最后更新: 2025-01-22 10:49 ● 参与者查看: 12 次纠错分享参与项目词条搜索

变换群、置换群与循环群

本节将介绍三类具体的群，对这些群的研究不仅可以加深对群的认识，而且就其本身而
言，也有重要的理论意义与实用价值，尤其在对称性的研究中。在介绍这些群之前，先看一个关于对称性的例子。

例 13.8 证明不等边长方形所有对称的集合，关于其合成。构成群。
证明：如上图所示。长方形的顶点分别为 $1,2,3$ ， 4 ，其对称可通过绕对称轴 $a, b$ 旋转 $180^{\circ}$ 及关于中心 $c$ 反射得到：
 ![图片](/uploads/2025-01/c2d814.jpg)
绕 $a$ 转 $180^{\circ}: 1 \rightarrow 4,2 \rightarrow 3,3 \rightarrow 2,4 \rightarrow 1$ ，记为 $\alpha$ 。
绕 $b$ 转 $180^{\circ}: 1 \rightarrow 2,2 \rightarrow 1,3 \rightarrow 4,4 \rightarrow 3$ ，记为 $\beta$ 。
关于 $c$ 反射： $1 \rightarrow 3,3 \rightarrow 1,2 \rightarrow 4,4 \rightarrow 2$ ，记为 $\gamma$ 。

图 13.1

另有一个初始状态： $1 \rightarrow 1,2 \rightarrow 2,3 \rightarrow 3,4 \rightarrow 4$ ，记为 $e$ 。复合运算 $\circ$ 表如下。
 ![图片](/uploads/2025-01/310a29.jpg)

由运算表可知，合成运算。是封闭的；$e$ 是它的单位元；每个元素以其自身为逆元；由复合映射的性质知。又是可结合的，所以，长方形所有对称关于合成运算。构成一个群。

这个群就是本节要讲的置换群中的一个例子，当然它也是变换群。如本例这类含 4 个元素 $B_4=\{e, \alpha, \beta, \gamma\}$ ，运算。如例 13.8 的表那样定义的群 $\left[B_4 ; \circ\right]$ 有一个专门的名称，叫克莱茵 （Klein）四元群。

变换群
所谓的变换，实际上就是非空集合 $S$ 到 $S$ 的一个映射，当这个映射又是一个一一对应时，称它为一一变换。我们以 $S^S$ 表示 $S$ 上所有映射全体组成的集合，$T(S)$ 表示所有 $S$ 上一一变换组成的集合。即

$$
\begin{gathered}
S^S=\{f \mid f: S \rightarrow S\} \\
T(S)=\left\{f \mid f \in S^S \text { 且为一一对应 }\right\}
\end{gathered}
$$

定义 13.5 设 $G \subseteq T(S)$ ，当［ $G$ ；$\circ$ ］为群时，就称该群为变换群，其中 $\circ$ 为一一变换的合成 （复合）运算，简单地写成•（可省略），并称为变换的乘法。

定理13．9 $[T(S) ; \cdot]$ 是一个变换群。
证明：（1）由——变换的积仍为一一变换知•满足封闭性，即 $f, g \in T(S)$ ，有

$$
f g \in T(S)
$$

（2）映射的合成满足结合律，所以任意 $f, g, h \in T(S)$ 有

$$
f(g h)=(f g) h
$$

（3）恒等变换 $I$ 是一一变换，所以 $I \in T(S)$ ，且对任意 $f \in T(S)$

$$
f I=I f=f
$$

所以 $I$ 为单位元，至此可知单位元又有个名称叫恒等元。
（4）任意 $f \in T(S)$ ，因其为一一变换，必有逆变换 $f^{-1}$ ，且为一一变换，所以 $f^{-1} \in T(S)$ ：

$$
f f^{-1}=f^{-1} f=I
$$

由（1）－（4）知 $[T(S) ; \cdot]$ 为群。由于•是不可交换的，所以在一般情况下，变换群是不可交换的。

置换群
定义 13.6 设 $S \neq \varnothing,|S|<+\infty, S$ 上的一个——变换被称为置换。当 $S$ 上的某些置换关于乘法运算构成群时，就称它为置换群。

若 $|S|=n$ ，设 $S=\{1,2, \cdots, n\}$ ，其置换全体组成的集合一般表示为 $S_n$ ；类似于定理13．9的证明知 $\left[S_n ; \cdot\right]$ 是一个置换群，它有一个特定的名称：$n$ 次对称群。
$S$ 上的置换群 $\sigma \in S_n$ ，习惯写成

$$
\sigma=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n)
\end{array}\right)
$$

也可写成

$$
\sigma=\left(\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_n \\
\sigma\left(i_1\right) & \sigma\left(i_2\right) & \cdots & \sigma\left(i_n\right)
\end{array}\right)
$$

它表示在置换 $\sigma$ 之下 $i$ 的象为 $\sigma(i) \in S$ 或 $i_j$ 的象为 $\sigma\left(i_j\right) \in S$ 。容易证明恒等置换 $e$ 是

$$
e=\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & \cdots & n \\
1 & 2 & \cdots & n
\end{array}\right)
$$

上述置换 $\sigma$ 的逆置换是

$$
\sigma^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\
1 & 2 & \cdots & n
\end{array}\right)
$$

显然 $n$ 次对称群是一个有限群，且 $\left|S^S\right|=n!$
例13．9 具体写出三次对称群 $S_3$ 。
解：设 $S=\{1,2,3\}$ ，于是 $\left|S_3\right|=3!=6$ ，这 6 个置换分别是

![图片](/uploads/2025-01/872474.jpg)

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