科数网
首页
题库
试卷
学习
VIP
你好
游客，
登录
注册
在线学习
数学分析
第一篇 集合论
柯西-施瓦茨Cauchy–Schwarz不等式
最后
更新:
2025-03-14 08:48
查看:
186
次
反馈
同步训练
柯西-施瓦茨Cauchy–Schwarz不等式
柯西不等式;柯西-施瓦茨
## 柯西Cauchy 不等式 这里介绍在许多数学分支中起基本作用的 Cauchy－Schwarz **柯西-施瓦茨不等式**，以下简称为 Cauchy 不等式。 关于柯西不等式的几何意义可以参考[高中部柯西不等式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1319) ### 定理（Cauchy 不等式） 对两个数组 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 和 $b_1, b_2, \cdots, b_n$ 成立不等式 $$ \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leqslant \sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2 $$ 其中成立等号的充分必要条件是这两组数成比例，即存在不同时为 0 的常数 $k$ 和 $l$ ，使得对每个 $i \in\{1,2, \cdots, n\}$ ，成立 $k a_i+l b_i=0$ 。 Cauchy 不等式也有多种不同的证明，以下是比较简短的一种． **证明** 将下列不等式 $$ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\left(a_i b_j-a_j b_i\right)^2 \geqslant 0 $$ 的左边展开并整理后即有 $$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\left(a_i b_j-a_j b_i\right)^2 & =\sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{j=1}^n b_j^2-2 \sum_{i=1}^n a_i b_i \sum_{j=1}^n a_j b_j+\sum_{i
其他版本
【线性代数】向量的内积、长度
【高中数学】柯西不等式
【高中数学】调和平均值与算术平均值不等式
免费注册看余下 50%
非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看
上一篇：
平均值不等式
下一篇：
三角形不等式
本文对您是否有用？
有用
(
0
)
无用
(
0
)
更多
学习首页
数学试卷
同步训练
投稿
题库下载
会议预约系统
数学公式
关于
科数网是专业专业的数学网站 版权所有 本站部分教程采用AI辅助生成，请学习时自行鉴别
如果页面无法显示请联系 18155261033 或 983506039@qq.com