最后更新: 2025-02-13 17:34 查看: 84 次反馈刷题

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## 调和平均值与算术平均值不等式
船速一定的汽船，在静水中和有流速的河中往返航行同样的距离，所需的时间是否一样？有人认为二者所需的时间是一样的，他们的理由是：当河水有流速时，汽船逆流上行虽然速度要减慢，但回来时顺流下行的速度要加快，二者互相补偿，航行时间就应和在静水中往返一次所需的时间一样。

上面的说法貌似有理，但事实却并非如此。为说明这一点，只需做一下简单的计算就可以了．设汽船在静水中航行的速度为$v_静$，河水的流速为$v_水$，汽船在河流中航行的单程距离为 $L$ 。那么汽船逆流上行的实际速度是 $v_{\text {上 }}=v_{\text {静 }}-v_{\text {水，}}$ ，而顺流下行的实际速度是 $v_{\text {下 }}=v_{\text {静 }}+v_{\text {水。 }}$ 。这样汽船往返一次所需的总时间是

$$
\frac{L}{v_{\text {上 }}}+\frac{L}{v_下}=\frac{L}{v_{\text {静 }}-v_{\text {水 }}}+\frac{L}{v_{\text {静 }}+v_{\text {水 }}}=\frac{2 L v_{\text {静 }}}{v_{\text {静 }}^2-v_{\text {水 }}^2}=\frac{2 L}{v_{\text {静 }}\left(1-\frac{v_{\text {水 }}^2}{v_{\text {静 }}^2}\right)},
$$
由上式，我们可以看到，汽船在有流速的河中行驶的平均速度是

$$
\frac{2 L}{\frac{L}{v_上}+\frac{L}{v_下}}=\frac{2}{\frac{1}{v_{\text {}}}+\frac{1}{v_{\text {F }}}},
$$
速度 $v_{\text {上，}}$ v下的算术平均值

$$
\frac{v_{\text {上 }}+v_{\text {下 }}}{2}=v_{\text {部 }}
$$

正是汽船在静水中航行的速度．注意到

$$
\frac{2}{\frac{1}{v_{\text {上 }}}+\frac{1}{v_{\text {下 }}}}=v_{\text {静 }}\left(1-\frac{v_{\text {永 }}^2}{v_{\text {犕 }}}\right) \leqslant v_{\text {犕 }}=\frac{v_{\text {上 }}+v_{\text {下 }}}{2},
$$

就说明调和平均值总小于等于算术平均值．
事实上，对此有一个一般性的结论：对任意给定的两个正数 $a, ~ b$ ，已知 $\frac{a+b}{2}$ 为其算

术平均值，并定义 $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ 为其调和平均值（harmonic mean），就有

$$
\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leqslant \frac{a+b}{2},
$$

且等号当且仅当 $a=b$ 时成立，即调和平均值必小于等于算术平均值．
历史上著名的迈克耳孙－莫雷实验（1887 年）正是利用上述原理而设计的．过去人们认为光既然是一种波，而波的传播是需要媒介的，如声波的传播需要空气做媒介，水波的传播需要水做媒介等，因此光的传播也需要有媒介．但光是能够在真空中传播的，因此人们想象整个宇宙空间（包括真空）中充满了一种作为光传播媒介的神秘物质——以太．当地球以 $30 km / s$ 的速度绕太阳运动时，必定会有强烈的＂以太风＂迎面吹来。这样，和上面的例子一样，光线迎＂以太风＂传播一定距离再反射回来所花费的时间，和光线垂直于＂以太风＂方向传播同样的距离再反射回来所花费的时间，就应该是不相等的。迈克耳孙 （A．Michelson）和莫雷（E．Morley）依此原理设计了一个实验，证明了两束光所花费的时间并无不同，从而说明地球相对以太是静止的，或者以太根本就不存在。随着爱因斯坦相对论的建立，以太学说逐渐被学界所抛弃。

1907年，迈克耳孙因＂发明光学干涉仪并使用其进行光谱学和基本度量学研究＂，获得了诺贝尔物理学奖。作为迈克耳孙光学干涉仪的一个最著名的应用，迈克耳孙－莫雷实验解决了当年普遍困惑物理学界的问题，而其基本思想竟是平均值不等式这一初等数学的知识！

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