最后更新: 2025-03-14 08:48 查看: 431 次纠错评论(0) 课件开VIP

柯西-施瓦茨Cauchy–Schwarz不等式

## 柯西Cauchy 不等式
这里介绍在许多数学分支中起基本作用的 Cauchy－Schwarz  **柯西-施瓦茨不等式**，以下简称为 Cauchy 不等式。  关于柯西不等式的几何意义可以参考[高中部柯西不等式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1319)

### 定理（Cauchy 不等式）
对两个数组 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 和 $b_1, b_2, \cdots, b_n$ 成立不等式

$$
\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leqslant \sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2
$$

其中成立等号的充分必要条件是这两组数成比例，即存在不同时为 0 的常数 $k$ 和 $l$ ，使得对每个 $i \in\{1,2, \cdots, n\}$ ，成立 $k a_i+l b_i=0$ 。
Cauchy 不等式也有多种不同的证明，以下是比较简短的一种．

**证明** 将下列不等式

$$
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\left(a_i b_j-a_j b_i\right)^2 \geqslant 0
$$

的左边展开并整理后即有

$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\left(a_i b_j-a_j b_i\right)^2 & =\sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{j=1}^n b_j^2-2 \sum_{i=1}^n a_i b_i \sum_{j=1}^n a_j b_j+\sum_{i=1}^n b_i^2 \sum_{j=1}^n a_j^2 \\
& =2 \sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2-2\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \geqslant 0
\end{aligned}
$$

然后将最后一式除以 2 ，移项开方即得所要的 Cauchy 不等式．
由以上证明过程可看出 Cauchy 不等式成立等号的条件是对于所有 $i, j$都成立 $a_i b_j=a_j b_i$ ．

这时有三种情况．（1）所有 $a_i=0$（或所有 $b_i=0$ ），而对另一组数则没有限制； （2）所有 $a_i, b_i$ 都不等于 0 ，这时 $a_i: b_i$ 是与 $i$ 无关的非零常数；（3）每一组数中都有等于 0 和不等于 0 的数．例如，设 $a_1 \neq 0, a_2=0$ 。这时从 $a_1 b_2=a_2 b_1=0$ 可见 $b_2=0$ ．由此可以知道，对所有下标 $i, a_i$ 与 $b_i$ 同时为 0 或同时不等于 0 ．对于后一种情况的下标 $i, a_i: b_i$ 是非零常数．
所有这些情况可以统一为存在不同时为 0 的常数 $k$ 和 $l$ ，使得对每个 $i \in$ $\{1,2, \cdots, n\}$ ，成立 $k a_i+l b_i=0$ ．

其他版本
【线性代数】向量的内积、长度【高中数学】柯西不等式【高中数学】调和平均值与算术平均值不等式

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：平均值不等式

下一篇：三角形不等式

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)