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数学分析
第二篇 极限论
无穷大与无穷小联系
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2025-03-14 10:52
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无穷大与无穷小联系
## 无穷大与无穷小联系 下面的定理建立起无穷小量和无穷大量的直接联系. **定理2.6** (1)$\frac{1}{\infty}=o(1), \quad (2) \frac{1}{o(1)}=\infty$ ,这里的 $o(1)$ 是非零无穷小量,$\infty$ 可以是没有确定符号的无穷大量. 证(1)设有 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|x_n\right|=+\infty$ ,则对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N:\left|x_n\right| \geqslant \frac{1}{\varepsilon}$ ,即是 $$ \left|\frac{1}{x_n}\right| \leqslant \varepsilon $$ 这样就得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_n}=0$ ,即 $\frac{1}{x_n}=o(1)$ ,且其中每一项都不等于 0 . (2)若 $\left\{x_n\right\}$ 是非零无穷小量,则对 $\forall G>0, \exists N, \forall n \geqslant N: 0<\left|x_n\right|<\frac{1}{G}$ .因此有 $$ \left|\frac{1}{x_n}\right|>G $$ 这就证明了 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_n}=\infty $$ 注 在定理 2.6(2)中,若 $n$ 充分大时 $x_n$ 有确定的符号,则 $\left\{1 / x_n\right\}$ 是具有确定符号的无穷大量。 最后再着重指出,与无穷小量一样,无穷大量也是变量.正如不能将一个无穷小量的个别项称为无穷小量那样,也不能将无穷大量的个别项称为无穷大量.
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