最后更新: 2025-05-23 08:22 查看: 195 次反馈同步训练

课外阅读：调和平均值与算术平均值不等式

## 调和平均值与算术平均值不等式
船速一定的汽船，在静水中和有流速的河中往返航行同样的距离，所需的时间是否一样？有人认为二者所需的时间是一样的，他们的理由是：当河水有流速时，汽船逆流上行虽然速度要减慢，但回来时顺流下行的速度要加快，二者互相补偿，航行时间就应和在静水中往返一次所需的时间一样。

上面的说法貌似有理，但事实却并非如此。为说明这一点，只需做一下简单的计算就可以了．设汽船在静水中航行的速度为$v_静$，河水的流速为$v_水$，汽船在河流中航行的单程距离为 $L$ 。那么汽船逆流上行的实际速度是 $v_{\text {上 }}=v_{\text {静 }}-v_{\text {水，}}$ ，而顺流下行的实际速度是 $v_{\text {下 }}=v_{\text {静 }}+v_{\text {水。 }}$ 。这样汽船往返一次所需的总时间是

$$
\frac{L}{v_{\text {上 }}}+\frac{L}{v_下}=\frac{L}{v_{\text {静 }}-v_{\text {水 }}}+\frac{L}{v_{\text {静 }}+v_{\text {水 }}}=\frac{2 L v_{\text {静 }}}{v_{\text {静 }}^2-v_{\text {水 }}^2}=\frac{2 L}{v_{\text {静 }}\left(1-\frac{v_{\text {水 }}^2}{v_{\text {静 }}^2}\right)},
$$
由上式，我们可以看到，汽船在有流速的河中行驶的平均速度是

$$
\frac{2 L}{\frac{L}{v_上}+\frac{L}{v_下}}=\frac{2}{\frac{1}{v_{\text {}}}+\frac{1}{v_{\text {F }}}},
$$
速度 $v_{\text {上，}}$ v下的算术平均值

$$
\frac{v_{\text {上 }}+v_{\text {下 }}}{2}=v_{\text {部 }}
$$

正是汽船在静水中航行的速度．注意到

$$
\frac{2}{\frac{1}{v_{\text {上 }}}+\frac{1}{v_{\text {下 }}}}=v_{\text {静 }}\left(1-\frac{v_{\text {永 }}^2}{v_{\text {犕 }}}\right) \leqsl

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