最后更新: 2025-03-14 09:25 查看: 88 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

收敛数列的基本性质

## 收敛数列的基本性质
首先给出数列收玫和发散的定义，为此只要将定义 2.1 复述如下．

> 定义 2.3 称数列 $\left\{x_n\right\}$ 收玫，或为收玫数列，若存在数 $a$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ．若数列 $\left\{x_n\right\}$ 不收敛，则称数列 $\left\{x_n\right\}$ 发散或为发散数列．

注 在一个数列所具有的各种性质中，收玫还是发散是非常重要的一个性质，简称为数列的**敛散性**．今后凡是说讨论一个数列的敛散性就是指要求判定它是收敛还是发散。

本小节给出收玫数列的两个最为基本的性质．注意其中的结论和证明方法对于我们来说都是非常重要的学习内容。

> 定理 2.4 （收敛数列的极限惟一性定理）收敛数列的极限一定惟一．

证1 用反证法（请参看示意图2．4来理解下面的每一步推导）。设有一个收敛数列 $\left\{x_n\right\}$ ，同时成立 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 和 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=b$ ，且 $a \neq b$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/addc10.jpg)
 不妨假设 $a<b$ ．对于 $\varepsilon_0=\frac{b-a}{2}$ ，分别存在 $N_1$ 和 $N_2$ ，使得当 $n \geqslant N_1$时，成立 $\left|x_n-a\right|<(b-a) / 2$ ，而当 $n \geqslant N_2$ 时，成立 $\left|y_n-a\right|<(b-a) / 2$ ．取 $N=\max \left\{N_1, N_2\right\}$ ，则当 $n \geqslant N$ 时同时成立 ${ }^{(1)}$

$$
\left|x_n-a\right|<\frac{b-a}{2}, \quad\left|x_n-b\right|<\frac{b-a}{2}
$$

由于

$$
\left|x_n-a\right|<\frac{b-a}{2} \Longleftrightarrow a-\frac{b-a}{2}<x_n<a+\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}
$$

又有

$$
\left|x_n-b\right|<\frac{b-a}{2} \Longleftrightarrow b-\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}<x_n<b+\frac{b-a}{2}
$$

因此就知道当 $n \geqslant N$ 时有：

$$
x_n<\frac{a+b}{2}<x_n
$$

而这是不可能的．
利用三点不等式的下一个证明也是常见的。
证 2 设同时有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 和 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=b$ 成立，则 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N$ ，使得同时成立

$$
\left|x_n-a\right|<\varepsilon, \quad\left|x_n-b\right|<\varepsilon .
$$

于是有

由于 $\varepsilon>0$ 可取任意小，因此只能有 $a=b$ ．

现在引入数列有界的定义．

**定义2.4**  若对于给定的数列 $\left\{x_n\right\}$ 存在常数 $M$ ，使得对每一个正整数 $n$ 成立 $\left|x_n\right| \leqslant M$ ，则称数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界，或称 $\left\{x_n\right\}$ 为有界数列．（即 $\exists M, \forall n:\left|x_n\right| \leqslant M$ ．）

> 定理 2.5 （收敛数列的有界性定理）收敛数列一定有界．

证 设有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，则对于 $\varepsilon=1, \exists N, \forall n \geqslant N:\left|x_n-a\right|<1$ ．将最后的带绝对值号的不等式改写为

$$
a-1<x_n<a+1
$$

并取常数

$$
M=\max \left\{\left|x_1\right|, \cdots,\left|x_{N-1}\right|,|a-1|,|a+1|\right\}
$$

就使得对每个 $n$ 成立 $\left|x_n\right| \leqslant M$ ．
上述定理的逆否命题就是：
推论 无界数列一定发散。
注 从数列 $\left\{(-1)^{n-1}\right\}$ 发散（见下面的例题 2．7）可见有界数列也可能是发散数列．因此定理 2.5 的逆定理不成立．

**例题 2.7** 证明数列 $\left\{(-1)^{n-1}\right\}$ 发散．
证 1 这个数列作为数集（也就是将数列看作为函数时的值域）来看很简单，就是二元集 $\{-1,1\}$ ．从几何上考虑（参见定理 2.3 和图 2.3 ），即可用反证法如下．

设数列 $\left\{(-1)^{n-1}\right\}$ 收玫，记其极限为 $a$ ．于是 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N$ ：

$$
\left|(-1)^{n-1}-a\right|<\varepsilon .
$$

在满足 $n \geqslant N$ 的 $n$ 中取 $n$ 为奇数，则有 $|1-a|<\varepsilon$ ，取 $n$ 为偶数则有 $|-1-a|<\varepsilon$ ．于是有

$$
2=|1-a-(-1-a)| \leqslant|1-a|+|-1-a|<2 \varepsilon .
$$

这表明取 $\varepsilon \leqslant 1$ 时就会引出矛盾．
证 2 用反证法，设该数列收玫于极限 $a$ ．取 $\varepsilon_0=1$ ，则存在 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时， $(-1)^{n-1} \in(a-1, a+1)=O_1(a)$ ．

由于 $(a-1, a+1)$ 中任何两个点的距离严格小于 2 ，因此 -1 和 1 不可能同时在这个邻域中．因此在这个邻域外一定有数列 $\left\{(-1)^{n-1}\right\}$ 中的无穷多项．这与该数列收玫于 $a$ 相矛盾（见定理 2.3 的结论）．

注 这是证明一个数列发散的第一个例题，对于初学者可能不容易．其实除了经验之外，这也与目前的工具太少有关．在今后学了证明数列发散的其他方法之后这个例题就会变得很简单了．（例如用 $\S 2.5 .1$ 的定理 2.25 的推论 1．）

下一个例题中的结论也是经常用到的．

**例题 2.8** 证明：若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|x_n\right|=|a|$ 成立．但反之不真，除非 $a=0$ 。

解 从三点不等式（的变形）（1．12）就有

可见 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \Longrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty}\left|x_n\right|=|a|$ ．
反之，当 $a \neq 0$ 时，只要举出一个例子，其中的数列 $\left\{x_n\right\}$ 本身发散，但每一项取绝对值后得到的数列 $\left\{\left|x_n\right|\right\}$ 却收玫．例如 $\left\{(-1)^{n-1} a\right\}$ 就是如此。

注 上一个例题的后一半就是举反例．这里对于什么是反例作一个简单解释．
为了说明从条件 $A$ 不能推出结论 $B$ ，只要举出一个例子就够了．这就称为关于 $A \Longrightarrow B$ 的反例．记住一些重要的反例和学会举反例也是在数学学习中的重要内容．有人说过，数学中只有两件事是重要的，即定理与反例．定理告诉我们什么是对的，反例告诉我们什么是不对的．

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