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确界与数列联系

## 确界与数列联系
下面建立确界与数列极限之间的一个联系，它对于理解确界和数列都有帮助．

> 定理 2.2 设非空数集 $A$ 有上界，$\beta=\sup A$ ，则一定存在取自数集 $A$ 中的数列 $\left\{x_n\right\}$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\beta$ ．

证 分两种情况讨论。
（1）若上确界 $\beta \in A$ ，即 $\beta=\max A$ ，则只要对每一个 $n$ 取 $x_n=\beta$ ，这样得到的常值数列就收敛于 $\beta$（参见例题 2．2）．
（2）设 $\beta \notin A$ ，则对于正整数 $n$ 有 $\beta-\frac{1}{n}<\beta$ ．由于上确界 $\beta$ 是数集 $A$ 的最小上界，比 $\beta$ 小的数 $\beta-\frac{1}{n}$ 不可能是数集 $A$ 的上界，因此在数集 $A$ 中一定有大于 $\beta-\frac{1}{n}$ 的数，将这个数记为 $x_n$ ．

对于每个正整数 $n$ 都这样做，就得到一个数列 $\left\{x_n\right\}$ ，它的每一项都取自数集 $A$ ，同时又满足以下不等式

$$
\beta-\frac{1}{n}<x_n<\beta,
$$

因此就对每个 $n$ 成立

$$
\left|x_n-\beta\right|<\frac{1}{n}
$$

由此可见（参见例题 2．1），对每一个给定的 $\varepsilon>0$ ，只要取 $N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$ ，就能保证当 $n \geqslant N$ 时，满足

$$
\left|x_n-\beta\right|<\frac{1}{n}<\varepsilon
$$

这样就证明了 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\beta$ ．

注 还可以证明，对于上述证明中的第二种情况，即当 $\sup A=\beta \notin A$ 时，可以在数集 $A$ 中取到严格单调增加的数列 $\left\{x_n\right\}$ ，使成立 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\beta$（留作练习题）．

现在回顾数列极限的定义（定义 2.1 及其等价形式），并介绍一个定理．它从几何角度刻画了数列收玫到其极限的实质。这对于思考和解决有关数列的许多问题都是有用的工具。

> **定理2.3** $ \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 的充分必要条件是对 $\forall \varepsilon>0$ ，数列 $\left\{x_n\right\}$ 在邻域 $O_{\varepsilon}(a)$之外至多只有有限项。

证 必要性 $(\Longrightarrow)$ ．从收玫数列的定义可见，$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N:\left|x_n-a\right|<$ $\varepsilon$ ．而邻域 $O_{\varepsilon}(a)=(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ ，因此数列 $\left\{x_n\right\}$ 中至多只有前 $N-1$ 项，即 $x_1, \cdots, x_{N-1}$ ，才有可能（但不一定）落在邻域 $O_{\varepsilon}(a)$ 之外（参见图 2．3）．

充分性 $(\Longleftarrow)$ ．若对于给定的 $\varepsilon>0$ ，在邻域 $O_{\varepsilon}(a)$ 之外至多只有数列 $\left\{x_n\right\}$ 中的有限项．若在 $O_{\varepsilon}(a)$ 之外根本没有数列中的任何项（对于足够大的 $\varepsilon>0$ 这是可
 ![图片](/uploads/2025-01/862f5e.jpg)
 能发生的），则简单地取 $N=1$ ．否则可以取落在邻域之外的有限项的下标中的最大值再加 1 为 $N$ ．这样就保证当下标 $n \geqslant N$ 时，对应的项 $x_n$ 都落在邻域 $O_{\varepsilon}(a)$ 之中，即满足不等式 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ ．由于对每个 $\varepsilon>0$ 都可以如此做，因此就已经证明得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ．

这个定理的几何意义表明，可以将收玫数列的极限看成为数列的＂凝聚中心＂。
注 图 2.2 和图 2.3 从不同的角度作出了数列的几何形象．图 2.2 中将数列看成为定义域为 $N$ 的函数 $y=f(n)$ ，它对于今后在第四章中过渡到连续变量的极限概念时是很方便的．然而就定理 2.3 所要表达的内容来说，在一维数轴上作出的图 2.3 则更为合适．建议读者多利用几何形象来思考数学分析中的问题，至于如何才更合适则需要通过自己的努力才能达到。

## 2.3.1 适当放大法
为了说明适当放大法，先回顾上一小节中的几个例题．它们的类型都是给定一个数列 $\left\{x_n\right\}$ 和常数 $a$ ，要求按照定义验证 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 成立．具体来说就是要对于给定（而不加任何其他限制）的 $\varepsilon>0$ 求出满足定义要求的 $N$ ．

这几个例题的解题过程都是相同的，这就是将 $n$ 看成为未知数，然后求解不等式 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ ，也就是求出等价关系
中右边的表达式 $f(\varepsilon)$ ，然后取

$$
N=[f(\varepsilon)]+1,
$$

即不超过 $f(\varepsilon)$ 的最大整数加 1 ．于是当 $n \geqslant N$ 时，就有

$$
n \geqslant N=[f(\varepsilon)]+1>f(\varepsilon),
$$

另一方面，从数列极限的定义 2.1 可见，若对于给定的 $\varepsilon>0$ 存在满足定义要
求的一个 $N$ ，则比它大的每个正整数都可以取作为 $N$ ．定义中对于每个 $\varepsilon>0$ 只要存在一个 $N$ 就够了，因此并不需要从 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 中求出所有的解，然后取出其中的最小正整数作为 $N$ ，这样做对于证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 是完全没有必要的．

