最后更新: 2025-04-20 15:20 查看: 411 次纠错评论(0) 课件开VIP

变换群、置换群与循环群

本节将介绍三类具体的群，对这些群的研究不仅可以加深对群的认识，而且就其本身而言，也有重要的理论意义与实用价值，尤其在对称性的研究中。在介绍这些群之前，先看一个关于对称性的例子。

## 置换群的引入
`例` 证明不等边长方形所有对称的集合，关于其合成，构成群。
证明：如图所示。长方形的顶点分别为 $1,2,3,4$ ，其对称可通过绕对称轴 $a, b$ 旋转 $180^{\circ}$ 及关于中心 $c$ 反射得到：
 ![图片](/uploads/2025-01/c2d814.jpg)
绕 $a$ 转 $180^{\circ}: 1 \rightarrow 4,2 \rightarrow 3,3 \rightarrow 2,4 \rightarrow 1$ ，记为 $\alpha$ 。
绕 $b$ 转 $180^{\circ}: 1 \rightarrow 2,2 \rightarrow 1,3 \rightarrow 4,4 \rightarrow 3$ ，记为 $\beta$ 。
关于 $c$ 反射： $1 \rightarrow 3,3 \rightarrow 1,2 \rightarrow 4,4 \rightarrow 2$ ，记为 $\gamma$ 。

另有一个初始状态： $1 \rightarrow 1,2 \rightarrow 2,3 \rightarrow 3,4 \rightarrow 4$ ，记为 $e$ 。复合运算 $\circ$ 表如下。
 ![图片](/uploads/2025-01/310a29.jpg)

由运算表可知，合成运算。是封闭的；$e$ 是它的单位元；每个元素以其自身为逆元；由复合映射的性质知。又是可结合的，所以，长方形所有对称关于合成运算。构成一个群。

这个群就是本节要讲的置换群中的一个例子，当然它也是变换群。如本例这类含 4 个元素 $B_4=\{e, \alpha, \beta, \gamma\}$ ，运算。如例 13.8 的表那样定义的群 $\left[B_4 ; \circ\right]$ 有一个专门的名称，叫**克莱茵 （Klein）四元群**。

## 变换群
所谓的变换，实际上就是非空集合 $S$ 到 $S$ 的一个映射，当这个映射又是一个一一对应时，称它为一一变换。我们以 $S^S$ 表示 $S$ 上所有映射全体组成的集合，$T(S)$ 表示所有 $S$ 上一一变换组成的集合。即

$$
\begin{gathered}
S^S=\{f \mid f: S \rightarrow S\} \\
T(S)=\left\{f \mid f \in S^S \text { 且为一一对应 }\right\}
\end{gathered}
$$

### 定义13.5 
设 $G \subseteq T(S)$ ，当［ $G$ ；$\circ$ ］为群时，就称该群为**变换群**，其中 $\circ$ 为一一变换的合成 （复合）运算，简单地写成•（可省略），并称为变换的乘法。

`例` 13.9 $[T(S) ; \cdot]$ 是一个变换群。
证明：（1）由——变换的积仍为一一变换知•满足封闭性，即 $f, g \in T(S)$ ，有

$$
f g \in T(S)
$$

（2）映射的合成满足结合律，所以任意 $f, g, h \in T(S)$ 有

$$
f(g h)=(f g) h
$$

（3）恒等变换 $I$ 是一一变换，所以 $I \in T(S)$ ，且对任意 $f \in T(S)$

$$
f I=I f=f
$$

所以 $I$ 为单位元，至此可知单位元又有个名称叫恒等元。
（4）任意 $f \in T(S)$ ，因其为一一变换，必有逆变换 $f^{-1}$ ，且为一一变换，所以 $f^{-1} \in T(S)$ ：

$$
f f^{-1}=f^{-1} f=I
$$

由（1）－（4）知 $[T(S) ; \cdot]$ 为群。由于•是不可交换的，所以在一般情况下，变换群是不可交换的。

## 置换群
定义13.6 设 $S \neq \varnothing,|S|<+\infty, S$ 上的一个——变换被称为置换。当 $S$ 上的某些置换关于乘法运算构成群时，就称它为置换群。

若 $|S|=n$ ，设 $S=\{1,2, \cdots, n\}$ ，其置换全体组成的集合一般表示为 $S_n$ ；类似于定理13．9的证明知 $\left[S_n ; \cdot\right]$ 是一个置换群，它有一个特定的名称：$n$ 次对称群。
$S$ 上的置换群 $\sigma \in S_n$ ，习惯写成

$$
\sigma=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n)
\end{array}\right)
$$

