最后更新: 2025-03-14 08:31 查看: 146 次反馈刷题

集合

## 集合
关于几个记号的说明 这里列出今后经常使用的几个记号：
用$P \Longleftrightarrow Q$ 表示 $P$ 与 $Q$ 等价；

用$P \Longrightarrow Q$ 表示若 $P$ 成立，则 $Q$ 成立；

用记号＂$\square$＂表示定理和例题的结束．

下面是从数理逻辑中借用的两个记号。
**全称量词** $\forall$ 是将英文词 All 的第一个字母 A 绕其中心点旋转而成的一个逻辑符号，它的意思是＂每一个＂，＂所有＂，＂任意一个＂等。

**存在量词** $\exists$ 是将英文词 Exist 的第一个字母 E 绕其中心点旋转而成的一个逻辑符号，它的意思是＂存在＂，＂有＂。

注 在将 $\forall$ 理解为＂任意一个＂时，注意这个＂任意＂是指取＂每一个＂的那种任意性，而不是＂随意取一个＂的那种任意性．建议将 $\forall$ 读为＂每一个＂ ．

##   集合的表示方法
康托尔Cantor  在 19－20世纪之交创立的集合论现已成为各门数学的共同基础．他在创建集合论时将集合描述如下：

> 我们把一个＂集合＂理解为把我们的直觉或思想所及的确定的与分离的诸对象合并成为一个整体 $M$ ，称这些对象为 $M$ 的元素．

由此可见，集合及其中的元（或元素）是最原始的概念，难以精确定义，但却容易用普通语言描述。给定一个集合的含义是，对于任何对象，能够确定它属于或不属于该集合．集合简称为集．

## 集合的两种表示方法
**（1）列举法**，即将所有元素写出或示意性地写出．例如 $A=\{0,1\}$ 即表示 $A$ 是含两个元 0 和 1 的集合．又如用

$$
N =\{1,2, \cdots, n, \cdots\}
$$

表示 $N$ 是正整数全体所成的集合。

**（2）描述法（或条件法）**，即将集合写为 $\{x \mid P(x)\}$ ，其中 $P(x)$ 是指 $x$ 属于该集合所应当具有的性质。也有将元素应当具有的部分性质写在分隔号 $\mid$ 之前的做法．

现将今后常用的几个集合的记号列举如下：

$$
\begin{aligned}
N & =\{1,2, \cdots, n, \cdots\}=\{n \mid n \text { 是正整数 }\}, \\
R & =\{x \mid x \text { 是实数 }\}, \\
Q & =\{x \mid x \text { 是有理数 }\}=\left\{\left.x=\frac{q}{p} \right\rvert\, p, q \text { 为整数, } p>0\right\}, \\
Z & =\{x \mid x \text { 是整数 }\}, \\
C & =\{x \mid x \text { 是复数 }\}=\{x=a+i b \mid a, b \in R \}, \\
R ^2 & =\{(x, y) \mid x, y \in R \}, \text { 二维平面, } \\
R ^n & =\left\{\left(x_1, \cdots, x_n\right) \mid x_i \in R , i=1,2, \cdots, n\right\}, n \text { 维空间. }
\end{aligned}
$$

## 约定术语
本书今后在用逻辑符号表达的数学语言中将经常使用符号＂：＂，将它读为＂有＂，＂使得＂，＂成立＂等即可．对这类意思的另一种习惯写法是使用 s．t．，即 such that．也是很多老师的写法

其他版本
【高等数学】集合的概念【实变函数论】集合的交集与并集【实变函数论】康托尔三分集【高中数学】集合(高中)【实变函数论】集合的基数与映射【离散数学】集合的表示【概率论与数理统计】随机事件之间的关系与运算

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