适当放大法包含两层意思．首先是要寻找非负数列 $\left\{b_n\right\}$ ，使得对于每个 $n$（或者充分大的 $n$ ）满足不等式

$$
\left|x_n-a\right|<b_n
$$

这就是将 $\left|x_n-a\right|$ 放大为 $b_n$ ．其次，$\left\{b_n\right\}$ 应当足够简单，使得容易找到 $N$ ，使得当 $n \geqslant N$ 时满足条件

$$
(0 \leqslant) b_n<\varepsilon
$$

由于 $\varepsilon>0$ 是没有其他限制的，即可以任意小，可见数列 $\left\{b_n\right\}$ 必须是无穷小量．因此将 $\left|x_n-a\right|$ 放大时也必须＂适当＂，不能放得过大．

合并以上就可见当 $n \geqslant N$ 时就有 $\left|x_n-a\right|<b_n<\varepsilon$ ．由于对每个 $\varepsilon>0$ 都是如此，因此得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ．

下面举例说明适当放大法的具体用法，同时还介绍在数列极限问题中的一些常用方法。

**例题 2.4** 证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2^n}=0$ ．
证 从 $\left|\frac{n}{2^n}-0\right|=\frac{n}{2^n}$ 可见，这时要对于每个给定的 $\varepsilon>0$ 考虑不等式

$$
\frac{n}{2^n}<\varepsilon
$$

显然要想从上述不等式解出 $n$ 是个难题，且没有这个必要。现设法将左边适当放大，为此考虑其中的分母 $2^n$ ．利用二项式定理，在 $n \geqslant 2$ 时有

$$
2^n=(1+1)^n=1+n+\frac{n(n-1)}{2}+\cdots>n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}>\frac{n^2}{2}
$$

因此得到

$$
2^n>\frac{n^2}{2}
$$

而且这个不等式当 $n=1$ 时也成立．
于是得到所求的适当放大为：

$$
\frac{n}{2^n}<\frac{n}{\frac{n^2}{2}}=\frac{2}{n}
$$

从 $\frac{2}{n}<\varepsilon$ 可知只要取

$$
N=\left[\frac{2}{\varepsilon}\right]+1
$$

就可使得当 $n \geqslant N$ 时成立 $\frac{2}{n}<\varepsilon$ ，从而也就成立 $\left|\frac{n}{2^n}\right|<\frac{2}{n}<\varepsilon$ ．已证毕．

**例题 2.5** 对于 $a>1$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1$ ．
证1 这时 $\sqrt[n]{a}>1$ ，因此要考虑的不等式是 $\sqrt[n]{a}-1<\varepsilon$ ．令 $h_n=\sqrt[n]{a}-1$ ，这就是要放大的对象．由于 $h_n>0$ ，用二项式定理有

$$
a=\left(1+h_n\right)^n \geqslant 1+n h_n,
$$

于是得到适当放大 $h_n \leqslant \frac{a-1}{n}$ ．只要使得此式的右边小于 $\varepsilon$ 即可．由此定出取

$$
N=\left[\frac{a-1}{\varepsilon}\right]+1,
$$

则当 $n \geqslant N\left(>\frac{a-1}{\varepsilon}\right)$ 时就有 $|\sqrt[n]{a}-1|=h_n \leqslant \frac{a-1}{n}<\varepsilon$ ．
证2 利用算术平均值－几何平均值不等式，当 $n>1$ 时得到

$$
\sqrt[n]{a}=(a \cdot \underbrace{1 \cdots 1}_{n-1 \text { 个 } 1})^{\frac{1}{n}}<\frac{a+n-1}{n}=1+\frac{a-1}{n}
$$

以下的做法与证 1 相同．
注 当 $0<a<1$ 时仍然成立 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1$ ，留作练习题．

**例题 2.6** 证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ．
证 对于 $\forall \varepsilon>0$ ，考虑不等式

$$
|\sqrt[n]{n}-1|=\sqrt[n]{n}-1<\varepsilon
$$

令 $y_n=\sqrt[n]{n}-1$ ，这就是要放大的对象．从二项式定理当 $n \geqslant 2$ 时有

$$
n=\left(1+y_n\right)^n \geqslant \frac{n(n-1)}{2} y_n^2
$$

因此得到所要的放大为

$$
y_n \leqslant \sqrt{\frac{2}{n-1}}
$$

为了使得右边的表达式小于 $\varepsilon$ ，利用

$$
\sqrt{\frac{2}{n-1}}<\varepsilon \Longleftrightarrow n>\frac{2}{\varepsilon^2}+1
$$

可见只要取

$$
N=\left[\frac{2}{\varepsilon^2}+1\right]+1
$$

就可以保证当 $n \geqslant N$ 时 $y_n<\varepsilon$ ．
注 试模仿例题 2.5 的证 2 用平均值不等式来给出一个证明．

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