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数学分析
第一篇 集合论
区间/邻域与紧区间
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2025-03-14 08:28
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区间/邻域与紧区间
区间;邻域;断点;内点;紧区间;有界闭区间
## 区间与邻域 在数学分析中用得最多的数集是区间．区间共有 9 种．首先是有界区间，也称为有限区间： 1．闭区间 $[a, b]=\{x \mid a \leqslant x \leqslant b\}$ ， 2．开区间 $(a, b)=\{x \mid a<x<b\}$ ， 3．左闭右开区间 $[a, b)=\{x \mid a \leqslant x<b\}$ ， 4．左开右闭区间 $(a, b]=\{x \mid a<x \leqslant b\}$ ， 其中设 $a, b$ 为实数，且满足 $a \leqslant b$ ．又常将第 3,4 种区间统称为半开半闭区间． 此外还有无界区间，也称为无限区间。它们的定义如下，其中的符号 $+\infty$ 读作＂正无穷大＂，$-\infty$ 读作＂负无穷大＂： 5．$[a,+\infty)=\{x \mid a \leqslant x\}$, 6．$(a,+\infty)=\{x \mid a<x\}$ ， 7．$(-\infty, b]=\{x \mid x \leqslant b\}$ ， 8．$(-\infty, b)=\{x \mid x<b\}$ ， 9．$(-\infty,+\infty)= R$ ． 今后在不需要说明区间的可能类型时经常用符号 $I$ 代表区间． 此外，在今后还需要使用特殊类型的区间，即**邻域**．最常用的邻域是 $$ O_\delta(a)=(a-\delta, a+\delta)=\{x| | x-a \mid<\delta\} $$ 称为点 $a$ 的 $\delta$ 邻域，其中 $a$ 为邻域 $O_\delta(a)$ 的中心，$\delta$ 为邻域 $O_\delta(a)$ 的半径。除了记号 $O_\delta(a)$ 之外，记号 $U_\delta(a)$ 也是经常使用的，意义完全相同．又在邻域半径大小并不重要的场合，也用更简单的记号 $O(a)$ 或 $U(a)$ 来表示以 $a$ 为中心半径大于 0 的某一个邻域。 >
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