群，习惯上把它的运算称为乘法运算，并将 $a, b$ 两个元素运算的结果写成 $a b$ 。

群是以高度抽象的形式给出的代数运算。群与半群的区别
 ![图片](/uploads/2025-04/7021f7.jpg)
 
## 交换群
当群中的二元运算又满足交换律时，称该群为**交换群**，也称它为阿贝尔（Abel）群。

`例`  $[Z ;+]$ 是群，其单位元是 0 ，以后常用 0 表示加法群中的单位元，每个元 $k \in Z$ 的逆元是 $-k$ ，称为 $k$ 的负元。但 $[Z ; \times]$ 不是群，因为 $0 \in Z$ ，但它没有逆元。

例13．5 $G=\{1,-1, i,-i\},[G ;$ 。］中乘法＂。＂运算见表13．2。
 ![图片](/uploads/2025-01/0483fc.jpg)
 
 由表 13.2 知，$\circ$ 运算是封闭的； 1 是单位元，每个元有逆元：$(1)^{-1}=1,(-1)^{-1}=-1,(i)^{-1}=$ $-i,(-i)^{-1}=i$ ；运算是可结合的，且满足交换律。所以 $[G ; \circ$ 是群，而且是交换群。

与前类似，我们把上述运算表称为**群运算表**。

`例` ，$[Q ;+],[R ;+],[C ;+]$ 皆为群，且都是可交换的，把它们分别称为有理数加法群，实数加法群和复数加法群。

而 $[Q ; \times],[R ; \times],[C ; \times]$ 都因为有 0 元存在，所以都不是群。但 $Q^*=Q-\{0\}, R^*=R-\{0\}$ ， $C^*=C-\{0\}$ 与乘法都分别构成群，称为有理数（实数，复数）乘法群。

## 无限群与有限群
定义 13.4 设 $[G ; \cdot]$ 为群，当 $|G|=+\infty$ 时，称该群为无限群；当 $|G|=n<+\infty$ 时，称它为有限群，且说群 $G$ 的阶为 $n$ 。

`例` $n \in N$ 为有理数，$Z_n=\{[0], \cdots,[n-1]\}$ ，则 $\left[Z_n ; \oplus\right]$ 是有限，可交换群。
$\left[Z_n ; \otimes\right]$ 不是群，因为 $[0] \in Z_n$ 没有乘法逆元。它是一个有限可交换拟群。如果取 $Z_n{ }^*=Z_n-\{[0]\}$ ，那么 $\left[Z_n{ }^* ; \otimes\right]$ 是否是群？请读者考虑几种可能性。

定义 13.3 中我们给出了群的一种定义，实际上群有多种定义方法，下面通过对群的性质讨论引进这些等价定义。今后把群［ $G$ ；$]$（将＊改为点）简记为群 $G$ 。

### 定理 13.1
半群 $G$ 中 $n$ 个元素 $a_1 \cdots a_n$ 连乘的积，经任意加括号其结果不变。
证明：只需证明任意加括号所得的积皆与 $\left(\cdots\left(\left(a_1 a_2\right) a_3\right) \cdots a_n\right)$ 相等。用数学归纳法证明之。
归纳基础：$n=2$ ，定理显然成立。
归纳假设：有 $k \geqslant 2$ 个元素连乘时，定理成立。
归纳步骤：设 $n=k+1$ 。不失一般性，经若干运算后得 $k+1$ 个元素的积为 $\left(\left(a_1 \cdots a_i\right)\right.$ $\left.\left(a_{i+1} \cdots a_{k+1}\right)\right)$ ，分几种情况讨论。

情况1 $ \quad i=k$ 。由归纳假设知，$a_1 \cdots a_k$ 之积与加括号无关

$$
\begin{aligned}
& \left(a_1 \cdots a_k\right) a_{k+1} \\
& =\left(\cdots\left(\left(a_1 a_2\right) a_3\right) \cdots a_k\right) a_{k+1}
\end{aligned}
$$

情况2 $ i=k-1$ 。应用结合律与归纳假设，有
$$
\begin{aligned}
& \left(a_1 \cdots a_{k-1}\right)\left(a_k a_{k+1}\right) \\
= & \left(\left(a_1 \cdots a_{k-1}\right) a_k\right) a_{k+1} \\
= & \left(\cdots\left(a_1 a_2\right) \cdots a_k\right) a_{k+1}
\end{aligned}
$$

情况3 $ i<k-1$ 。应用归纳假设与结合律，有

$$
\begin{aligned}
& \left(a_1 \cdots a_i\right)\left(a_{i+1} \cdots a_{k+1}\right) \\
= & \left(a_1 \cdots a_i\right)\left(\left(a_{i+1} \cdots a_k\right) a_{k+1}\right) \\
= & \left(\left(a_1 \cdots a_i\right)\left(a_{i+1} \cdots a_k\right)\right) a_{k+1} \\
= & \left(\cdots\left(a_1 a_2\right) \cdots a_k\right) a_{k+1}
\end{aligned}
$$

