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数学分析
第一篇 集合论
平均值不等式
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2025-02-11 09:05
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平均值不等式
## 平均值不等式 首先介绍算术平均值-几何平均值不等式,并经常简称为平均值不等式.它就是中学数学的基本不等式 $\sqrt{a b} \leqslant \frac{a+b}{2}(a \geqslant 0, b \geqslant 0)$ 的直接推广. **定理 (算术平均值-几何平均值不等式)** 设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 为非负数,则成立不等式 $$ \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leqslant \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} ...(1.8) $$ 其中成立等号的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ . 平均值不等式有多种证明方法.下面给出的证明是历史上对平均值不等式的第一个严格证明。这就是柯西 Cauchy 的向前-向后数学归纳法证明,它是数学归纳法的一种变种。由于 Cauchy的这个贡献,在某些文献中也将平均值不等式称为 Cauchy 不等式。 证 为叙述简明起见将不等式(1.8)记为命题 $P(n)$ . 对 $n=2, P(2)$ 等价于 $\left(a_1-a_2\right)^2 \geqslant 0$ ,因此成立.现在分别证明以下两点: (A)$P(n)$ 和 $P(2) \Longrightarrow P(2 n)$(即向前部分), (B)$P(n) \Longrightarrow P(n-1)$(即向后部分). 从 $( A )$ 可见 $P(n)$ 对一切 $n=2^k(k \in N )$ 成立,再与 $( B )$ 合并就可推出 $P(
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