最后更新: 2025-04-20 15:20 查看: 103 次反馈刷题

变换群、置换群与循环群

本节将介绍三类具体的群，对这些群的研究不仅可以加深对群的认识，而且就其本身而言，也有重要的理论意义与实用价值，尤其在对称性的研究中。在介绍这些群之前，先看一个关于对称性的例子。

## 置换群的引入
`例` 证明不等边长方形所有对称的集合，关于其合成，构成群。
证明：如图所示。长方形的顶点分别为 $1,2,3,4$ ，其对称可通过绕对称轴 $a, b$ 旋转 $180^{\circ}$ 及关于中心 $c$ 反射得到：
 ![图片](/uploads/2025-01/c2d814.jpg)
绕 $a$ 转 $180^{\circ}: 1 \rightarrow 4,2 \rightarrow 3,3 \rightarrow 2,4 \rightarrow 1$ ，记为 $\alpha$ 。
绕 $b$ 转 $180^{\circ}: 1 \rightarrow 2,2 \rightarrow 1,3 \rightarrow 4,4 \rightarrow 3$ ，记为 $\beta$ 。
关于 $c$ 反射： $1 \rightarrow 3,3 \rightarrow 1,2 \rightarrow 4,4 \rightarrow 2$ ，记为 $\gamma$ 。

另有一个初始状态： $1 \rightarrow 1,2 \rightarrow 2,3 \rightarrow 3,4 \rightarrow 4$ ，记为 $e$ 。复合运算 $\circ$ 表如下。
 ![图片](/uploads/2025-01/310a29.jpg)

由运算表可知，合成运算。是封闭的；$e$ 是它的单位元；每个元素以其自身为逆元；由复合映射的性质知。又是可结合的，所以，长方形所有对称关于合成运算。构成一个群。

这个群就是本节要讲的置换群中的一个例子，当然它也是变换群。如本例这类含 4 个元素 $B_4=\{e, \alpha, \beta, \gamma\}$ ，运算。如例 13.8 的表那样定义的群 $\left[B_4 ; \circ\right]$ 有一个专门的名称，叫**克莱茵 （Klein）四元群**。

## 变换群
所谓的变换，实际上就是非空集合 $S$ 到 $S$ 的一个映射，当这个映射又是一个一一对应时，称它为一一变换。我们以 $S^S$ 表示 $S$ 上所有映射全体组成的集合，$T(S)$ 表示所有 $S$ 上一一变换组成的集合。即

$$
\begin{gathered}
S^S=\{f \mid f: S \rightarrow S\} \\
T(S)=\left\{f \mid f \in S^S \text { 且为一一对应 }\right\}
\end{gathered}
$$

### 定义13.5 
设 $G \subseteq T(S)$ ，当［ $G$ ；$\circ$ ］为群时，就称该群为**变换群**，其中 $\circ$ 为一一变换的合成 （复合）运算，简单地写成•（可省略），并称为变换的乘法。

`例` 13.9 $[T(S) ; \cdot]$ 是一个变换群。
证明：（1）由——变换的积仍为一一变换知•满足封闭性，即 $f, g \in T(S)$ ，有

$$
f g \in T(S)
$$

（2）映射的合成满足结合律，所以任意 $f, g, h \in T(S)$ 有

$$
f(g h)=(f g) h
$$

（3）恒等变换 $I$ 是一一变换，所以 $I \in T(S)$ ，且对任意 $f \in T(S)$

$$
f I=I f=f
$$

所以 $I$ 为单位元，至此可知单位元又有个名称叫恒等元。
（4）任意 $f \in T(S)$ ，因其为一一变换，必有逆变换 $f^{-1}$ ，且为一一变换，所以 $f^{-1} \in T(S)$ ：

$$
f f^{-1}=f^{-1} f=I
$$

由（1）－（4）知 $[T(S) ; \cdot]$ 为群。由于•是不可交换的，所以在一般情况下，变换群是不可交换的。

## 置换群
定义13.6 设 $S \neq \varnothing,|S|<+\infty, S$ 上的一个——变换被称为置换。当 $S$ 上的某些置换关于乘法运算构成群时，就称它为置换群。

若 $|S|=n$ ，设 $S=\{1,2, \cdots, n\}$ ，其置换全体组成的集合一般表示为 $S_n$ ；类似于定理13．9的证明知 $\left[S_n ; \cdot\right]$ 是一个置换群，它有一个特定的名称：$n$ 次对称群。
$S$ 上的置换群 $\sigma \in S_n$ ，习惯写成

$$
\sigma=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n)
\end{array}\right)
$$

