最后更新: 2025-03-14 08:19 查看: 155 次纠错评论(0) 课件开VIP

实数系的完备性

## 实数系的完备性
那么在**实数中是否存在间隙**？下面的连续性原理回答了这个问题．

> **实数系的连续性原理** 设有两个实数集 $A$ 和 $B$ ，且对于 $\forall x \in A, \forall y \in B$ ，成立 $x<y$ ，则一定存在实数 $c$ ，使得对于 $\forall x \in A, \forall y \in B$ ，成立 $x \leqslant c \leqslant y$ ．

从几何上看，上述连续性原理表明：**与实数集 $R$ 对应的数轴没有间隙**，或者说这样的数轴是连续的．从本书今后的内容可以知道只有在这样的基础上才能建立起极限的理论，而极限是数学分析的核心概念。

**现在我们将实数系的连续性原理不做证明的以一个公理接受下来**，以此作为本书的数学分析理论的出发点．

可以证明，**有理数集 $Q$ 不具有这样的连续性**．以 $\sqrt{2}$ 形成的间隙为例，令

$$
A=\left\{x \in Q \mid x>0, x^2<2\right\},
$$

又令

$$
B=\left\{y \in Q \mid y>0, y^2>2\right\},
$$

则 $A$ 中的任何一个有理数都小于 $B$ 中的任何一个有理数．从定理1．3知道，在 $Q$中的任何正有理数，不是属于 $A$ ，就是属于 $B$ 。

现设 $x \in A$ ，则可以证明存在正整数 $n$ ，使得 $x+\frac{1}{n} \in A$ ，这就表明 $A$ 中无最大数．为此只要从

$$
\left(x+\frac{1}{n}\right)^2=x^2+\frac{2 x}{n}+\frac{1}{n^2} \leqslant x^2+\frac{2 x}{n}+\frac{1}{n}<2
$$

解出 $n>\frac{2 x+1}{2-x^2}$ ，因此取足够大的正整数即可满足这个不等式．注意这里采用了适当放大的方法使得容易解出 $n$ ．

另一方面，设 $y \in B$ ，则也可以证明存在正整数 $m$ ，使得 $x-\frac{1}{m} \in B$ ，这就表明 $B$ 中无最小数．为此只要从

$$
\left(x-\frac{1}{m}\right)^2=x^2-\frac{2 x}{m}+\frac{1}{m^2}>x^2-\frac{2 x}{m}>2
$$

解出 $m>\frac{2 x}{x^2-2}$ ，从而取足够大的正整数 $m$ 即可满足这个不等式．
（关于 $A$ 中无最大数和 $B$ 中无最小数的另一种证明方法见本节的练习题 3．）
综合以上的讨论，可见不存在一个有理数 $c$ ，使得 $A$ 中的每一个有理数小于等于 $c$ ，同时 $B$ 中的每一个有理数大于等于 $c$ ．

### 绝对值
实数的绝对值也是在实数运算中不能缺少的概念．
对于实数 $a$ ，定义

$$
|a|=\left\{\begin{array}{rc}
a, & a>0, \\
0, & a=0, \\
-a, & a<0,
\end{array}\right.
$$

并称 $|a|$ 为实数 $a$ 的绝对值．对于一对实数 $a, b$ ，我们称 $|a-b|$ 为实数 $a$ 和 $b$ 之间的距离．这里显然已经将实数 $a$ 和 $b$ 等同于数轴上的两个点来考虑了．于是 $|a|$ 就是
数轴上点 $a$ 到原点 $O$ 的距离．这些对于今后考虑与实数有关的问题时都是很有用的几何概念。

关于绝对值的最基本性质是三点不等式（也称为三角形不等式）：

$$
|a+b| \leqslant|a|+|b|,
$$

它刻画了数轴上点 $a, b, a+b$ 与原点距离之间的关系．关于这个不等式的进一步讨论可以参见 [三角形不等式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2173)

其他版本
【高中数学】实数的完备性

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：实数及其连续性

下一篇：区间/邻域与紧区间

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)