最后更新: 2025-04-20 15:11 查看: 111 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

群与交换群

## 群

建议在阅读本文前已经了解[群、半群与幺半群](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2112)

**定义13.3**  $[S ; *]$ 为拟群(幺半群)，当 $S$ 中的每一个元素都有逆元时，称它为群。群相当于定义了一个代数系统，需要满足的基本条件。
 
这个定义可以更清楚的叙述如下。
 
$[S ; *]$ 是一个代数系统，＊为定义在 $S$ 上的二元运算（满足封闭性），满足下述条件。对任意的 $a, b, c \in S$ ：
（1）可结合：$a *(b * c)=(a * b) * c$ 。
（2）有单位元 $e \in S$ ，使 $a * e=e * a=a$ 。
（3）每个元有逆元，即存在 $a^{-1} \in S, a * a^{-1}=a^{-1} * a=e$ ，则称 $[S ; *]$ 为群。
今后我们常用 $[G ; \cdot]$ 表示一个群，习惯上把它的运算称为乘法运算，并将 $a, b$ 两个元素运算的结果写成 $a b$ 。

群是以高度抽象的形式给出的代数运算。群与半群的区别
 ![图片](/uploads/2025-04/7021f7.jpg)
 
## 交换群
当群中的二元运算又满足交换律时，称该群为**交换群**，也称它为阿贝尔（Abel）群。

`例`  $[Z ;+]$ 是群，其单位元是 0 ，以后常用 0 表示加法群中的单位元，每个元 $k \in Z$ 的逆元是 $-k$ ，称为 $k$ 的负元。但 $[Z ; \times]$ 不是群，因为 $0 \in Z$ ，但它没有逆元。

例13．5 $G=\{1,-1, i,-i\},[G ;$ 。］中乘法＂。＂运算见表13．2。
 ![图片](/uploads/2025-01/0483fc.jpg)
 
 由表 13.2 知，$\circ$ 运算是封闭的； 1 是单位元，每个元有逆元：$(1)^{-1}=1,(-1)^{-1}=-1,(i)^{-1}=$ $-i,(-i)^{-1}=i$ ；运算是可结合的，且满足交换律。所以 $[G ; \circ$ 是群，而且是交换群。

与前类似，我们把上述运算表称为**群运算表**。

`例` ，$[Q ;+],[R ;+],[C ;+]$ 皆为群，且都是可交换的，把它们分别称为有理数加法群，实数加法群和复数加法群。

而 $[Q ; \times],[R ; \times],[C ; \times]$ 都因为有 0 元存在，所以都不是群。但 $Q^*=Q-\{0\}, R^*=R-\{0\}$ ， $C^*=C-\{0\}$ 与乘法都分别构成群，称为有理数（实数，复数）乘法群。

## 无限群与有限群
定义 13.4 设 $[G ; \cdot]$ 为群，当 $|G|=+\infty$ 时，称该群为无限群；当 $|G|=n<+\infty$ 时，称它为有限群，且说群 $G$ 的阶为 $n$ 。

`例` $n \in N$ 为有理数，$Z_n=\{[0], \cdots,[n-1]\}$ ，则 $\left[Z_n ; \oplus\right]$ 是有限，可交换群。
$\left[Z_n ; \otimes\right]$ 不是群，因为 $[0] \in Z_n$ 没有乘法逆元。它是一个有限可交换拟群。如果取 $Z_n{ }^*=Z_n-\{[0]\}$ ，那么 $\left[Z_n{ }^* ; \otimes\right]$ 是否是群？请读者考虑几种可能性。

定义 13.3 中我们给出了群的一种定义，实际上群有多种定义方法，下面通过对群的性质讨论引进这些等价定义。今后把群［ $G$ ；$]$（将＊改为点）简记为群 $G$ 。

### 定理 13.1
半群 $G$ 中 $n$ 个元素 $a_1 \cdots a_n$ 连乘的积，经任意加括号其结果不变。
证明：只需证明任意加括号所得的积皆与 $\left(\cdots\left(\left(a_1 a_2\right) a_3\right) \cdots a_n\right)$ 相等。用数学归纳法证明之。
归纳基础：$n=2$ ，定理显然成立。
归纳假设：有 $k \geqslant 2$ 个元素连乘时，定理成立。
归纳步骤：设 $n=k+1$ 。不失一般性，经若干运算后得 $k+1$ 个元素的积为 $\left(\left(a_1 \cdots a_i\right)\right.$ $\left.\left(a_{i+1} \cdots a_{k+1}\right)\right)$ ，分几种情况讨论。

情况1 $ \quad i=k$ 。由归纳假设知，$a_1 \cdots a_k$ 之积与加括号无关

$$
\begin{aligned}
& \left(a_1 \cdots a_k\right) a_{k+1} \\
& =\left(\cdots\left(\left(a_1 a_2\right) a_3\right) \cdots a_k\right) a_{k+1}
\end{aligned}
$$

情况2 $ i=k-1$ 。应用结合律与归纳假设，有
$$
\begi

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【离散数学】群、半群与幺半群

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