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环的定义与性质

环是形如 $[R ; \circ, *]$ 的代数系统，其中 $R \neq \varnothing, \circ, *$ 为定义在 $R$ 上的两个二元运算。习惯上称。为加法，＊为乘法，并写成 $[R ;+, \cdot]$ 。这里的 $R$ 是 Ring 环的起始字母，并非实数集。环在计算机和编码理论的研究中有许多应用。关于它的理论十分丰富，本书只是涉及其中最基本的部分。
14.1 环的定义与性质

定义14．1 代数系统 $[R ;+, *]$ ，其中 + ，＊为定义在 $R$ 上的二元运算，满足下述条件，对任 $a, b, c \in R$ ，
（1）可结合：$(a+b)+c=a+(b+c)$ 。
（2）可交换：$a+b=b+a$ 。
（3）有单位元：存在 $0 \in S$ ，使 $a+0=0+a=a$ 。
（4）每个元有加法逆元：存在 $-a \in S$ 使 $a+(-a)=0$ 。
（5）＊可结合：$(a * b) * c=a *(b * c)$ 。
（6）$*$ 满足分配律：$a *(b+c)=(a * b)+(a * c),(b+c) * a=(b * a)+(c * a)$ ，则称 $[R ;+, *]$为环。

利用第 14 章的有关定义，可将上述定义简化为 $[R ;+]$ 为 Abel 群（交换群）；［ $R ; *$ ］为半群，两个运算满足分配律。

例14．1 $[Z ;+, \cdot],[Q ;+, \cdot],[R ;+, \cdot],[C ;+, \cdot]$ 皆为环。 $\left[M_{n n}(R) ;+, \cdot\right]$ 是环，其中 $M_{n n}(R)$ 为实数 $n \times n$ 阶矩阵集合。,+ 是矩阵的加法和乘法运算。此例中 $R$ 为实数集。

例14．2 $\left[Z_5 ; \oplus, \otimes\right]$ 是环。由同余类的 $\oplus$ 与 $\otimes$ 运算表可见
 ![图片](/uploads/2025-01/3d4356.jpg)
 
 $$
\begin{aligned}
& {[i] \otimes([j] \oplus[k])} \\
& =[i] \otimes[j+k]=[i(j+k)]=[(i j)+(i k)] \\
& =[i j] \oplus[i k]=([i] \otimes[j]) \oplus([i] \otimes[k])
\end{aligned}
$$

所以 $\left[Z_5 ; \oplus, \otimes\right]$ 是环。
例 $14.3 S \neq \varnothing,[P(S) ; \oplus, \cap]$ 是环，其中 $\oplus$ 为集合的对称差，$\cap$ 为交运算。由于 $\oplus$ 及 $\cap$都是满足结合律，关于 $P(S)$ 封闭。 $\varnothing$ 为 $P(S)$ 之加法单位元，因为任意 $S$ 子集与 $\varnothing$ 的对称差为该子集。任一子集合为其加法逆元。所以 $[P(S) ; \oplus]$ 为可交换群；又由文氏图可验证

$$
\begin{aligned}
& A \cap(B \oplus C)=(A \cap B) \oplus(A \cap C) \\
& (B \oplus C) \cap A=(B \cap A) \oplus(C \cap A)
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-01/61b6ac.jpg)
 
 上面 3 个例子中环的乘法运算部分所具有的性质较环所要求的要好得多，如可交换等。这样我们就可引进一些性质更好一些的环。

定义14．2 $[R ;+, \cdot]$ 为环，当乘法＂．＂在 $R$ 中有单位元（一般表示为 1 ）时，称该环为有单位元环，当乘法＂•＂是交换的，则称它为交换环。常把乘法的单位元叫做环的单位元。

按此定义，例 14.1 与例 14.2 中的环皆为有单位元的交换环。其中 $Z_5$ 的单位元为［1］，例 14.1 中的 $M_{n n}(R)$ 单位元为单位矩阵，其余几个皆为整数 1 。例 14.3 中的单位元是集合 $S$ 。所以 $[P(S) ; \oplus, \cap]$ 是有单位元环，且为可交换的环。

