最后更新: 2026-07-06 10:34 查看: 288 次纠错评论(0) 课件开VIP

均值不等式例题(函调和不等式)

## 调和平均值
> 船速一定的汽船，在静水中和有流速的河中往返航行同样的距离，所需的时间是否一样？有人认为二者所需的时间是一样的，他们的理由是：当河水有流速时，汽船逆流上行虽然速度要减慢，但回来时顺流下行的速度要加快，二者互相补偿，航行时间就应和在静水中往返一次所需的时间一样。

上面的说法貌似有理，但事实却并非如此。为说明这一点，只需做一下简单的计算就可以了．

我们先把问题整理一下：  有艘船在静水中速度 $ v$ 一定，一条河有恒定的水流速度 $ u$（假设 $ u < v$）。  
在静水中往返距离 $ L$ 一次的时间是：  
$$
T_{\text{静}} = \frac{2L}{v}
$$

在河中，上行（逆流）速度为 $ v - u$，下行（顺流）速度为 $ v + u$，往返一次的时间为：  
$$
T_{\text{河}} = \frac{L}{v-u} + \frac{L}{v+u}
$$

**计算并比较**：  
$$
T_{\text{河}} = L \cdot \frac{(v+u) + (v-u)}{(v-u)(v+u)}
$$ 
$$
T_{\text{河}} = L \cdot \frac{2v}{v^2 - u^2}
$$ 
$$
T_{\text{静}} = \frac{2L}{v}
$$

所以  
$$
\frac{T_{\text{河}}}{T_{\text{静}}} = \frac{\frac{2L v}{v^2 - u^2}}{\frac{2L}{v}} 
= \frac{v^2}{v^2 - u^2} > 1
$$

也就是说  
$$
T_{\text{河}} > T_{\text{静}}
$$

**结论**：  
**河水有流速时，往返时间更长，因为“补偿”并非完全对等——速度慢的时候用的时间比速度快省的时间更多（由于分母较小），所以总的往返时间增加了。所以那种认为“二者时间一样”的说法是错误的**。

## 核心原因:时间与速度不是线性关系
虽然顺流和逆流的**速度差值对称**（一个 $+u$，一个 $-u$），但**时间与速度成反比**，而不是线性比例。  
反比例函数 $ t = \frac{L}{v} $ 的曲线是凸的，因此速度减少 $ u $ 所增加的时间，比速度增加 $ u $ 所减少的时间更多。

举个例子来感受一下： 
**假设数据**：  
- 静水船速 $ v = 10 $ 公里/小时  
- 距离 $ L = 20 $ 公里  
- 水速 $ u = 4 $ 公里/小时

**静水**：  
$$
T_{\text{静}} = \frac{20}{10} + \frac{20}{10} = 2 + 2 = 4 \ \text{小时}
$$

**有流速的河**：  
- 逆流速度 $ 10 - 4 = 6 $ 公里/小时，时间 $ 20/6 \approx 3.33 $ 小时  
- 顺流速度 $ 10 + 4 = 14 $ 公里/小时，时间 $ 20/14 \approx 1.43 $ 小时

$$
T_{\text{河}} \approx 3.33 + 1.43 = 4.76 \ \text{小时}
$$  
比静水时间 4 小时多出 0.76 小时。

### **关键点**：
速度从 $ 10 \to 6 $（减少 4），时间从 $ 2 \to 3.33 $（增加 1.33 小时）  
速度从 $ 10 \to 14 $（增加 4），时间从 $ 2 \to 1.43 $（减少 0.57 小时）

损失的时间 $ 1.33 $ 小时 > 赢得的时间 $ 0.57 $ 小时。

这就是为什么“互相补偿”并没有使总时间回到静水的值。

如果还想更本质一点，从代数来看：

$$
T_{\text{河}} - T_{\text{静}} = \frac{2Lv}{v^2 - u^2} - \frac{2L}{v}
$$  
$$
= 2L \left[ \frac{v}{v^2 - u^2} - \frac{1}{v} \right]
$$  
$$
= 2L \cdot \frac{v^2 - (v^2 - u^2)}{v(v^2 - u^2)}
$$  
$$
= 2L \cdot \frac{u^2}{v(v^2 - u^2)} > 0
$$

