最后更新: 2025-03-14 09:11 查看: 132 次纠错评论(0) 课件开VIP

极限是数列的一种趋势

本章的主要内容是研究数列的极限．什么是数列的极限？在给出其严格的定义之前，我们在这一小节将给出极限概念的通俗描述，即极限就是数列的一种趋势。

具体来说，某些数列，当自变量 $n$ 不断增加时，因变量 $x_n$ 的值可能会出现某种趋势．这里的趋势主要是指趋于某个确定的常数值．

例如，在上面列举的许多数列中很多都在 $n$ 不断增加时表现出某种趋势．在图 2.1 中作出了其中的前两个数列 $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ 和 $\left\{\frac{(-1)^{n-1}}{n}\right\}$ 的图像．可以看出它们都有趋于 0 的趋势，但方式则不一样．
 ![图片](/uploads/2025-01/283041.jpg)
 
 ## 收敛数列与发散数列
 当然不是每一个数列都有趋势．例如其中的数列 $\left\{(-1)^{n-1}\right\}$ 就看不出有什么趋势．还有几个数列，如 $\{n\},\{2 n\}$ 等，则是随着 $n$ 的增大而无限制地增大，当 $n$ 充分大时可以大于任何事先给出的界限，而不是趋于某个确定的常数值．今后我们在数列极限理论中将具有确定趋势的数列称为**收敛数列**，将它所趋于的数值称为数列的极限，其他数列称为**发散数列**．又特别将趋于 0 的数列称为**无穷小量**．图 2.1就是两个无穷小量的示意图．

## 历史典故
 下面我们介绍中国古代文献中出现的有趋势的数列例子．这就是春秋战国时期的名家代表人物庄周（约公元前 $369-$ 前 286 年）的著作《庄子》的＂天下＂篇中的几句话：

> ＂一尺之捶，日取其半，万世不竭．＂

由于在《庄子》中没有对此作进一步的阐述，我们只能按照今天的观点来猜测其中的含义．下面举出两种可能的解释。

一种解释是将每天所取的长度排起来形成一个数列

$$
\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{1}{2^n}, \cdots
$$

与上一小节举出的数列 $\left\{\frac{1}{n}\right\},\left\{\frac{(-1)^{n-1}}{n}\right\}$ 类似，当 $n$ 无限增大时趋于 0 ．
另一种解释是一尺长的捶可以分成无限多个部分，即有

$$
1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots
$$

这涉及到对无限项求和的问题．从这一章中的 $\S 2.1 .5$ 中的无穷级数介绍可以知道无限项求和的概念与数列有密切联系。

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