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数学分析
第一篇 集合论
有限集与无限集
最后
更新:
2025-03-14 07:59
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有限集与无限集
有限集;无限集;伽利略定理;希尔伯特宾馆
## 有限集与无限集 有限集是只含有限个元素的集合，无限集就是非有限集，但什么是无限集与有限集的本质差异呢？最早作出这个发现的是**伽利略**Galileo。如图1.1所示，Galileo 发现图中左边的两个长度不同的线段 $A B$ 与 $C D$ ，可以通过右边的方法实现一一对应。于是从左边看它们所含有的点似乎不是一样多，但从右边看它们所含有的点恰恰是一样多的。  Galileo 又发现正整数全体可以和它们的平方构成一一对应．所有这些都是下列定理的特例．这个定理的证明将在后面给出． **定理1.1（无限集定理）** 集合 $S$ 是无限集的充分必要条件是 $S$ 与自己的一个真子集一一对应,也称为**伽利略定理**。 希尔伯特 Hilbert曾经举出一个生动的例子来说明上述定理．这就是著名的 Hilbert 旅馆。设想一个旅馆有无限多个房间，并用所有的正整数编号。每个房间只能住一位旅客。有一天晚上，旅馆已经客满，但这时来了一位旅客要求住宿。这对于普通的旅馆是一个没法解决的问题，可是这家旅馆的老板却有办法．他说，只要请 1 号房间的客人搬到 2 号房间， 2 号房间的客人搬到 3 号房间，如此等等，那么原来的客人都有房间住，而 1 号房间却可以接待新来的旅客了。 这个故事还可以有进一步的发展．设想又来了一位旅客要求住宿，并且说，他后面还有数不清的旅客正在前来投宿．这个问题如何能解决呢？旅馆的老板又拿出了新招．他说，请 1 号的客人搬到 2 号， 2 号的客人搬到 4 号， 3 号的客人搬到 6 号，如此等等，这样就将所有奇数号的房间全部空出，再来多少旅客也没有困难了。 我们看到，第一次的方法就是令 $n$ 与 $n+1$ 对应，从而使得正整数集合 $N$ 与自己的一个真子集，即从 2 开始的正整数全体建立一一对应。第二次的方法就是令 $n$与 $2 n$ 对应，使得 $N$ 与自己的另一个真子集，即偶数全体建立一一对应．
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【高等数学】集合的概念
【高中数学】希尔伯特旅馆
【高中数学】集合(高中)
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