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无穷级数

## 2.1.6 无穷级数
无穷级数就是将初等数学中的有限项求和推广到无限多项（实际上总是可列项）求和．从下面的介绍可见，无穷级数从概念到方法都与数列有密切联系．

首先引入以下术语和概念．称

$$
u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} u_n
$$

为**无穷级数**（简称为级数），称其中的 $u_1$ 为级数的第一项，$u_2$ 为级数的第二项，$\cdots$ ， $u_n$ 为级数的第 $n$ 项等等，又称 $u_n$ 为级数的通项．对于每个正整数 $n$ ，称级数的前 $n$项之和

$$
S_n=u_1+\cdots+u_n=\sum_{k=1}^n u_k
$$

为级数的第 $n$ 个部分和，称数列 $\left\{S_n\right\}$ 为级数的**部分和数列**．
现在给出无穷级数的收玫和发散的定义，以及在收玫情况下的级数和的定义．

**定义2.7** 称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收收敛（发散），若级数的部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 收敛（发散）．又若有 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=a$ ，则称该级数的和为 $a$ 或级数收敛于 $a$ ，记为

$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n=a
$$

在级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散时，它只是一个没有意义的记号．

回忆在第二章开始时所举出的例子，即《庄子》中＂一尺之捶，日取其半，万世不竭＂，对它的一种解释是

$$
1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots
$$

显然其右边就是一个无穷级数．它的部分和就是

$$
S_n=\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n} .
$$

由于 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=1$ ，因此上述级数的和就是 1 ．
下面一个定理指出了数列与无穷级数之间的进一步联系．

> 定理 2.7 给定一个数列 $\left\{x_n\right\}$ ，一定存在一个无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ ，使得这个无穷级数的部分和数列恰好就是 $\left\{x_n\right\}$ ．

证 为了得到

$$
\begin{aligned}
& x_1=u_1, \\
& x_2=u_1+u_2, \\
& \cdots \quad \cdots \cdots \\
& x_n=u_1+u_2+\cdots+u_n
\end{aligned}
$$

可见只要取 $u_1=x_1, u_n=x_n-x_{n-1} \forall n \geqslant 2$ 即可．
现在介绍级数收玫的一个必要条件，它是一个基本结果，经常有用．

**定理 2.8**  若无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$ ．
证 设级数的部分和数列为 $\left\{S_n\right\}$ ，则从部分和的定义有

$$
u_n=S_n-S_{n-1} \forall n,
$$

其中设 $S_0=0$ ．由级数收玫的定义知道 $\left\{S_n\right\}$ 收玫．这时数列 $\left\{S_{n-1}\right\}$ 也收玫，且有相同的极限，因此只要在上述等式两边令 $n \rightarrow \infty$ ，就得到

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=\lim _{n \rightarrow \infty} S_n-\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n-1}=0
$$

**注 ** 需要注意：无穷级数的通项（所成的数列）为无穷小量只是级数收敛的必要条件，但并不是充分条件．定理 2.8 经常以其逆否命题发挥作用，即当级数通项不是无穷小量时，该级数一定发散。

下面举几个重要的例子．第一个例子是几何级数求和，它不仅本身经常有用，而且还在无穷级数的理论中起重要作用．

为简单起见只考虑首项等于 1 和公比为 $x$ 的几何级数．

`例` 讨论下列几何级数

$$
1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots
$$

的敛散性，并在级数收敛时求出其和。
解 从定理 2.7 及其注可见当公比的绝对值 $|x| \geqslant 1$ 时几何级数一定发散．对于 $|x|<1$ ，先计算级数的部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 如下：

$$
S_n=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}
$$

由此可见当 $|x|<1$ 时级数收敛，级数的和是 $\frac{1}{1-x}$ ．
注 1 于是几何级数收敛的充要条件就是通项（所形成的数列）为无穷小量．
注2 由此例得到的下列等式是今后经常有用的基本公式：

$$
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots,|x|<1
$$

下面是比几何级数复杂一点的一个级数，其中的方法也很有用．

`例`讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 的玫散性，并在收玫时求其和．
解 从定理 2.7 及其注知道当 $|x| \geqslant 1$ 时级数发散．以下在 $|x|<1$ 的条件下来讨论．先写出部分和

$$
S_n=x+2 x^2+3 x^3+\cdots+n x^n
$$

两边同乘 $x$ 后得到

$$
x S_n=x^2+2 x^3+3 x^4+\cdots+n x^{n+1}
$$

然后将两式相减得到

$$
S_n-x S_n=(1-x) S_n=x+x^2+\cdots+x^n-n x^{n+1}=\frac{x\left(1-x^n\right)}{1-x}-n x^{n+1}
$$

再将两边除以 $1-x$ 就求出了 $S_n$ 的表达式

$$
S_n=\frac{x}{(1-x)^2}-\frac{x^{n+1}}{(1-x)^2}-\frac{n x^{n+1}}{1-x}
$$

由于 $|x|<1$ 时不仅有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x^{n+1}=0$ ，而且有 $\lim _{n \rightarrow \infty} n x^{n+1}=0$（参见例题2．4），因此上式右边最后两项都是无穷小量，从而它们的和也是无穷小量．令 $n \rightarrow \infty$ ，就得到所要求的极限

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=\frac{x}{(1-x)^2}
$$

因此当 $|x|<1$ 时级数收玫，其和等于 $\frac{x}{(1-x)^2}$ ．

**例题 2.12** 求级数 $\sum_{n=1} \frac{1}{n(n+1)}$ 之和．
解 计算部分和

$$
\begin{aligned}
S_n & =\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)} \\
& =\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\
& =1-\frac{1}{n+1}
\end{aligned}
$$

可见有 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=1$ ，因此级数收玫，其和为 1 ．
注 这个例题中所用的方法称为连锁消去法（或裂项相消法等），其英文名有 telescoping 等，是级数求和中的一种基本方法．

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