定理 $14.1[R ;+, \cdot]$ 为环，则对任 $a, b \in R$ ，有
（1）$a \cdot 0=0 \cdot a=0$
（2）$a \cdot(-b)=(-a) \cdot b=-(a b)$
证明：
（1）$a \cdot 0=a \cdot(0+0)=a \cdot 0+a \cdot 0$ 两边加 $-a \cdot 0$ 得 $a \cdot 0=0$ 同理 $0 \cdot a=0$
（2）$a \cdot(-b)+a \cdot b=a \cdot(-b+b)=a \cdot 0=0$ 所以 $a \cdot(-b)=-(a b)$ 另一半同理可知。
由本定理的证明（1）可见，加法的单位元为什么常被叫做环的＂零元＂，实则因为它在环的乘法中起到＂ 0 ＂的作用。

定义 $14.3[R ;+$,$] 为环， a, b \in R, a \neq 0, b \neq 0$ ，但 $a \cdot b=0$ 则称 $a$ 为 $R$ 的一个左零因子， $b$ 为 $R$ 的一个右零因子，统称 $a, b$ 为 $R$ 的零因子。

例 $14.4 M_{2,2}(Z)=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c, d \in Z\right\}$ ，其中
$$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right) \\
& \left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

两个等式左边的四个元素皆为 $M_{2,2}(Z)$ 的零因子。
定义 $14.4[R ;+, \cdot]$ 为有单位元环，且有
（1）＂．＂满足交换律。
（2）$R$ 中没有零因子，即如果 $a \cdot b=0$ ，则 $a=0$ 或 $b=0$ ，就称 $R$ 为整环。
最典型的整环是 $[Z ;+, \cdot]$ ，有关它的性质在后面还会进一步讨论。 $[P(S) ; \oplus, \cap]$ 就不是整环，当 $A, B \in P(S), A, B$ 没有公共元时其交为 $\varnothing$（加法单位元）。

定理14．2 $[R ;+, \cdot]$ 为整环，则其乘法满足消去律。
证明：设 $a \in R, a \neq 0, b, c \in R$ 且 $a b=a c$ ，所以

$$
a(b-c)=a b-a c=0
$$

由于 $R$ 没有零因子，$a \neq 0$ ，故有 $b-c=0$ 即 $b=c$ ，满足消去律。同理 $b a=c a$ 可导出 $b=c$ 。

只含有一个元素的整环 $R=\{0\}$ ，被称为零环，此时 0 也是它的单位元。但当 $|R| \geqslant 2$ 时， $R$ 如果有单位元 1 ，则 $1 \neq 0$ 。

定义 14.5 一个环 $[R ;+, \cdot],|R| \geqslant 2$ ，被称为除环，当
（1）它有单位元。
（2）每个非零元有逆元。
如果一个除环又是可交换时，称它为域。
由定义知当 $[R ;+, \cdot]$ 为域时 $[R ;+]$ 及 $\left[R^* ; \cdot\right]$ 是 Abel 群，其中 $R^*=R-\{0\}$ 。
例14．5［ $Z ;+, \cdot]$ 是整环，但不是除环，除 1 外，它没有元素有逆元。有理数集 $[Q ;+, \cdot]$ ，实数集 $[R ;+$,$] 和复数集 [C ;+, \cdot]$ 皆为除环，也是域。

例14．6 $F=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in Q\}$ 关于 + 与•是域。
证明：容易验证 $[F ;+, \cdot]$ 为交换环。 1 为其单位元。现在讨论非零元之逆元。
设 $a+b \sqrt{2} \in F$ ，其逆元为 $c+d \sqrt{2}$

$$
\begin{aligned}
& (a+b \sqrt{2})(c+d \sqrt{2})=(a c+2 b d)+(b c+a d) \sqrt{2}=1 \\
& \left\{\begin{array}{l}
a c+2 b d=1 \\
b c+a d=0
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

于是
求得 $c=\frac{a}{a^2-2 b^2}, d=-\frac{b}{a^2-2 b^2}$ ，因为 $a+b \sqrt{2} \neq 0$ ，所以 $a^2-2 b^2 \neq 0$ ，故 $(a+b \sqrt{2})^{-1}=\frac{a}{a^2-2 b^2}-\frac{b}{a^2-2 b^2} \sqrt{2}, F$ 为域。

容易验证 $Q, R, C$ 都是域，分别称为有理数域，实数域和复数域。
最后将上面所提到的各种环之间的关系列图如下。
仿群的直积概念可引入环的直积定义，并在构造上对环作类似的分析。在此不详述，请做习题 14．7。
 ![图片](/uploads/2025-01/1a6c23.jpg)

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