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柯西-施瓦茨Cauchy–Schwarz不等式

## 柯西Cauchy 不等式
这里介绍在许多数学分支中起基本作用的 Cauchy－Schwarz  **柯西-施瓦茨不等式**，以下简称为 Cauchy 不等式。  关于柯西不等式的几何意义可以参考[高中部柯西不等式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1319)

### 定理（Cauchy 不等式）
对两个数组 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 和 $b_1, b_2, \cdots, b_n$ 成立不等式

$$
\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leqslant \sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2
$$

其中成立等号的充分必要条件是这两组数成比例，即存在不同时为 0 的常数 $k$ 和 $l$ ，使得对每个 $i \in\{1,2, \cdots, n\}$ ，成立 $k a_i+l b_i=0$ 。
Cauchy 不等式也有多种不同的证明，以下是比较简短的一种．

**证明** 将下列不等式

$$
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\left(a_i b_j-a_j b_i\right)^2 \geqslant 0
$$

的左边展开并整理后即有

$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\left(a_i b_j-a_j b_i\right)^2 & =\sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{j=1}^n b_j^2-2 \sum_{i=1}^n a_i b_i \sum_{j=1}^n a_j b_j+\sum_{i=1}^n b_i^2 \sum_{j=1}^n a_j^2 \\
& =2 \sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2-2\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \geqslant 0
\end{aligned}
$$

然后将最后一式除以 2 ，移项开方即得所要的 Cauchy 不等式．
由以上证明过程可看出 Cauchy 不等式成立等号的条件是对于所有 $i, j$都成立 $a_i b_j=a_j b_i$ ．

这时有三种情况．（1）所有 $a_i=0$（或所有 $b_i=0$ ），而对另一组数则没有限制； （2）所有 $a_i, b_i$ 都不等于 0 ，这时 $a_i: b_i$ 是与 $i$ 无关的非零常数；（3）每一组数中都有等于 0 和不等于 0 的数．例如，设 $a_1 \neq 0, a_2=0$ 。这时从 $a_1 b_2=a_2 b_1=0$ 可见 $b_2=0$ ．由此可以知道，对所有下标 $i, a_i$ 与 $b_i$ 同时为 0 或同时不等于 0 ．对于后一种情况的下标 $i, a_i: b_i$ 是非零常数．
所有这些情况可以统一为存在不同时为 0 的常数 $k$ 和 $l$ ，使得对每个 $i \in$ $\{1,2, \cdots, n\}$ ，成立 $k a_i+l b_i=0$ ．

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