因此结论成立。

> 由这个定理我们可把 $a_1 \cdots a_n$ 写成 $\prod_{i=1}^n a_i$ ，特别当 $a_i=a_j=a, i, j=1, \cdots, n$ 时可写成幂的形式 $a^n$ 。类似地，对加法群中 $n$ 个元素相加可写成 $\sum_{i=1}^n a_i$ ，同一元素相加 $n$ 次可写成 $n a$ 。

### 定理13.2 
$G$ 为群，$a_i \in G, i=1, \cdots, n$ ，则

$$
\left(a_1 \cdots a_n\right)^{-1}=a_n^{-1} \cdots a_1^{-1}
$$

证明：由结合律与定理 13.1 知下述等式成立。

$$
\begin{aligned}
& \left(a_1 \cdots a_n\right)\left(a_n^{-1} \cdots a_1^{-1}\right) \\
= & a_1 \cdots\left(a_n a_n^{-1}\right) \cdots a_1^{-1} \\
= & a_1 \cdots a_{n-1} e a_{n-1}^{-1} \cdots a_1^{-1} \\
= & \cdots \\
= & a_1 a_1^{-1} \\
= & e
\end{aligned}
$$

所以，$a_n{ }^{-1} \cdots a_1{ }^{-1}$ 是 $a_1 \cdots a_n$ 之逆元 $\left(a_1 \cdots a_n\right)^{-1}$ 。

指数运算
上面已介绍有关幂（指数）的表示法，现讨论有关指数运算的规律，先约定：

$$
\begin{gathered}
a^0=e(0 a=0) \\
a^{-k}=\left(a^{-1}\right)^k(-k a=k(-a))
\end{gathered}
$$

### 定理 13.3 
在群 $G$ 中存在指数律，$a \in G, m, n \in Z$
（1）$a^m \cdot a^n=a^{m+n}$
（2）$\left(a^m\right)^n=a^{m n}$
本定理的证明留作习题。对于加法群，上述结论分别为：
（1）$m a+n a=(m+n) a$
（2）$n(m a)=(n m) a$

### 定理13.4 
当 $G$ 为交换群时，任意 $a, b \in G$ 有

$$
(a b)^n=a^n b^n
$$

证明：$n=0$ 时，等式显然成立。
$n>0$ 时，由交换律与结合律可证等式成立。
$n<0$ 时，设 $n=-n^{\prime}, n^{\prime}>0$
$$
\begin{aligned}
(a b)^n & =(a b)^{-n^{\prime}}=\left((a b)^{-1}\right)^{n^{\prime}} \\
& =\left(b^{-1} a^{-1}\right)^{n^{\prime}} \\
& \left.=\left(a^{-1} b^{-1}\right)^{n^{\prime}} \quad \text { (交换律 }\right) \\
& \left.=\left(a^{-1}\right)^{n^{\prime}}\left(b^{-1}\right)^{n^{\prime}} \quad \text { (用 } n^{\prime}>0 \text { 时结论 }\right) \\
& =a^{-n^{\prime}} b^{-n^{\prime}}=a^n b^n
\end{aligned}
$$

因此结论成立。

### 定理 13.5 
在群 $G$ 中存在消去律，即对任意 $a, b, c \in G$ ，有
（1）若 $a c=b c$ ，则 $a=b$ 。
（2）若 $c a=c b$ ，则 $a=b$ 。
证明：由 $a c=b c$ 得 $(a c) c^{-1}=(b c) c^{-1}$ ，由结合律得等式 $a\left(c c^{-1}\right)=b\left(c c^{-1}\right)$ ，于是 $a=b$ ，
（2）式证明亦然。

### 定理13．6 
半群 $G$ 是群，当且仅当下列条件满足：
（1）对任意 $g \in G$ ，存在 $\tilde{e} \in G$ 使 $\tilde{e} g=g$ ，即 $\tilde{e}$ 为左单位元。
（2）对任意 $g \in G$ ，存在 $\tilde{g} \in G$ 使 $\tilde{g} g=\tilde{e}$ ，不妨称 $\tilde{g}$ 为 $g$ 的左逆元。
证明：必要性是显然的，因为单位元也是左单位元，每个元的逆元也是它的左逆元。
充分性：首先由 $\tilde{g} g=\tilde{e}$ 证明 $g \tilde{g}=\tilde{e}$ ：对 $\tilde{g} \in G$ ，由（2）知存在 $\tilde{\tilde{g}} \in G$ 使 $\tilde{\tilde{g}} \tilde{g}=\tilde{e}$ 。于是

$$
\begin{aligned}
g \tilde{g} & =\tilde{e}(g \tilde{g}) \quad \text { (由 }(1) \tilde{e} \text { 为左单位元) } \\
& =(\tilde{e} g) \tilde{g} \\
& =((\tilde{\tilde{g}} \tilde{g}) g) \tilde{g} \\
& =(\tilde{\tilde{g}}(\tilde{g} g)) \tilde{g} \quad \text { (结合律 }) \\
& =(\tilde{\tilde{g}} \tilde{e}) \tilde{g} \\
& =\tilde{\tilde{g}}(\tilde{e} \tilde{g}) \\
& =\tilde{\tilde{g}} \tilde{g} \\
& =\tilde{e}
\end{aligned}
$$

