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数列极限的定义

## 数列极限的定义
**定义 2.1 （数列极限的定义）**  给定数列 $\left\{x_n\right\}$ 和实数 $a$ ，若对每一个 $\varepsilon>0$ ，存在正整数 $N$ ，使得对每一个大于等于 $N$ 的正整数 $n$ ，成立 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ ，则称数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ ，称 $a$ 是数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限，记为

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a
$$

今后也可简记为 $x_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$ 或 $x_n \rightarrow a$ ．

由定义 2.1 给出的数列收敛和极限概念具有明显的几何意义．如图 2.2 所示，对于给定的 $\varepsilon>0$ ，要求存在某个正整数 $N$ ，使得数列中的项 $x_n$ 在下标 $n \geqslant N$ 时，点 $\left(n, x_n\right)$ 都落到阴影区域 $\{(x, y)|x \geqslant N,|y-a|<\varepsilon\}$ 之中。定义的意思是说，如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 对于每一个给定的 $\varepsilon>0$ 都具有这样的性质，则称数列收玫于 $a$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/f1d480.jpg)
 利用逻辑符号 $\forall$ 和 $\exists$ ，可以将数列极限的定义简短地写为：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists N \in N , \forall n \geqslant N:\left|x_n-a\right|<\varepsilon .
$$

注 习惯上我们经常会将 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 称为当 $n$ 趋于无穷大时 $x_n$ 趋于 $a$ ，或简称为 $x_n$ 趋于 $a$ ，但要知道这种通俗说法的确切内容就是定义2．1．从该定义和图 2．1，图 2.2 可见，这种所谓＂趋于 $a$＂可以有多种不同方式．例如，＂单调趋于＂，＂振动趋于＂，甚至在趋于极限 $a$ 的过程中就已经多次或无限多次取到 $a$ 本身都是可能的。

在定义 2.1 的基础上给出无穷小量的严格定义。

**定义 2.2 （无穷小量的定义）**   称收玫于 0 的数列 $\left\{x_n\right\}$ 为无穷小量．
也可以按照（2．1）将无穷小量的定义用逻辑符号写为

$$
\left\{x_n\right\} \text { 为无穷小量 } \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists N \in N , \forall n \geqslant N:\left|x_n\right|<\varepsilon \text {. }
$$

联系以上两个定义，就得到一个简单而有用的结论。

> 定理2.1 数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ 的充分必要条件是数列 $\left\{x_n-a\right\}$ 为无穷小量．

证 比较两个定义就可以直接看出有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \Longleftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n-a\right)=0
$$

需要强调指出，无穷小量不是很小很小的一个数，而是极限为 0 的变量，即当 $n$充分大时其绝对值可以小于事先给定的任意小的正数。此外，如图 2.1 中的两个例子所示，它们虽然都有趋于 0 的共同趋势，但趋于 0 的方式可以完全不同，然而都符合定义 2.2 ，即 $\left(2.1^{\prime}\right)$ 的要求．

**注1** （2．1），即数列 $\left\{x_n\right\}$ 收玫于 $a$ 的定义 2．1，是由 4 句话组成的．它们之间有严格的先后逻辑关系，不能任意掉换顺序。（（2．1）具有嵌套结构，参看（1．7）以及该处的底注。）由于在这个定义中表面上只出现＂静态＂不等式，似乎看不到在 §2．1．1和图2．1中所说的＂动态＂趋势，因此一开始很不容易理解。建议初学者先将这 4 句话按其顺序强记下来，然后通过实践逐步体会其中的真正含义。

**注2** 这里还要指出，作为数列极限的严格定义的（2．1），其右边的 4 句话中的每一句都允许作一定的改变，而使得数列 $\left\{x_n\right\}$ 收玫于极限 $a$ 保持不变。这也就是说，通过这些改变得到的都是数列收敛的等价定义。关于作这些改变之后的定义与 （2．1）的等价性证明则留作练习题。

这些改变中常用的有：
（1）$\forall \varepsilon>0$ 可以改为 $\forall \frac{1}{k}$ ，其中 $k$ 取到每一个正整数；
（2）将 $N$ 必须为正整数的限制去掉也是可以的；
（3）$n \geqslant N$ 改为 $n>N$ 是常见的；
（4）$\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 可改为 $\left|x_n-a\right| \leqslant \varepsilon$ ，或者改为 $\left|x_n-a\right|<K \varepsilon$ ，其中的系数 $K$是与 $\varepsilon$ 和 $n$ 无关的常数．以后我们会看到这为许多证明提供了方便．

