最后更新: 2025-03-14 08:45 查看: 181 次纠错评论(0) 课件开VIP

逻辑记号的对偶法则

## 逻辑记号的对偶法则
在本章开始已经引入了两个量词记号 $\forall$ 与 $\exists$ ．这一节介绍与它们相联系的一个对偶法则，它在反证法中经常有用．为此先观察命题的否定。

在数学中经常遇到＂否定说法＂，即对于一个命题的否定，例如
＂$A \subset B$＂的否定是＂$A \not \subset B$＂，
＂$x>1$＂的否定是＂$x \leqslant 1$＂（但不是＂$x<1$＂），
＂$\left|x_n-a\right|<\varepsilon$＂的否定是＂$\left|x_n-a\right| \geqslant \varepsilon$＂，
＂$a<x<b$＂的否定是＂$x \leqslant a$ 或 $x \geqslant b$＂，
＂$A$ 是有限集＂的否定是＂$A$ 是无限集＂．
下面考虑由量词组成的命题。
从只含有一个量词的简单例子开始 ：
＂$b$ 是数集 $A$ 的上界＂$\Longleftrightarrow \forall x \in A: x \leqslant b$ ．
＂$b$ 是数集 $A$ 的上界＂的否定 $\Longleftrightarrow \exists x \in A: x>b$ ．

同时，第一行的命题也是第二行的命题的否定．由此可见，这类命题的否定只要将两个量词记号对换，然后将＂：＂后的命题否定即可．

下面考虑含有两个量词的命题。
从有实际意义的例子开始。命题＂数集 $A$ 有界＂的否定是＂数集 $A$ 无界＂，这当然没错。但在数学中往往需要将后者用肯定叙述方式（即正面叙述方式）表达出来，这时上述简单的否定就不够用了。例如，设想有一个问题，其中要求证明某个数集 $A$ 有界，而你打算用反证法来做，则证明的第一句话就是反证法假设：＂设数集 $A$ 无界＂。然而从这句话开始如何思考下去？

为此我们先将＂数集 $A$ 有界＂（按照定理）用量词写出，这就是

$$
\exists K>0, \forall x \in A:|x| \leqslant K ...(1.5)
$$

其中包含两个量词．问题就是如何写出它的否定说法．
（1．5）的意思是说存在一个具有下列性质的常数 $K$ ，这个性质就是＂$\forall x \in A$ ： $|x| \leqslant K$＂．它的否定就是不存在具有这个性质的常数 $K$ ．但这里还是离不开＂不＂这个否定词．能否不用任何否定词而得到（1．5）的否定说法？这是可能的．试看下面的表达式，它就是（1．5）的否定说法而不需要任何否定词：

$$
\forall K>0, \exists x \in A:|x|>K  ...(1.6)
$$

这就是说，每一个 $K>0$ ，都不具有性质：＂$\forall x \in A:|x| \leqslant K$＂．然后又将这个性质的否定写成 $\exists x \in A:|x|>K$ 。
（1．6）是（1．5）的否定，其中没有用一个否定词（否定词是指＂不＂，＂没有＂等有否定意义的词）。我们今后将（1．6）称为（1．5）的＂否定说法的肯定叙述（或正面叙述）＂。这是用反证法证明时必须学会的一个方法。

对比（1．5）和（1．6）可以发现，为了从前者得到后者（即前者的否定说法），只需要将两个量词对换，并将最后的 $|x| \leqslant K$ 改为它的否定 $|x|>K$ 即可．同样，为了从 （1．6）得到它的反面，即（1．5），规则也是完全一样的．这就是对偶法则．

由上述例子可见，对偶法则实际上来自于简单的逻辑思维，只是将它符号化成一条规律而已。

若将（1．5）写为嵌套形式的命题，则对偶法则就更容易理解了．这时（1．5）写为

$$
\exists K>0:(\forall x \in A:|x| \leqslant K)
$$

可以看出，从（1．5）到（1．6）实际上是分两步进行的．第一步是将开始的 $\exists E>0$ 换为 $\forall K>0$ ，然后对括号内的命题作否定，而后者就变成了 $\exists x \in A:|x|>K$ 。

由此可见，对于出现一个以上量词的以嵌套方式生成的命题．它的否定可以从外到内一层一层进行．这就是对偶法则的由来．
现在考虑一般形式．设由多个量词组成的命题 $P$ 具有以下形式   ：

$$
P=p_1 q_1 p_2 q_2 \cdots p_n q_n q_{n+1}=p_1 q_1\left(p_2 q_2\left(\cdots\left(p_n q_n\left(q_{n+1}\right) \cdots\right)\right)\right. ...(1.7)
$$

其中 $p_i(i=1,2, \cdots, n)$ 为量词符号 $\forall$ 或 $\exists ; q_i(i=1,2, \cdots, n+1)$ 是命题，例如在 （1．5）中的 $K>0, x \in A, x \leqslant K$ 等，最内层的 $q_{n+1}$ 可以是一个简单命题，也可以是有复杂结构的命题。

由此可见，只要用数学归纳法就可以得到一般形式的如下定理．

**定理  （对偶法则）** 设命题 $P$ 为（1．7）所表示，则命题 $P$ 的否定说法的肯定叙述可如下得到：（1）将（1．7）中的所有符号 $p_i(i=1,2, \cdots, n)$ 从 $\forall(\exists)$ 换为 $\exists(\forall)$ ， （2）将最后的 $q_{n+1}$ 改换成它的否定说法．

注 对于只含一个全称量词的全称命题＂$\forall n \in N : P$＂，为了突出其中的 $P$ ，习惯上经常将它记为＂$P, \forall n \in N$＂，或＂$P \forall n \in N$＂．本书中将经常采取这样的写法．

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