这明确显示只要 $ u \neq 0 $，总有 $ T_{\text{河}} > T_{\text{静}} $。

所以，**时间与速度成反比，速度的变化对时间的增减不对称**。

##  调和平均值的作用
历史上著名的迈克耳孙－莫雷实验（1887 年）正是利用上述原理而设计的．过去人们认为光既然是一种波，而波的传播是需要媒介的，如声波的传播需要空气做媒介，水波的传播需要水做媒介等，因此光的传播也需要有媒介．但光是能够在真空中传播的，因此人们想象整个宇宙空间（包括真空）中充满了一种作为光传播媒介的神秘物质——以太．当地球以 $30 km / s$ 的速度绕太阳运动时，必定会有强烈的＂以太风＂迎面吹来。这样，和上面的例子一样，光线迎＂以太风＂传播一定距离再反射回来所花费的时间，和光线垂直于＂以太风＂方向传播同样的距离再反射回来所花费的时间，就应该是不相等的。迈克耳孙 （A．Michelson）和莫雷（E．Morley）依此原理设计了一个实验，证明了两束光所花费的时间并无不同，从而说明地球相对以太是静止的，或者以太根本就不存在。随着爱因斯坦相对论的建立，以太学说逐渐被学界所抛弃。

![图片](/uploads/2026-02/364aa5.jpg)

1907年，迈克耳孙因＂发明光学干涉仪并使用其进行光谱学和基本度量学研究＂，获得了诺贝尔物理学奖。作为迈克耳孙光学干涉仪的一个最著名的应用，迈克耳孙－莫雷实验解决了当年普遍困惑物理学界的问题，而其基本思想竟是平均值不等式这一初等数学的知识！

## 例题
`例` 在下列函数中，最小值为 2 的是 
A． $\mathrm{y}=\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}$
B．$y=\lg x+\frac{1}{\lg x}(1<x<10)$
C．$y=\frac{x^2-2 x+2}{x-1}(x>1)$
D．$y=\sin x+\frac{1}{\sin x}\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$
【答案】C
【解析】对于 A 选项，$x=-1$ 时，$y$ 为负数，A 错误．
对于 B 选项， $1<x<10,0<\lg x<1, \lg x+\frac{1}{\lg x} \geq 2 \sqrt{\lg x \cdot \frac{1}{\lg x}}=2$ ，但不存在 $x$ 使 $\lg x=\frac{1}{\lg x}$ 成立，所以 B 错误．

对于 C 选项，$y=\frac{x^2-2 x+2}{x-1}=\frac{(x-1)^2+1}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1} \geq 2 \sqrt{(x-1) \cdot \frac{1}{x-1}}=2$ ，当且仅当 $x-1=\frac{1}{x-1}, x=2$ 时等号成立，C正确．

对于 D 选项， $0<x<\frac{\pi}{2}, 0<\sin x<1, \sin x+\frac{1}{\sin x} \geq 2 \sqrt{\sin x \cdot \frac{1}{\sin x}}=2$ ，但不存在 $x$ 使 $\sin x=\frac{1}{\sin x}$ 成立，所以 D 错误．

故选：C

`例` 1）已知 $0<x<1$ ，则 $x(4-3 x)$ 取得最大值时 $x$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．
（2）已知 $x<\frac{5}{4}$ ，则 $f(x)=4 x-2+\frac{1}{4 x-5}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．
 
【解析】（1）$x(4-3 x)=\frac{1}{3} \times(3 x) \cdot(4-3 x) \leqslant \frac{1}{3} \times\left[\frac{3 x+(4-3 x)}{2}\right] 2=\frac{4}{3}$ ，当且仅当 $3 x=4-3 x$ ，即 $x=\frac{2}{3}$ 时，取等号．

故所求 x 的值为 $\frac{2}{3}$ ．
（2）因为 $x<\frac{5}{4}$ ，所以 $5-4 x>0$ ，
则 $f(x)=4 x-2+\frac{1}{4 x-5}=-\left(5-4 x+\frac{1}{5-4 x}\right)+3 \leq-2+3=1$ ．
当且仅当 $5-4 x=\frac{1}{5-4 x}$ ，即 $x=1$ 时，取等号．
故 $f(x)=4 x-2+\frac{1}{4 x-5}$ 的最大值为 1 ．

$$
\begin{aligned}
& (3) y=\frac{x^2+2}{x-1}=\frac{\left(x^2-2 x+1\right)+(2 x-2)+3}{x-1} \\
& =\frac{(x-1)^2+2(x-1)+3}{x-1} \\
& =(x-1)+\frac{3}{x-1}+2 \geqslant 2 \sqrt{3}+2
\end{aligned}
$$