### 取最大整数函数
在对数列极限举例之前，需要介绍今后经常使用的一个记号，即对于给定的实数 $x$ 取不超过它的最大整数，记为 $[x]$ 。例如有

$$
[3.5]=3, \quad[-3.5]=-4
$$

又称函数 $y=[x]$ 为取最大整数函数（参见第三章中例题 3.6 和图 3．7）．
从 $[x]$ 的定义可见成立不等式

$$
[x] \leqslant x<[x]+1,
$$

或者等价地有

$$
x-1<[x] \leqslant x
$$

今后凡是用到记号 $[x]$ 时，这些基本关系式经常有用．

`例`根据定义证明数列 $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ 是无穷小量，即有 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ ．
证 1 根据数列极限的定义，对于给定的 $\varepsilon>0$ ，应当按照

$$
\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}<\varepsilon
$$

寻找 $N$ ，使得当 $n \geqslant N$ 时，不等式（2．4）成立．
由于不等式（2．4）等价于

$$
\frac{1}{\varepsilon} < n
$$

因此只要取

$$
N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1
$$

则当 $n \geqslant N$ 时就有

$$
n \geqslant N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1>\frac{1}{\varepsilon}
$$

因此不等式（2．4）成立。
注 以上证明是从求证的目的开始逆向考虑，观察如何应用条件来解决问题．今后称为分析法．它是我们解决问题时比较自然的思维方式．缺点是其过程往往比较长，说起来可能比较罗嗦，有时反而使人不易明白．另一种证明则是从条件开始直奔目标的综合法，条理比较清楚，往往也简短得多。因此一般书刊中的证明或解答大多数都是用综合法写成．缺点是这样的证明往往不是解决问题时的真正的思维过程，而像是事后的总结，从而往往使读者看懂之后仍然不知道＂这样的证明是如何想出来的＂．下面就是在上述分析法基础上按照综合法写出的第二个证明 ${ }^{(1)}$ ．
  
  证 2 对给定的 $\varepsilon>0$ ，取

$$
N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1,
$$

则当 $n \geqslant N$ 时，就有

$$
n \geqslant N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1>\frac{1}{\varepsilon},
$$

因此

$$
\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n} < \varepsilon 
$$

这样就已经按照据数列极限的定义证明得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ ．

`例`对于常数 $c$ ，证明常值数列（或称常数数列）$\{c\}$ 的极限为 $c$ ．
证 对于 $\varepsilon>0$ ，取 $N=1$ ，则当 $n \geqslant 1$ 时就有 $|c-c|=0<\varepsilon$ ，因此 $\lim _{n \rightarrow \infty} c=c$ ．

注 请注意，本题中对于每一个给定的 $\varepsilon>0$ ，可以统一取 $N=1$ ．这种情况是不多见的．因为从数列极限的定义知道，$N$ 一般要根据给定的 $\varepsilon>0$ 来取．在取定 $N$ 之后，如果换一个更大的 $\varepsilon$ ，则 $N$ 不必改动．但如果换一个更小的 $\varepsilon$ ，则很可能就需要改取更大的 $N$ 才能符合极限定义中的要求了．

`例` 设常数 $r$ 满足条件 $|r|<1$ ，证明数列 $\left\{r^n\right\}$ 为无穷小量．
证 若 $r=0$ ，则只是例题 2.2 的特殊情况．
对于 $r \neq 0$ ，为了对于给定的 $\varepsilon>0$ 成立不等式 $\left|r^n\right|<\varepsilon$ ，若 $\varepsilon \geqslant 1$ ，取 $N=1$ 即可 ${ }^{(1)}$ ，否则可以解出 $n>\lg \varepsilon / \lg |r|$（这里的 $\lg$ 是常用对数记号）．取

$$
N=[\lg \varepsilon / \lg |r|]+1,
$$

则当 $n \geqslant N$ 时，就成立 $n>\lg \varepsilon / \lg |r|$ ，因此 $|r|^n<\varepsilon$ ．这就证明了 $\lim _{n \rightarrow \infty} r^n=0$ ．
小结 以上三个例题是我们应用极限定义的第一批例子。它们虽然很简单，但对于确切了解极限定义不无帮助．

例如，一开始的 $\forall \varepsilon>0$ 建议读为＂对于每一个给定的正数 $\varepsilon$＂，也可以读为＂对于任意一个给定的正数 $\varepsilon$＂．既是＂任意＂，又是＂给定＂，如何理解？结合上面几个具体例题来看就不难明白．说是＂给定＂，因为 $N$ 是随 $\varepsilon$ 而定的，只有给定 $\varepsilon>0$ 之后才能考虑如何取一个合乎要求的正整数 $N$ ；说是＂任意＂，因为只对于一个 $\varepsilon>0$ 能找到 $N$ 是不够的，还必须对每一个（也就是任意一个）$\varepsilon>0$ 都能找到 $N$ 才行．此外我们还经常只讲＂对于给定的 $\varepsilon>0$＂，而将＂每一个＂，＂任意一个＂等形容词都略去，因为它们已含在＂不言之中＂了．以上只是对于极限定义的第一句话的解释．我们需要对于以上几个例题仔细学习，以求确切理解极限的严格定义中的每个细节的含意。

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