也可写成

$$
\sigma=\left(\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_n \\
\sigma\left(i_1\right) & \sigma\left(i_2\right) & \cdots & \sigma\left(i_n\right)
\end{array}\right)
$$

它表示在置换 $\sigma$ 之下 $i$ 的象为 $\sigma(i) \in S$ 或 $i_j$ 的象为 $\sigma\left(i_j\right) \in S$ 。容易证明恒等置换 $e$ 是

$$
e=\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & \cdots & n \\
1 & 2 & \cdots & n
\end{array}\right)
$$

上述置换 $\sigma$ 的逆置换是

$$
\sigma^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\
1 & 2 & \cdots & n
\end{array}\right)
$$

显然 $n$ 次对称群是一个有限群，且 $\left|S^S\right|=n!$
例13．9 具体写出三次对称群 $S_3$ 。
解：设 $S=\{1,2,3\}$ ，于是 $\left|S_3\right|=3!=6$ ，这 6 个置换分别是

![图片](/uploads/2025-01/872474.jpg)
 
 
 ## 群、变换群、置换群与循环群的通俗理解与区别

1. **群（Group）**
• 通俗理解：群是一个数学结构，描述一组元素通过某种“运算”组合后的规律性。例如：

• 钟表加法：12小时制中，时针转动的“加法”满足封闭性（如10点+3小时=1点）、结合律、存在单位元（12点）、每个元素有逆元（如3点的逆元是9点）。

• 魔方转动：魔方的每一次旋转操作可以看作一个群元素，组合多次旋转后仍能回到初始状态。

• 核心特点：封闭性、结合律、单位元、逆元。

2. **变换群（Transformation Group）**
• 通俗理解：由集合上的“变换”（如旋转、反射、平移等）构成的群。例如：

• 平面旋转群：所有绕某点的旋转操作构成群，旋转角度相加模360°后仍属于该群。

• 魔方变换群：魔方的所有合法旋转操作构成的群，满足封闭性和可逆性。

• 关键点：变换群是群的一种具体表现形式，元素是某种“操作”，运算为操作的复合。

3. **置换群（Permutation Group）**
• 通俗理解：当变换群作用在有限集合上时，称为置换群。例如：

• 洗牌操作：将一副牌的排列顺序打乱，每次洗牌相当于一个置换，所有可能的洗牌方式构成置换群。

• 魔方的面置换：魔方每个面的颜色排列变化可以分解为置换操作。

• 与变换群的关系：置换群是变换群在有限集合下的特例，元素是集合元素的排列（置换）。

4. **循环群（Cyclic Group）**
• 通俗理解：由一个元素通过重复运算生成的群。例如：

• 钟表加法群：所有整点时间构成循环群，生成元是“+1小时”操作。

• 旋转群：绕某点旋转360°/n角度的n次操作生成一个n阶循环群。

• 核心特点：所有元素可表示为生成元的幂次（如a, a², ..., aⁿ=e）。

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四者的区别与联系
| 类别       | 定义特点                     | 例子                          | 是否交换       | 典型应用                     |
|----------------|----------------------------------|-----------------------------------|--------------------|----------------------------------|
| 群         | 最基础结构，满足四公理           | 钟表加法、魔方转动                | 不一定（如矩阵乘法）| 所有代数结构的基础               |
| 变换群     | 由集合上的变换（如旋转、反射）构成 | 平面旋转、正方形对称群            | 不一定（如反射不交换）| 几何学、物理学中的对称性研究     |
| 置换群     | 变换群作用在有限集合上的特例       | 洗牌、魔方面置换                  | 不一定（如对换不交换）| 组合数学、密码学                 |
| 循环群     | 由单一生成元生成的群             | 钟表加法、正多边形旋转群          | 是（所有循环群交换）| 数论、密码学中的模运算           |

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通俗类比
• 群：就像一支乐队，每个乐手（元素）按规则（运算）配合演奏。

• 变换群：乐队的动作（如节奏变化、乐器切换）构成群。

• 置换群：乐手在固定位置上的排列组合（如换座位）。

• 循环群：鼓手不断重复敲击节奏（如每秒敲一次，生成周期性动作）。

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总结
• 群是抽象框架，变换群和置换群是具体实现（前者处理广义操作，后者处理有限排列）。

• 循环群是最简单的群结构，由单一元素生成，类似“重复劳动”。

• 所有有限群都能通过置换群描述（Cayley定理），而循环群是群论中的“原子级”结构。

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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