最后更新: 2025-03-14 08:42 查看: 168 次纠错评论(0) 课件开VIP

连通性与振幅

## 连通性
确界概念和确界存在定理是今后的重要工具．下面举几个例题，其中的结论也是重要的。

先引入一个新的概念．
**定义** 称实数集 $A$ 具有**连通性**，若对于 $\forall x, y \in A:[x, y] \subset A$ ．（为了叙述简短起见，这里的记号 $[x, y]$ 是以 $x, y$ 为端点的闭区间，允许 $x \geqslant y$ ．）

下面的例题给出在 $R$ 的所有子集中将区间与其他数集区分开来的独一无二的特征刻画。

`例`非空实数集 $A$ 是区间的充分必要条件是 $A$ 具有连通性．
证 由于区间一共只有 9 种，逐个验证其连通性就可看出必要性成立．下面证明充分性。

设数集 $A$ 具有连通性．先讨论 $A$ 为有界数集的情况，即 $A$ 既有上界又有下界．根据确界存在定理，存在有限数 $a \leqslant b$ ，使得

$$
a=\inf A, \quad b=\sup A
$$

任取 $x$ 满足 $a<x<b$ ，则由于 $b$ 是 $A$ 的最小上界，因此 $x$ 不是 $A$ 的上界，从而存在 $y \in A$ ，使得成立 $x<y \leqslant b$ ．又由于 $a$ 是 $A$ 的最大下界，因此 $x$ 不是 $A$ 的下界，从而存在 $z \in A$ ，使得成立 $a \leqslant z<x$ ．

于是有 $z, y \in A$ ，使得
$$
a \leqslant z<x<y \leqslant b
$$

由于数集 $A$ 具有连通性，区间 $[z, y] \subset A$ ，因此 $x \in A$ ．
由于 $x$ 可以取到 $(a, b)$ 中的每一点，这样就证明了开区间 $(a, b) \subset A$ 。由于比 $a$小的数和比 $b$ 大的数都不属于 $A$ ，因此只需要再观察端点 $a, b$ 是否属于 $A$ 。这样就可以知道数集 $A$ 只可能是 4 种有界区间之一，即 $[a, b],[a, b),(a, b],(a, b)$ 之一。

用同样的方法可以对无界数集作出证明。当数集 $A$ 有下界而无上界时，记 $a=\inf A$ ，则 $A$ 只可能是 $[a,+\infty)$ 和 $(a,+\infty)$ 之一；当数集 $A$ 无下界而有上界时，记 $b=\sup A$ ，则 $A$ 只可能是 $(-\infty, b]$ 和 $(-\infty, b)$ 之一；当数集 $A$ 既无下界又无上界时，只可能有 $A=(-\infty,+\infty)= R$

现在引进刻画数集的一个有用的概念。

> **定义** 对于非空有界数集 $A$ ，称 $\omega(A)=\sup A-\inf A$ 为 $A$ 的振幅。

若数集 $A$ 有最大数和最小数，则振幅计算就特别方便。下一个例题给出了振幅的等价定义，在涉及到振幅的问题中是常用的。

**证明**：对于非空数集 $A$ 的振幅成立以下等式：

$$
\omega(A)=\sup _{x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in A}\left\{\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|\right\}
$$

证 只写出 $A$ 为有界集时的证明．
若 $A$ 中只有一个数，则 $\omega(A)=0$ ，已不必再讨论．否则，任取两个不同的数 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in A$ ，且不妨设 $x^{\prime}>x^{\prime \prime}$ ．由于 $\inf A \leqslant x^{\prime \prime}<x^{\prime} \leqslant \sup A$ ，于是就有

$$
\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right| \leqslant \sup A-\inf A=\omega(A) .
$$

这样就得到

$$
\sup _{x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in A}\left\{\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|\right\} \leqslant \omega(A) .
$$

另一方面，对 $\forall \varepsilon>0$ ，从确界的第二定义知道，存在 $x^{\prime} \in A$ ，使得 $\sup A-\frac{\varepsilon}{2}<$ $x^{\prime}$ ；又存在 $x^{\prime \prime} \in A$ ，使得 $x^{\prime \prime}<\inf A+\frac{\varepsilon}{2}$ ．于是有 $x^{\prime}-x^{\prime \prime}>\sup A-\inf A-\varepsilon$ ，也就得到

$$
\omega(A)<x^{\prime}-x^{\prime \prime}+\varepsilon \leqslant \sup _{x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in A}\left\{\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|\right\}+\varepsilon .
$$

由于 $\varepsilon$ 可取到任意小的正数，因此只能成立

$$
\omega(A) \leqslant \sup _{x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in A}\left\{\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|\right\} .
$$

综合以上即得所要的结论．
下面一个例题是从确界定义可以推出的基本事实．

`例`设有非空数集 $A, B$ ，且 $\forall x \in A, \forall y \in B: x \leqslant y$ ，证明： $\sup A \leqslant$ $\inf B$ ．

证 取定一个 $y \in B$ ，从条件 $\forall x \in A: x \leqslant y$ ，可见这个 $y$ 就是数集 $A$ 的一个上界．根据确界存在定理，存在 $\sup A$ ．（注意：它是一个确定的数．）

由于每个 $y \in B$ 都是 $A$ 的上界，而 $\sup A$ 是 $A$ 的最小上界，因此有

$$
\forall y \in B: \sup A \leqslant y
$$

由此看出，数集 $B$ 以 $\sup A$ 为其下界，再次用确界存在定理，知道存在 $\inf B$ ．
由于（1．4）表明 $\sup A$ 是 $B$ 的一个下界，而 $\inf B$ 是 $B$ 的最大下界，因此就得到所要的不等式：

$$
\sup A \leqslant \inf B
$$

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