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数学分析
第一篇 集合论
逻辑记号的对偶法则
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2025-03-14 08:45
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逻辑记号的对偶法则
对偶法则;命题
## 逻辑记号的对偶法则 在本章开始已经引入了两个量词记号 $\forall$ 与 $\exists$ .这一节介绍与它们相联系的一个对偶法则,它在反证法中经常有用.为此先观察命题的否定。 在数学中经常遇到"否定说法",即对于一个命题的否定,例如 "$A \subset B$"的否定是"$A \not \subset B$", "$x>1$"的否定是"$x \leqslant 1$"(但不是"$x<1$"), "$\left|x_n-a\right|<\varepsilon$"的否定是"$\left|x_n-a\right| \geqslant \varepsilon$", "$a<x<b$"的否定是"$x \leqslant a$ 或 $x \geqslant b$", "$A$ 是有限集"的否定是"$A$ 是无限集". 下面考虑由量词组成的命题。 从只含有一个量词的简单例子开始 : "$b$ 是数集 $A$ 的上界"$\Longleftrightarrow \forall x \in A: x \leqslant b$ . "$b$ 是数集 $A$ 的上界"的否定 $\Longleftrightarrow \exists x \in A: x>b$ . 同时,第一行的命题也是第二行的命题的否定.由此可见,这类命题的否定只要将两个量词记号对换,然后将":"后的命题否定即可. 下面考虑含有两个量词的命题。 从有实际意义的例子开始。命题"数集 $A$ 有界"的否定是"数集 $A$ 无界",这当然没错。但在数学中往往需要将后者用肯定叙述方式(即正面叙述方式)表达出来,这时上述简单的否定就不够用了。例如,设想有一个问题,其中要求证明某个数集 $A$ 有界,而你打算用
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