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数学分析
第二篇 极限论
无穷大与无穷小联系
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2025-03-14 10:52
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无穷大与无穷小联系
## 无穷大与无穷小联系 下面的定理建立起无穷小量和无穷大量的直接联系． **定理2.6** （1）$\frac{1}{\infty}=o(1), \quad (2) \frac{1}{o(1)}=\infty$ ，这里的 $o(1)$ 是非零无穷小量，$\infty$ 可以是没有确定符号的无穷大量． 证（1）设有 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|x_n\right|=+\infty$ ，则对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N:\left|x_n\right| \geqslant \frac{1}{\varepsilon}$ ，即是 $$ \left|\frac{1}{x_n}\right| \leqslant \varepsilon $$ 这样就得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_n}=0$ ，即 $\frac{1}{x_n}=o(1)$ ，且其中每一项都不等于 0 ． （2）若 $\left\{x_n\right\}$ 是非零无穷小量，则对 $\forall G>0, \exists N, \forall n \geqslant N: 0<\left|x_n\right|<\frac{1}{G}$ ．因此有 $$ \left|\frac{1}{x_n}\right|>G $$ 这就证明了 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_n}=\infty $$ 注 在定理 2．6（2）中，若 $n$ 充分大时 $x_n$ 有确定的符号，则 $\left\{1 / x_n\right\}$ 是具有确定符号的无穷大量。 最后再着重指出，与无穷小量一样，无穷大量也是变量．正如不能将一个无穷小量的个别项称为无穷小量那样，也不能将无穷大量的个别项称为无穷大量．
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