最后更新: 2025-03-14 08:05 查看: 53 次反馈刷题

可列集

## 可列集
在有了无限集的概念之后，我们介绍无限集中最简单的一类集合，即可列集．它是今后多次使用的一个概念。

> **定义1.1** 可列集就是能够与正整数全体一一对应的无限集．

根据定义，一个可列集 $A$ 一定可以将它的所有元素排序并表示如下：

$$
A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots\right\}  ...(1.1)
$$

其中将与 1 对应的元素记为 $a_1$ ，将与 2 对应的元素记为 $a_2, \cdots$ ，一般地将与 $n$ 对应的元素记为 $a_n$ ，如此等等。

因此，可列集就是可以将其中元素用所有正整数进行编号的集合．将 $A$ 写为（1.1）的意义就是给出 $A$ 与 $N$ 之间的一一对应，或者说表明这样的一一对应是存在的。

在前述[希尔伯特 Hilbert 旅馆](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2160) 中的所有房间的集合就是一个可列集，它通过编号与 $N$ 一一对应。而旅馆老板解决困难的两个方法就是将 $N$ 与它的两个真子集

$$
\{n \in N \mid n \geqslant 2\}, \quad\{2,4, \cdots, 2 n, \cdots\}
$$

建立一一对应．当然这两个集也都是可列集．

## 可列集的性质
下面给出可列集的基本性质：
1．任何无限集都有可列子集．
2．可列集的任何无限子集为可列集．
3．一个有限集和一个可列集的并是可列集．
4．有限个可列集的并是可列集．
5．可列个有限集的并是可列集．
6．可列个可列集的并是可列集．
其中除性质 6 之外都可以从可列集的定义直接推出．这些性质的证明留作练习题．

下面是一个重要的可列集，其中的证明方法称为**对角线方法**，它还可以用于证明可列集的上述性质 6 。

> **定理1.2** 有理数集 $Q$ 为可列集．

证 先将正有理数集

$$
Q _{+}=\left\{\left.x=\frac{q}{p} \right\rvert\, p, q \in N \right\}=\{x \in Q \mid x>0\}
$$

中的元如图1.2（a）中那样按分子 $q$ 依次排成行，然后按图1.2（b）中的线将 $Q _{+}$  排序，也就是建立它与 $N$ 之间的一一对应，但跳过此前已经出现的数，这在图中用圆圈标出．这就证明了集合 $Q _{+}$是可列集．这种方法称为**对角线方法**．这样就有

![图片](/uploads/2025-01/9ac160.jpg)
 
 $$
Q _{+}=\left\{1,2, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 3,4, \frac{3}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, 5, \cdots\right\}
$$

然后将 $Q$ 中的元排序为

$$
Q =\left\{0,-1,1,-2,2,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \cdots\right\}
$$

这样就证明了 $Q$ 是可列集．

> 注： 利用可列集的性质2 ，又知道有理数$Q$ 的任何无限子集为可列集．

最后要指出，不可列的无限集是存在的。例如，实数全体所成集合 $R$ 就是不可列集．

## 伽利略定理的证明 
由于有限集与其真子集之间不可能存在一一对应，因此定理的充分性已经成立．（这一步的严格证明可以用数学归纳法，留作练习题．）

现证明必要性。若 $S$ 为无限集，则存在一个可列集 $A \subset S$ ，使得 $S=A \cup(S-A)$ ．设 $x \in A$ ，则 $A$ 与 $A-\{x\}$ 之间存在一一对应．利用这个一一对应，并令 $S-A$ 中的每个元与自身对应，如右边的图 1.3 所示，就得到在 $S$ 及 $S-\{x\}$其真子集 $S-\{x\}$ 之间的一一对应．

![图片](/uploads/2025-01/e08cd8.jpg)

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