最后更新: 2025-03-14 08:28 查看: 407 次纠错评论(0) 课件开VIP

区间/邻域与紧区间

## 区间与邻域
在数学分析中用得最多的数集是区间．区间共有 9 种．首先是有界区间，也称为有限区间：

1．闭区间 $[a, b]=\{x \mid a \leqslant x \leqslant b\}$ ，
2．开区间 $(a, b)=\{x \mid a<x<b\}$ ，
3．左闭右开区间 $[a, b)=\{x \mid a \leqslant x<b\}$ ，
4．左开右闭区间 $(a, b]=\{x \mid a<x \leqslant b\}$ ，
其中设 $a, b$ 为实数，且满足 $a \leqslant b$ ．又常将第 3,4 种区间统称为半开半闭区间．
此外还有无界区间，也称为无限区间。它们的定义如下，其中的符号 $+\infty$ 读作＂正无穷大＂，$-\infty$ 读作＂负无穷大＂：

5．$[a,+\infty)=\{x \mid a \leqslant x\}$,
6．$(a,+\infty)=\{x \mid a<x\}$ ，
7．$(-\infty, b]=\{x \mid x \leqslant b\}$ ，
8．$(-\infty, b)=\{x \mid x<b\}$ ，
9．$(-\infty,+\infty)= R$ ．
今后在不需要说明区间的可能类型时经常用符号 $I$ 代表区间．
此外，在今后还需要使用特殊类型的区间，即**邻域**．最常用的邻域是
$$
O_\delta(a)=(a-\delta, a+\delta)=\{x| | x-a \mid<\delta\}
$$

称为点 $a$ 的 $\delta$ 邻域，其中 $a$ 为邻域 $O_\delta(a)$ 的中心，$\delta$ 为邻域 $O_\delta(a)$ 的半径。除了记号 $O_\delta(a)$ 之外，记号 $U_\delta(a)$ 也是经常使用的，意义完全相同．又在邻域半径大小并不重要的场合，也用更简单的记号 $O(a)$ 或 $U(a)$ 来表示以 $a$ 为中心半径大于 0 的某一个邻域。

> 注意：邻域一定是开区间．

对于区间来说，今后经常提到的两个概念是区间的端点和内点。例如，上面列出的 4 种有界区间 $[a, b],(a, b),[a, b),(a, b]$ 都以 $a$ 为左端点，以 $b$ 为右端点。但 $[a, b]$包含自己的两个端点，而 $(a, b)$ 不包含自己的两个端点。对于其余两个有界区间和其他的无界区间的端点及其包含情况可以类推。区间 $(-\infty,+\infty)= R$ 没有端点。

另一个重要的概念是内点．下面给出内点的一般性定义．

> **定义 1.2** 设 $A$ 为数集，点 $x \in A$ ．若存在一个邻域 $O(a) \subset A$ ，则称点 $x$ 是数集 $A$ 的内点。

从这个定义可以知道，区间中的点除了（可能属于该区间的）端点之外都是内点．在 9 种区间中，$(a, b),(a,+\infty),(-\infty, b),(-\infty,+\infty)$ 完全由内点组成．

在本节下面将引入数集的连通性概念，并在例题1．2中证明：在所有实数集中，区间是具有连通性的惟一实数集。这对于理解今后的有关定理的意义是有帮助的。

注 在 9 类区间中，第一类区间，即闭区间 $[a, b]$ ，具有独特的地位．今后我们经常称它为**有界闭区间**，而不只是简单地称为闭区间。

在有的教科书中还称它为**紧区间**。这些问题到学了连续函数的基本性质后就会明白。在这里只想提请读者注意，本节引入的＂内点＂，＂端点＂等都是今后经常用到的重要概念，在不同类型的区间上定义的函数可能有完全不同的性质。因此必须重视区间及其有关概念，这里＂**差一点都不行**＂．

其他版本
【高等数学】邻域【高等数学】区间【实变函数论】开集构造定理

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