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集合论中的术语与集合运算

## 集合论中的术语与运算
若 $a$ 是集 $A$ 的元素，则我们说 $a$ 属于 $A$ ，记为 $a \in A$ ；反之，若 $b$ 不是集 $A$ 的元素，则我们说 $b$ 不属于 $A$ ，记为 $b \notin A$ ．

例如，设集 $A$ 为 $[0,1]=\{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 1\}$ ，则 $0.5 \in[0,1], \sqrt{2} \notin[0,1]$ 。

只含有有限个元素的集合，称为**有限集**，否则就称为**无限集**．又将只含一个元素的集合称为**单元集**．

如果这个元素为 $a$ ，则相应的单元集记为 $\{a\}$ ．它是一个集合，与元素 $a$ 是属于不同层次的概念。我们有 $a \in\{a\}$ ，但 $a \neq\{a\}$ 。

如果集合 $T$ 中的每个元素都是集合 $S$ 的元素，则称 $T$ 是 $S$ 的**子集**，记为 $T \subset S$ ．又若 $T \subset S$ ，且 $T \neq S$ ，则称 $T$ 是 $S$ 的**真子集**．

例如引进的正整数集合等几个集合之间就有以下包含关系：

$$
\boxed{N \subset Z \subset Q \subset R \subset C
}
$$

又如在下面 $\S 1.3 .1$ 中引入的区间和邻域都是 $R =(-\infty,+\infty)$ 的子集．

> 这里要注意，任何一个集合总是自身的子集，这与子集的定义没有矛盾．

称不含任何元素的集合为**空集**，并记为 $\varnothing$ ．我们约定空集是任何集合的子集．于是对任何集合 $A$ 来说，
$A \subset A$ 和 $\varnothing \subset A$
总是成立的．

## 集合相等
与子集概念密切有关的是两个集合相等的概念．设有两个集合 $A$ 和 $B$ ，如果 $A$的每个元素都是 $B$ 的元素，同时 $B$ 的每个元素也都是 $A$ 的元素，则称 $A$ 和 $B$ 相等，记为 $A=B$ 。反之则称 $A$ 和 $B$ 不相等，记为 $A \neq B$ 。用子集的语言来说，如果同时有 $A \subset B$ 和 $B \subset A$ ，则就得到 $A=B$ 。

## 集合的运算
下面介绍集合的几种最基本的运算：并，交，差，补和直积．在图 1.4 中给出了前 4 种运算的示意图。

1．**并** 给定两个集合 $A$ 和 $B$ ，由它们的所有元素组成的集合称为 $A$ 和 $B$ 的并集，记为 $A \cup B$ ．这就是说

$$
A \cup B=\{x \mid x \in A \text { 或 } x \in B\} .
$$

例如按照在 $\S 1.3 .1$ 中的区间定义，就有

$$
[0,2] \cup[1,3)=[0,3)
$$

可以归纳地定义 $n$ 个集合 $A_i(i=1,2, \cdots, n)$ 的并集为

$$
A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n=\bigcup_{i=1}^n A_i
$$

2．**交** 给定两个集合 $A$ 和 $B$ ，由同时属于它们两者的元素组成的集合称为 $A$和 $B$ 的交集，记为 $A \cap B$ 。这就是说

$$
A \cap B=\{x \mid x \in A \text { 且 } x \in B\} \text {. }
$$

例如

$$
[0,2] \cap[1,3)=[1,2] .
$$

可以归纳地定义 $n$ 个集合 $A_i(i=1,2, \cdots, n)$ 的交集为

$$
A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n=\bigcap_{i=1}^n A_i
$$

3．**差** 给定两个集合 $A$ 和 $B$ ，属于 $A$ 但不属于 $B$ 的所有元素组成的集合称为 $A$ 与 $B$ 的差集，记为 $A-B$（或 $A \backslash B$ ）．这就是说

$$
A-B=\{x \mid x \in A \text { 且 } x \notin B\} \text {. }
$$

例如

$$
[0,2]-[1,3)=[0,1), \quad[1,3)-[0,2]=(2,3)
$$

4．**补** 给定集合 $A$ 和它的一个子集 $B$ ，属于 $A$ 但不属于 $B$ 的所有元素组成的集合称为 $B$ 相对于 $A$ 的补集，记为 $B_A^c$ ．这就是说

$$
B_A^c=\{x \mid x \in A \text { 且 } x \notin B\} \text {. }
$$

例如

$$
[1,2]_{[0,3]}^c=[0,1) \cup(2,3] .
$$

可以看出，当 $B \subset A$ 时，有 $B_A^c=A-B$ ．此外，若从上下文可看出集 $A$ 已取定而无疑义，则可以将 $B_A^c$ 简写为 $B^c$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/218382.jpg)
 
 5．**直积**（也称为笛卡尔 Descartes 积）给定集合 $A$ 和 $B$ ，取 $a \in A$ 和 $b \in B$ 组成有序对 $(a, b)$ ，将所有这样的有序对全体组成的集合称为 $A$ 和 $B$ 的直积，记为 $A \times B$ ．这就是说

$$
A \times B=\{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}
$$

对于实数集 $R$ 来说，我们将直积 $R \times R$ 理解成取直角坐标系的 Descartes 坐标平面，并记为 $R ^2$ 。于是解析几何中的坐标平面就是两条数轴的直积．类似地可以用直积得到 $n$ 维空间 $R ^n$ ．

对于以上运算有如下的规律：
（1）交换律：$A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A$ ．
（2）结合律：$(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C)$ ．
（3）分配律：$A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C), A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$ ．
（4）对偶律（德摩根 de Morgan  定律）：对任意 $A \subset D, B \subset D,(A \cup B)_D^c=A_D^c \cap B_D^c$ ， $(A \cap B)_D^c=A_D^c \cup B_D^c$.

其他版本
【实变函数论】笛卡尔积【实变函数论】集合运算的性质与De Morgan 法则【实变函数论】集合的交集与并集【高中数学】集合的运算

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