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离散数学
第七章 群与环
半群
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2025-01-22 10:48
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半群
定理 13.7 半群 $G$ 是群，当且仅当，对任意的 $a, b \in G$ ，必存在 $x, y \in G$ ，使 $a x=b, y a=b$ 。 证明：必要性：$a x=b$ 时，$x=a^{-1} b 。 y a=b$ 时，$y=b a^{-1}$ 。 充分性：定理条件相当于两个方程在 $G$ 中有解。取 $b=a$ ，由定理的条件知 $y a=a$ ，设 $e_a=y$ ，现证明 $e_a$ 为 $G$ 的左单位元：在 $G$ 中任意取一个元素 $c$ ，则必有某个 $x_0 \in G$ ，使 $a x_0=c$ ，于是有 $$ e_a c=e_a\left(a x_0\right)=\left(e_a a\right) x_0=a x_0=c $$ 所以 $e_a$ 为 $G$ 的左单位元，记为 $\tilde{e}$ 。再由 $y a=\tilde{e}$ 有解知：对任意的 $a \in G$ ，有 $\tilde{a} \in G$ ，使得 $\tilde{a} a=\tilde{e}$ 。由定理 13.6 知 $G$ 为群。 上面定理 13.6 与定理 13.7 实际上给出了群的等价定义。下面的定理也可以算作有限群的等价定义。 定理13．8 $G$ 为有限半群，它是群，当且仅当运算满足消去律。 证明：必要性：对任 $a, b, c \in G, a c=b c$ ，则 $$ (a c) c^{-1}=(b c) c^{-1}, a=b $$ 同理可证另一等式。 充分性：因为 $|G|<+\infty$ ，对任意 $g_1, g_2 \in G$ ，当 $g_1 \neq g_2$ 时，对任一个 $g \in G, g_1 g \neq g_2 g$ （因为存在消去律）；于是 $G=\left\{g_1 g \mid g \in G\right\}$ 。这说明对任意的 $\bar{g} \in G$ 必有某个 $g$ 使 $g_1 g=\bar{g}$ ，这就相当于 $g x=\bar{g}$ 在 $G$ 中有解，同理 $y g=\bar{g}$ 在 $G$ 中也有解。由定理13．7知此有限半群是群。
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