再证明 $\tilde{e}$ 也是右单位元

$$
g \tilde{e}=g(\tilde{g} g)=(g \tilde{g}) g=\tilde{e} g=g
$$

所以 $[G ; \cdot]$ 为群。

### 定理 13.7 
半群 $G$ 是群，当且仅当，对任意的 $a, b \in G$ ，必存在 $x, y \in G$ ，使 $a x=b, y a=b$ 。
证明：必要性：$a x=b$ 时，$x=a^{-1} b 。 y a=b$ 时，$y=b a^{-1}$ 。
充分性：定理条件相当于两个方程在 $G$ 中有解。取 $b=a$ ，由定理的条件知 $y a=a$ ，设 $e_a=y$ ，现证明 $e_a$ 为 $G$ 的左单位元：在 $G$ 中任意取一个元素 $c$ ，则必有某个 $x_0 \in G$ ，使 $a x_0=c$ ，于是有

$$
e_a c=e_a\left(a x_0\right)=\left(e_a a\right) x_0=a x_0=c
$$

所以 $e_a$ 为 $G$ 的左单位元，记为 $\tilde{e}$ 。再由 $y a=\tilde{e}$ 有解知：对任意的 $a \in G$ ，有 $\tilde{a} \in G$ ，使得 $\tilde{a} a=\tilde{e}$ 。由定理 13.6 知 $G$ 为群。

上面定理 13.6 与定理 13.7 实际上给出了群的等价定义。下面的定理也可以算作有限群的等价定义。

### 定理13．8
$G$ 为有限半群，它是群，当且仅当运算满足消去律。
证明：必要性：对任 $a, b, c \in G, a c=b c$ ，则

$$
(a c) c^{-1}=(b c) c^{-1}, a=b
$$

同理可证另一等式。
充分性：因为 $|G|<+\infty$ ，对任意 $g_1, g_2 \in G$ ，当 $g_1 \neq g_2$ 时，对任一个 $g \in G, g_1 g \neq g_2 g$ （因为存在消去律）；于是 $G=\left\{g_1 g \mid g \in G\right\}$ 。这说明对任意的 $\bar{g} \in G$ 必有某个 $g$ 使 $g_1 g=\bar{g}$ ，这就相当于 $g x=\bar{g}$ 在 $G$ 中有解，同理 $y g=\bar{g}$ 在 $G$ 中也有解。**由定理13．7知此有限半群是群。**

## 群的通俗解释
生活中，任何比赛都有规则，足球比赛有足够比赛的规则，游泳比赛有游泳比赛的规则，那么代数这个抽象的系统，他的规则是什么呢？我们把代数的规则定义为群。 群是数学中描述“一组元素如何配合”的工具，核心思想是：几个东西按固定规则组合后，整体还能保持某种规律性。举个生活中的例子：

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1. **核心特点：四个“群规”**
想象一个乐队合奏：
• 封闭性：鼓手敲鼓、吉他弹弦，所有乐器的声音组合后还是音乐（不会突然变成狗叫）。

• 结合律：先敲鼓再弹吉他，和先弹吉他再敲鼓，最终效果一样（听众不会觉得顺序乱了）。

• 单位元：有一个“静音按钮”，按下后所有乐器停止，但乐队本身还存在（相当于“什么都不做”的操作）。

• 逆元：如果鼓手敲了一段节奏，总有一个反向敲击能抵消它（比如撤销刚才的鼓点）。

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2. **生活中的群**
• 钟表加法：12小时制的时间相加（如10点+3小时=1点），结果仍在钟表上，且每步操作可逆（比如+3小时的逆操作是-3小时）。

• 魔方转动：魔方的每次旋转是一个操作，所有旋转组合后仍能回到初始状态（封闭性），且总能通过反向旋转撤销之前的动作（逆元）。

• 微信群聊：群成员发言（元素），消息按顺序传递（运算），但需要管理员（单位元）维持秩序，删除不当言论（逆操作）。

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3. **为什么需要“群”？**
• 简化复杂系统：比如用“旋转群”描述地球自转、雪花对称性，只需几个规则就能概括无数种变化。

• 统一不同领域：无论是物理定律（对称性）、密码学（置换群）还是音乐（节奏组合），群论提供了一套通用语言。

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4. **类比理解**
• 群 ≈ 乐谱：每个音符（元素）按规则（运算）排列，最终形成和谐的乐章（数学结构）。

• 群 ≈ 菜谱：食材（元素）按步骤（运算）组合，结果要么是美食（封闭性），要么失败（违反群规）。

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总结
群是数学中研究“配合规则”的工具，关键不在于具体元素是什么，而在于它们如何互动。就像乐队不需要知道乐器材质，只需按乐谱演奏，群论关注的是规则本身。

其他版本
【离散数学】群、半群与幺半群

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