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无穷大量

## 2.1.5 无穷大量
在本节开始列举的几个数列中，我们看到如 $\{n\},\{2 n\}$ 等数列，当 $n$ 不断增大时 $x_n$ 会无限增大．确切地说即可以大于任何事先给出的界限．当然这样的数列不是有界数列，因此一定是发散数列。然而今后我们会发现这类特殊类型的发散数列还是很有用处的，值得为它们提出新的定义和概念。

**定义2.5**  称数列 $\left\{x_n\right\}$ 为正（负）无穷大量，若

$$
\forall G>0, \exists N, \forall n \geqslant N: x_n \geqslant G\left(x_n \leqslant-G\right),
$$

并记为

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=+\infty\left(\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=-\infty\right)
$$

或简记为 $x_n \rightarrow+\infty\left(x_n \rightarrow-\infty\right)$ ．又将正无穷大量和负无穷大量统称为具有确定符号的无穷大量，简称为无穷大量，并记为 $\infty$ ．

**注1**  在上述定义中的无穷大量都有确定的符号，至少当 $n$ 充分大时是如此．此外为了方便起见，有时也将具有性质 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|x_n\right|=+\infty$ 的数列 $\left\{x_n\right\}$ 称为无穷大量，并记为 $\infty$ 。它可以没有确定的符号，例如数列 $\left\{(-1)^n n\right\}$ 就是如此．但本书今后在不加说明时一般只使用带有确定符号的无穷大量。为了刻画如 $\left\{(-1)^n n\right\}$ 那样的数列 $\left\{x_n\right\}$ ，可以直接说 $\left\{\left|x_n\right|\right\}$ 是正无穷大量．

**注2** 无穷大量是无界数列，但反之不真．例如数列

$$
\left\{\frac{1+(-1)^n}{2} n\right\}
$$

中的项 $x_n$ 在 $n$ 为奇数时为 0 ，在 $n$ 为偶数时为 $n$ ，因此是无界数列，但并不是无穷大量。

今后会发现，作为无穷大量的数列虽然是发散数列，但有时将无穷大量与收玫数列放在一起也有方便之处（例如参见后面 $\S 2.3 .1$ 的定理 2.15 的推论）．为此提出如下定义。

**定义2.6** 称记号 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 有意义，其中 $\left\{x_n\right\}$ 或者是收敛数列，或者是具有确定符号的无穷大量．对前者， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 是有限数，对后者， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 是 $+\infty$ 或 $-\infty$ ，读作 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 是正无穷大或负无穷大．
注 有时也将 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\infty$ 称为数列 $\left\{x_n\right\}$ 发散于无穷大量，或者称为当 $n$ 趋于无穷大时 $x_n$ 趋于无穷大，或者称该数列有非正常极限，而将数列收敛时的极限称为正常极限．为了避免混淆，今后凡是说到收玫数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限时，若无其他说明，总认为该极限是有限数，即符合定义 2.1 中的要求．

可以看出有以下结论：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} n=+\infty, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} 2^n=+\infty, \quad \lim _{n \rightarrow \infty}\left(-n^2\right)=-\infty
$$

它们都可以用定义 2.5 加以验证．下面举一个具体例子．

**例题2.9** 证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}=+\infty$ ．
证 对于给定的 $G>0$ ，要证明存在 $N$ ，使得当 $n \geqslant N$ 时有 $\sqrt{n} \geqslant G$ ．由于

$$
\sqrt{n} \geqslant G \Longleftrightarrow n \geqslant G^2
$$

因此只要取 $N=\left[G^2\right]+1$ ，则从 $n \geqslant N=\left[G^2\right]+1>G^2$ ，可见 $\sqrt{n} \geqslant G$ ，从而得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}=+\infty$.

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