当且仅当 $\mathrm{x}-1=\frac{3}{\mathrm{x}-1}$ ，即 $\mathrm{x}=\sqrt{3}+1$ 时，取等号．

`例`已知正实数 $x, y$ 满足 $x+y=1$ ，则 $\frac{x+2 y+3}{x y}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．
【答案】 $9+4 \sqrt{5} \# \#$
【解析】由题意可知，$\frac{x+2 y+3}{x y}=\frac{x+2 y+3 x+3 y}{x y}=\frac{4 x+5 y}{x y}=\frac{4}{y}+\frac{5}{x}=\left(\frac{4}{y}+\frac{5}{x}\right)(x+y)$

$$
=4+5+\frac{4 x}{y}+\frac{5 y}{x} \geq 9+2 \sqrt{\frac{4 x}{y} \cdot \frac{5 y}{x}}=9+4 \sqrt{5},
$$

当且仅当 $\frac{4 x}{y}=\frac{5 y}{x}, 2 x=\sqrt{5} y$ 时取等号，此时 $x=5-2 \sqrt{5}, y=2 \sqrt{5}-4$ ，
故 $\frac{x+2 y+3}{x y}$ 的最小值为 $9+4 \sqrt{5}$ ．
故答案为： $9+4 \sqrt{5}$

`例`已知正实数 $a, b$ 满足 $a+b=1$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{a b}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ ．
 
【解析】 $\frac{1}{a}+\frac{1}{a b}=\frac{a+b}{a}+\frac{(a+b)^2}{a b}=1+\frac{b}{a}+\frac{a^2+b^2+2 a b}{a b}$ ，
$=\frac{2 b}{a}+\frac{a}{b}+3 \geq 2 \sqrt{\frac{2 b}{a} \times \frac{a}{b}}+3=3+2 \sqrt{2}$ ，当且仅当 $a=2-\sqrt{2}, b=\sqrt{2}-1$ 时取等号．
所以则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{a b}$ 的最小值是 $3+2 \sqrt{2}$ ，故答案为： $3+2 \sqrt{2}$

`例`已知 $a>0, b>0,3 a+\frac{4}{b}=1$ ，则 $\frac{1}{a}+3 b$ 的最小值为 
【解析】 $\frac{1}{a}+3 b=\left(\frac{1}{a}+3 b\right)\left(3 a+\frac{4}{b}\right)=3+12+\frac{4}{a b}+9 a b . .15+2 \sqrt{4 \times 9}=27$ ，当且仅当 $\frac{4}{a b}=9 a b$ ，即 $a=\frac{1}{9}, ~ b=6$时，等号成立，故 $\frac{1}{a}+3 b$ 的最小值为 27

`例`（多选题）若 $a>0, b>0$ ，且 $a+b=4$ ，则下列不等式恒成立
的是（ ）
A． $0<\frac{1}{a b} \leq \frac{1}{4}$
B．$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq 1$
C． $\log _2 a+\log _2 b<2$
D．$\frac{1}{a^2+b^2} \leq \frac{1}{8}$
【答案】BD

【解析】因为 $a>0, b>0, a b \leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leq \frac{a^2+b^2}{2}$ ，当且仅当 $a=b=2$ 时等号成立，

则 $a b \leq\left(\frac{4}{2}\right)^2=4$ 或 $\left(\frac{4}{2}\right)^2 \leq \frac{a^2+b^2}{2}$ ，当且仅当 $a=b=2$ 时等号成立，
则 $\frac{1}{a b} \geq \frac{1}{4}, \sqrt{a b} \leq 2, a^2+b^2 \geq 8, \frac{1}{a^2+b^2} \leq \frac{1}{8}$ ，
当且仅当 $a=b=2$ 时等号成立，
则 $\log _2 a+\log _2 b=\log _2 a b \leq \log _2 2^2 \leq 2$ ，
当且仅当 $a=b=2$ 时等号成立，故 AC 错误， D 正确．
对于 B 选项，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{a b}=\frac{4}{a b} \geq 4 \times \frac{1}{4}=1$ ，
当且仅当 $a=b=2$ 时等号成立，故 B 正确．
故选：BD

## 推广到3个
`例`若 $a>0, b>0$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{a}{b^2}+b$ 的最小值为

【分析】两次利用基本不等式即可求出．
【详解】 $ a>0, b>0$ ，

$$
\therefore \frac{1}{a}+\frac{a}{b^2}+b \geq 2 \sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{a}{b^2}}+b=\frac{2}{b}+b \geq 2 \sqrt{\frac{2}{b} \cdot b}=2 \sqrt{2} \text {, }
$$

当且仅当 $\frac{1}{a}=\frac{a}{b^2}$ 且 $\frac{2}{b}=b$ ，即 $a=b=\sqrt{2}$ 时等号成立，
所以 $\frac{1}{a}+\frac{a}{b^2}+b$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ．
故答案为： $2 \sqrt{2}$ ．

其他版本
【数学分析】柯西Cauchy 不等式【数学分析】三角形不等式【高中数学】柯西不等式

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

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