最后更新: 2025-04-20 15:20 查看: 330 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

变换群、置换群与循环群

本节将介绍三类具体的群，对这些群的研究不仅可以加深对群的认识，而且就其本身而言，也有重要的理论意义与实用价值，尤其在对称性的研究中。在介绍这些群之前，先看一个关于对称性的例子。

## 置换群的引入
`例` 证明不等边长方形所有对称的集合，关于其合成，构成群。
证明：如图所示。长方形的顶点分别为 $1,2,3,4$ ，其对称可通过绕对称轴 $a, b$ 旋转 $180^{\circ}$ 及关于中心 $c$ 反射得到：
 ![图片](/uploads/2025-01/c2d814.jpg)
绕 $a$ 转 $180^{\circ}: 1 \rightarrow 4,2 \rightarrow 3,3 \rightarrow 2,4 \rightarrow 1$ ，记为 $\alpha$ 。
绕 $b$ 转 $180^{\circ}: 1 \rightarrow 2,2 \rightarrow 1,3 \rightarrow 4,4 \rightarrow 3$ ，记为 $\beta$ 。
关于 $c$ 反射： $1 \rightarrow 3,3 \rightarrow 1,2 \rightarrow 4,4 \rightarrow 2$ ，记为 $\gamma$ 。

另有一个初始状态： $1 \rightarrow 1,2 \rightarrow 2,3 \rightarrow 3,4 \rightarrow 4$ ，记为 $e$ 。复合运算 $\circ$ 表如下。
 ![图片](/uploads/2025-01/310a29.jpg)

由运算表可知，合成运算。是封闭的；$e$ 是它的单位元；每个元素以其自身为逆元；由复合映射的性质知。又是可结合的，所以，长方形所有对称关于合成运算。构成一个群。

这个群就是本节要讲的置换群中的一个例子，当然它也是变换群。如本例这类含 4 个元素 $B_4=\{e, \alpha, \beta, \gamma\}$ ，运算。如例 13.8 的表那样定义的群 $\left[B_4 ; \circ\right]$ 有一个专门的名称，叫**克莱茵 （Klein）四元群**。

## 变换群
所谓的变换，实际上就是非空集合 $S$ 到 $S$ 的一个映射，当这个映射又是一个一一对应时，称它为一一变换。我们以 $S^S$ 表示 $S$ 上所有映射全体组成的集合，$T(S)$ 表示所有 $S$ 上一一变换组成的集合。即

$$
\begin{gathered}
S^S=\{f \mid f: S \rightarrow S\} \\
T(S)=\left\{f \mid f \in S^S \text { 且为一一对应 }\right\}
\end{gathered}
$$

### 定义13.5 
设 $G \subseteq T(S)$ ，当［ $G$ ；$\circ$ ］为群时，就称该群为**变换群**，其中 $\circ$ 为一一变换的合成 （复合）运算，简单地写成•（可省略），并称为变换的乘法。

`例` 13.9 $[T(S) ; \cdot]$ 是一个变换群。
证明：（1）由——变换的积仍为一一变换知•满足封闭性，即 $

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