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实数及其连续性

## 实数及其连续性
数学分析是建立在实数理论的基础之上的．那么什么是实数？它与有理数有什么不同？读者从中学数学就已经知道有理数和实数在四则运算和顺序关系方面服从相同的规则．本书只在这一节中指出它们之间的本质差异，然后将在第二册中关于实数理论作简略介绍．有关实数的系统内容则需要看其他参考书．

今后将引入四则运算和顺序关系的集合 $Q$ 和 $R$ 分别称为有理数系和实数系．

从中学数学知道，有理数可以用整数相除的分数来表示，只要分数的分母不是 0 ，同时有理数又可以表示为有限十进小数或无限十进循环小数．可是古希腊数学家在 2000 多年之前就已经发现，如果要用数来表示几何线段的长度，则有理数是不够用的．

**定理 1.3**  不存在平方等于 2 的有理数．
证 用反证法．设有理数 $\frac{p}{q}$ 的平方等于 2 ，其中 $p, q$ 为无公因子的两个整数，则就有

$$
\begin{aligned}
& \left(\frac{p}{q}\right)^2=2 ...(1.2) \\
& p^2=2 q^2  ...(1.3)
\end{aligned}
$$

这也就是
由于等式（1．3）右边的 $2 q^2$ 为偶数，因此左边的 $p$ 只能是偶数。记 $p=2 r, r$ 为整数，并代入到（1．3）中就得到 $4 r^2=2 q^2$ ，也就是 $2 r^2=q^2$ 。由于其左边 $2 r^2$ 是偶数，因此 $q$ 也只能是偶数。这样就与 $p, q$ 没有公因子相矛盾，可见（1．2）不能成立．

这个定理的结论就是说 $\sqrt{2}$ 不是有理数。因此单位长度为边的正方形的对角线的长度就不是有理数。这表明为了解决平面图形的测量问题就必须将有理数集 $Q$加以扩充。这就是引入无理数的由来。

回忆中学数学教科书，其中将无理数定义为无限十进不循环小数．有理数和无理数总称为**实数**。

在数学分析中与解析几何一样将实数等同于数轴上的点，认为它们是一一对应的，在语言上也将数轴上的点与实数不加区分。定理1．3表明，若将有理数集 $Q$等同于数轴上的点（称为有理点），则在有理数之间是有间隙的，它们对应于无理数。例如在下面我们将要证明，在平方小于 2 的正有理数和平方大于 2 的正有理数之间就存在间隙，这个间隙的位置就对应于无理数 $\sqrt{2}$ ．我们将这种情况称为有理数集 $Q$ 的**不完备性**（或不连续性）．

其他版本
【高中数学】实数的完备性

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