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数学分析
第一篇 集合论
有限集与无限集
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2025-03-14 07:59
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有限集与无限集
有限集;无限集;伽利略定理;希尔伯特宾馆
## 有限集与无限集 有限集是只含有限个元素的集合,无限集就是非有限集,但什么是无限集与有限集的本质差异呢?最早作出这个发现的是**伽利略**Galileo。如图1.1所示,Galileo 发现图中左边的两个长度不同的线段 $A B$ 与 $C D$ ,可以通过右边的方法实现一一对应。于是从左边看它们所含有的点似乎不是一样多,但从右边看它们所含有的点恰恰是一样多的。  Galileo 又发现正整数全体可以和它们的平方构成一一对应.所有这些都是下列定理的特例.这个定理的证明将在后面给出. **定理1.1(无限集定理)** 集合 $S$ 是无限集的充分必要条件是 $S$ 与自己的一个真子集一一对应,也称为**伽利略定理**。 希尔伯特 Hilbert曾经举出一个生动的例子来说明上述定理.这就是著名的 Hilbert 旅馆。设想一个旅馆有无限多个房间,并用所有的正整数编号。每个房间只能住一位旅客。有一天晚上,旅馆已经客满,但这时来了一位旅客要求住宿。这对于普通的旅馆是一个没法解决的问题,可是这家旅馆的老板却有办法.他说,只要请 1 号房间的客人搬到 2 号房间, 2 号房间的客人搬到 3 号房间,如此等等,那么原来的客人都有房间住,而 1 号房间却可以接待新来的旅客了。 这个故事还可以有进一步的发展.设想又来了一位旅客要求住宿,并且说,他后面还有数不清的旅客正在前来投宿.这个问题如何能解决呢?旅馆的老板又拿出了新招.他说,请 1 号的客人搬到 2 号, 2 号的客人搬到 4 号, 3 号的客人搬到 6 号,如此等等,这样就将所有奇数号的房间全部空出,再来多少旅客也没有困难了。 我们看到,第一次的方法就是令 $n$ 与 $n+1$ 对应,从而使得正整数集合 $N$ 与自己的一个真子集,即从 2 开始的正整数全体建立一一对应。第二次的方法就是令 $n$与 $2 n$ 对应,使得 $N$ 与自己的另一个真子集,即偶数全体建立一一对应.
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