最后更新: 2025-03-14 08:54 查看: 22 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

数列极限的定义

## 数列极限的定义
数列，即元素为数值的序列，就是以**正整数全体所成集合 $N$ 为定义域的一元实函数**。但在习惯上一般不用 $f$ 作为数列的记号，也不用 $f(n)$ 表示数列在自变量为 $n$ 时的函数值，而是简单地将一个数列记为 $\left\{x_n\right\}$ ，或者用列举方式表示为

$$
x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots,
$$

其中下标 $n$ 取所有正整数，但有时也可能取所有的非负整数或只取从某个正整数 $n_0$ 开始的所有正整数。

一般称 $x_n$ 为数列 $\left\{x_n\right\}$ 的通项．如果给出了通项 $x_n$ 与 $n$ 的对应规则或表达式，则就认为该数列已经给定。例如，下面就是用列举方式表示的几个常用数列：

$$
\begin{aligned}
& 1, \frac{1}{2}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots ; \\
& 1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots, \frac{(-1)^{n-1}}{n}, \cdots ; \\
& c, c, \cdots, c, \cdots \text { (其中 } c \text { 为一个常数 }) ; \\
& 2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \cdots, \frac{n+1}{n}, \cdots ; \\
& 1,-1,1,-1, \cdots,(-1)^{n-1}, \cdots ; \\
& 1,2, \cdots, n, \cdots ; \\
& 2,4, \cdots, 2 n, \cdots
\end{aligned}
$$

数列的记号虽然简单，但在使用时却会有不同的含义，为此说明如下．
（1）从集合的角度来看，将数列的项作为元素，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 含有可列个元素，因此为可列集，也就是可以表示为

$$
\left\{x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right\}
$$

特别当一个可列集的元素是数时，则就对应于一个数列．
（2）如果将数列 $\left\{x_n\right\}$ 作为数集看待，则它可能只是有限集，即只与数轴上的有限个点对应，甚至可能只是单元集，这就是常值数列：$c, c, \cdots, c, \cdots$ ，或记为 $\{c\}$ ．从函数的角度来看待数列，这就是将记号 $\left\{x_n\right\}$ 看成为这个函数的值域，它代表一个数集，有可能是有限集，甚至是单元集．

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