也可写成

$$
\sigma=\left(\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_n \\
\sigma\left(i_1\right) & \sigma\left(i_2\right) & \cdots & \sigma\left(i_n\right)
\end{array}\right)
$$

它表示在置换 $\sigma$ 之下 $i$ 的象为 $\sigma(i) \in S$ 或 $i_j$ 的象为 $\sigma\left(i_j\right) \in S$ 。容易证明恒等置换 $e$ 是

$$
e=\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & \cdots & n \\
1 & 2 & \cdots & n
\end{array}\right)
$$

上述置换 $\sigma$ 的逆置换是

$$
\sigma^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\
1 & 2 & \cdots & n
\end{array}\right)
$$

显然 $n$ 次对称群是一个有限群，且 $\left|S^S\right|=n!$
例13．9 具体写出三次对称群 $S_3$ 。
解：设 $S=\{1,2,3\}$ ，于是 $\left|S_3\right|=3!=6$ ，这 6 个置换分别是

![图片](/uploads/2025-01/872474.jpg)
 
 
 ## 群、变换群、置换群与循环群的通俗理解与区别

1. **群（Group）**
• 通俗理解：群是一个数学结构，描述一组元素通过某种“运算”组合后的规律性。例如：

• 钟表加法：12小时制中，时针转动的“加法”满足封闭性（如10点+3小时=1点）、结合律、存在单位元（12点）、每个元素有逆元（如3点的逆元是9点）。

• 魔方转动：魔方的每一次旋转操作可以看作一个群元素，组合多次旋转后仍能回到初始状态。

• 核心特点：封闭性、结合律、单位元、逆元。

2. **变换群（Transformation Group）**
• 通俗理解：由集合上的“变换”（如旋转、反射、平移等）构成的群。例如：

• 平面旋转群：所有绕某点的旋转操作构成群，旋转角度相加模360°后仍属于该群。

• 魔方变换群：魔方的所有合法旋转操作构成的群，满足封闭性和可逆性。

• 关键点：变换群是群的一种具体表现形式，元素是某种“操作”，运算为操作的复合。

3. **置换群（Permutation Group）**
• 通俗理解：当变换群作用在有限集合上时，称为置换群。例如：

• 洗牌操作：将一副牌的排列顺序打乱，每次洗牌相当于一个置换，所有可能的洗牌方式构成置换群。

• 魔方的面置换：魔方每个面的颜色排列变化可以分解为置换操作。

• 与变换群的关系：置换群是变换群在有限集合下的特例，元素是集合元素的排列（置换）。

4. **循环群（Cyclic Group）**
• 通俗理解：由一个元素通过重复运算生成的群。例如：

• 钟表加法群：所有整点时间构成循环群，生成元是“+1小时”操作。

• 旋转群：绕某点旋转360°/n角度的n次操作生成一个n阶循环群。

• 核心特点：所有元素可表示为生成元的幂次（如a, a², ..., aⁿ=e）。

---

四者的区别与联系
| 类别       | 定义特点                     | 例子                          | 是否交换       | 典型应用                     |
|----------------|----------------------------------|-----------------------------------|--------------------|----------------------------------|
| 群         | 最基础结构，满足四公理           | 钟表加法、魔方转动                | 不一定（如矩阵乘法）| 所有代数结构的基础               |
| 变换群     | 由集合上的变换（如旋转、反射）构成 | 平面旋转、正方形对称群            | 不一定（如反射不交换）| 几何学、物理学中的对称性研究     |
| 置换群     | 变换群作用在有限集合上的特例       | 洗牌、魔方面置换                  | 不一定（如对换不交换）| 组合数学、密码学                 |
| 循环群     | 由单一生成元生成的群             | 钟表加法、正多边形旋转群          | 是（所有循环群交换）| 数论、密码学中的模运算           |

---

通俗类比
• 群：就像一支乐队，每个乐手（元素）按规则（运算）配合演奏。

• 变换群：乐队的动作（如节奏变化、乐器切换）构成群。

• 置换群：乐手在固定位置上的排列组合（如换座位）。

• 循环群：鼓手不断重复敲击节奏（如每秒敲一次，生成周期性动作）。

---

总结
• 群是抽象框架，变换群和置换群是具体实现（前者处理广义操作，后者处理有限排列）。

• 循环群是最简单的群结构，由单一元素生成，类似“重复劳动”。

• 所有有限群都能通过置换群描述（Cayley定理），而循环群是群论中的“原子级”结构。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：群与交换群

下一篇：环的定义与性质

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)