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平均值不等式

## 平均值不等式
首先介绍算术平均值－几何平均值不等式，并经常简称为平均值不等式．它就是中学数学的基本不等式 $\sqrt{a b} \leqslant \frac{a+b}{2}(a \geqslant 0, b \geqslant 0)$ 的直接推广．

**定理 （算术平均值－几何平均值不等式）** 设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 为非负数，则成立不等式

$$
\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leqslant \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} ...(1.8)
$$

其中成立等号的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ ．
平均值不等式有多种证明方法．下面给出的证明是历史上对平均值不等式的第一个严格证明。这就是柯西 Cauchy 的向前－向后数学归纳法证明，它是数学归纳法的一种变种。由于 Cauchy的这个贡献，在某些文献中也将平均值不等式称为 Cauchy 不等式。

证 为叙述简明起见将不等式（1．8）记为命题 $P(n)$ ．
对 $n=2, P(2)$ 等价于 $\left(a_1-a_2\right)^2 \geqslant 0$ ，因此成立．现在分别证明以下两点：
（A）$P(n)$ 和 $P(2) \Longrightarrow P(2 n)$（即向前部分），
（B）$P(n) \Longrightarrow P(n-1)$（即向后部分）．
从 $( A )$ 可见 $P(n)$ 对一切 $n=2^k(k \in N )$ 成立，再与 $( B )$ 合并就可推出 $P(n)$ 对一切正整数 $n \geqslant 2$ 成立，这样就完成了不等式的证明。

为证明（A），可以将 $2 n$ 个数的乘积如下分拆，然后再用 $P(n)$ 和 $P(2)$ ：

$$
\begin{aligned}
\left(\prod_{k=1}^{2 n} a_k\right)^{\frac{1}{2 n}} & =\left[\left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{\frac{1}{n}}\left(\prod_{k=n+1}^{2 n} a_k\right)^{\frac{1}{n}}\right]^{\frac{1}{2}} \\
& \leqslant\left(\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{n} \sum_{k=n+1}^{2 n} \frac{a_k}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \leqslant \frac{\sum_{k=1}^{2 n} \frac{a_k}{n}}{2}=\frac{\sum_{k=1}^{2 n} a_k}{2 n}
\end{aligned}
$$

为证明（B），即在 $P(n)$ 成立的假设下去证明 $P(n-1)$ 成立，方法之一是考虑如何将 $n-1$ 个数的几何平均值改写成为 $n$ 个数的几何平均值．为此可以将 $n-1$个数乘上它们的几何平均值后再取几何平均值。

令 $\bar{a}=\left(a_1 \cdots a_{n-1}\right)^{1 /(n-1)}$ ，即前 $n-1$ 个数的几何平均值，然后用 $P(n)$ 得到

$$
\bar{a}=\left(\bar{a} \prod_{k=1}^{n-1} a_k\right)^{1 / n} \leqslant \frac{\bar{a}+\sum_{k=1}^{n-1} a_k}{n}
$$

将上式两边乘 $n$ ，加以整理就得到 $\bar{a} \leqslant \frac{\sum_{k=1}^{n-1} a_k}{n-1}$ ，即 $P(n-1)$ 成立．
使得平均值不等式成立等号的条件，即 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ ，其充分性是明显的．下面只需写出这个条件的必要性证明．为此回顾上述向前和向后的归纳证明步骤就够了。

首先从 $P(2)$ 成立等号等价于 $\left(a_1-a_2\right)^2=0$ ，因此 $a_1=a_2$ ．
在 $P(n)$ 和 $P(2)$ 中成立等号的条件的必要性已经成立的前提下，从前述证明可以看出，在 $P(2 n)$ 中成立等号时就有 $a_1=\cdots=a_n, a_{n+1}=\cdots=a_{2 n}$ ，而且还有 $\left(a_1+\cdots+a_n\right) / n=\left(a_{n+1}+\cdots+a_{2 n}\right) / n$ ，因此导致 $a_1=\cdots=a_{2 n}$ 。

最后，在 $P(n)$ 中成立等号的条件的必要性已经成立的前提下，从前面的推导可见，在 $P(n-1)$ 中成立等号时就有 $a_1=\cdots=a_{n-1}=\bar{a}$ ．

由算术平均值－几何平均值不等式即可得到下列推论，它也是一个很有用的不等式．这里有两个方法：（1）用已经建立的算术平均值－几何平均值不等式，（2）用证明上述平均值不等式中的方法．留作练习题．

**推论（几何平均值－调和平均值不等式）** 若 $a_k>0, k=1,2, \cdots, n$ ，则有

$$
\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \geqslant \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}}
$$

其中成立等号的充分必要条件是 $a_1=\cdots=a_n$ ．

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