最后更新: 2025-02-13 17:20 查看: 828 次反馈同步训练

琴生不等式

## 琴生不等式
“琴生不等式”是高等数学的内容，是凸函数的重要性质。每个凸函数都有相应的琴生不等式，在证明不等式中有着广泛的应用。

琴生不等式进入高考，最早可以追溯到1994年。后来一发而不可收拾，尤其是在地方卷中百花齐放，不断推陈出新。高质量的创新试题一直持续到了2012年，步伐戛然而止，从此琴生不等式淡出高考舞台，一度销声匿迹，荡然无存。

显然，模考与高考并非完全同步，对此情有独钟，所以依然能看到琴生不等式的风采。 即便它老了容颜，换了人间，依然一见如故。

### 琴生不等式
在数学中，琴生不等式（Jensen Inequality）以丹麦数学家 Johan Jensen 的名字命名，又称詹森不等式。它将积分的凸函数的值与凸函数的积分联系起来，Jensen在 1906 年证明了这一点。

琴生不等式具有复杂性并且具有加权的性质，但是鉴于高考多以二维为主，所以，本文仅介绍常用的2个性质。

①$f(x)$ 在区间 $I$ 上连续, 对 $I$ 上任意两点 $x_1, x_2$, 如果 $f(x)$ 在区间 $I$ 是**下凸函数**, 恒有
$$
f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \leq \frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2}
$$

②如果 $f(x)$ 在区间 $I$ 是上凸函数, 恒有
$$
f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \geq \frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2}
$$

当且仅当 $x_1=x_2$ 时等号成立。

具体证明略，可以参考下图进行记忆。

![图片](/uploads/2024-04/96a75f.jpg)

【推论1】
设 $f(x)$ 是区间 $(a, b)$ 上的下凸函数，$\forall n \in N ^*, \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \in(0,1), \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n=1$ ，则对 $\forall x_1, x_2, \cdots, x_n \in(a, b)$ ，有不等式

$$
f\left(\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_n x_n\right) \leq \alpha_1 f\left(x_1\right)+\alpha_2 f\left(x_2\right)+\cdots+\alpha_n f\left(x_n\right) 。
$$

特别地，当 $\alpha_i=\frac{1}{n}(i=1,2, \cdots, n)$ 时，$f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right) \leq \frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+\cdots+f\left(x_n\right)}{n}$ 。
【推论2】
设 $f(x)$ 是区间 $(a, b)$ 上的下凸函数，$m_1, m_2, \cdots, m_n \in R ^{+}, x_1, x_2, \cdots, x_n \in(a, b)$ ，则有不等式

$$
f\left(\frac{m_1 x_1+m_2 x_2+\cdots+m_n x_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}\right) \leq \frac{m_1 f\left(x_1\right)+m_2 f\left(x_2\right)+\cdots+m_n f\left(x_n\right)}{m_1+m_2+\cdots+m_n} .
$$

## 例题
`例`若函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 存在导数, 记 $f^{\prime}(x)$ 的导数为 $f^{\prime \prime}(x)$. 如果对 $\forall x \in(a, b)$, 都有 $f^{\prime \prime}(x)<0$, 则 $f(x)$ 有如下性质:
$$
f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right) \geq \frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+\cdots+f\left(x_n\right)}{n} \text {. 其中 } n \in \mathrm{N}^* ， x_1, x_2, \cdots, x_n \in(a, b) \text {. 若 } f(x)=\sin x \text {, }
$$
则在锐角 $\triangle A B C$ 中, 根据上述性质推断: $\sin A+\sin B+\sin C$ 的最大值为

解析： $f(x)=\sin x$, 则 $f^{\prime}(x)=\cos x, f''(x)=-\sin x$ 。
在锐角 $\triangle A B C$ 中, $\mathrm{A}, B, C \in\left(0, \frac{\pi}{2}\

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