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收敛数列的四则运算法则

## 2.2.1 收敛数列的四则运算法则
有了收敛数列的四则运算法则后就可以解决许多比较容易的极限计算问题．
定理 2.9 （收敛数列的四则运算法则）设 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 都是收敛数列，则有
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+y_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n+\lim _{n \rightarrow \infty} y_n$ ，
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} c x_n=c \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} x_n$（ $c$ 是常数），
（3） $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n y_n=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} y_n$ ，
（4） $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_n}{y_n}=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty} x_n}{\lim _{n \rightarrow \infty} y_n}$（设 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n \neq 0$ ）．
证 记 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a, \lim _{n \rightarrow \infty} y_n=b$ ．
（1）利用两个数列收敛的条件，$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N$ ：

$$
\left|x_n-a\right|<\varepsilon, \quad\left|y_n-b\right|<\varepsilon
$$

因此就有

这样就证明了所要的结论： $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+y_n\right)=a+b$ ．
注 在前面引入数列极限的定义 2.1 （即（2．1））之后，我们讲过定义中最后一句话 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 可以改动为 $\left|x_n-a\right|<K \varepsilon$ ，只要 $K$ 是与 $\varepsilon$ 和 $n$ 无关的常数就行．上述证明是如此，最后的不等式右边是 $2 \varepsilon$ ，而不是定义中的 $\varepsilon$ 。这里结合这个具体例子来说明其实只要稍作修改就可以使得右边仍然为 $\varepsilon$ ．

由于给定的 $\varepsilon$ 可取到每一个正数，因此 $\varepsilon / 2$ 也可取到每一个正数．从而可以将证明改写为：对给定的 $\varepsilon>0$ ，存在 $N_1$ ，使得当 $n \geqslant N_1$ 时同时成立

$$
\left|x_n-a\right|<\frac{\varepsilon}{2}, \quad\left|y_n-b\right|<\frac{\varepsilon}{2}
$$

这样就可以得到 $\left|x_n+y_n-(a+b)\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ ．
（2）当 $c=0$ 时可直接看出两边相等．对于 $c \neq 0$ 则从 $\left|c x_n-c a\right| \leqslant|c| \cdot\left|x_n-a\right|$可知，对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N:\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ ，因此就有 $\left|c x_n-c a\right|<|c| \varepsilon$ 。

注意：在法则（2）中取 $c=-1$ 并与法则（1）联合就得到关于两个收玫数列相减的运算法则，即当 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 都收玫时，就成立

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n-y_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n-\lim _{n \rightarrow \infty} y_n
$$

$$
\left|x_n y_n-a b\right|<(M+|b|) \varepsilon
$$

由于右边 $\varepsilon$ 的系数 $M+|b|$ 为常数，因此已经证明成立 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n y_n=a b$ ．
（4）从 $\frac{x_n}{y_n}=x_n \cdot \frac{1}{y_n}$ 可见只要证明当 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n=b \neq 0$ 时成立

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{y_n}=\frac{1}{b}
$$

然后再联合使用法则（3）就可以得出所要的结论。
证明（2．7）的困难在于如何控制表达式

$$
\left|\frac{1}{y_n}-\frac{1}{b}\right|=\frac{\left|y_n-b\right|}{\left|y_n\right| \cdot|b|}
$$

右边分母上的 $\left|y_n\right|$ ，使得它不能太小．利用当 $n$ 充分大时 $y_n$ 落在点 $b$ 的一个邻域中的几何形象（参见定理 2.3 和图 2．3），并将这个邻域半径取充分小，就可以使得 $y_n$离开原点的距离不会太小。下面来实行这个做法。

给定正数 $\varepsilon$ ，并不妨设已满足 $\varepsilon \leqslant \frac{|b|}{2}$ ，则 $\exists N, \forall n \geqslant N:\left|y_n-b\right|<\varepsilon \leqslant \frac{|b|}{2}$ ．利用三点不等式（的变形（1．11）），就有

$$
\left|y_n\right|=\left|\left(y_n-b\right)+b\right| \geqslant|b|-\left|y_n-b\right|>|b|-\frac{|b|}{2}=\frac{|b|}{2}
$$

于是当 $n \geqslant N$ 时就有
$$
\left|y_n\right|=\left|\left(y_n-b\right)+b\right| \geqslant|b|-\left|y_n-b\right|>|b|-\frac{|b|}{2}=\frac{|b|}{2}
$$

于是当 $n \geqslant N$ 时就有

$$
\left|\frac{1}{y_n}-\frac{1}{b}\right|=\frac{\left|y_n-b\right|}{\left|y_n\right| \cdot|b|} \leqslant \frac{2}{b^2} \cdot \varepsilon
$$

由于在最后的 $\varepsilon$ 前的系数 $2 / b^2$ 与 $\varepsilon$ 无关，因此已经证明（2．7）成立．
注 由极限的四则运算法则可见，在符合条件的情况下，数列极限的计算变得相当容易，只要将极限代替数列的位置就可以了。这样的代入法还可以进一步推广．请看本章节的总练习题 1 中的各个小题．

**例题 2.13** 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4 n^3-5 n+2}{n^3+2 n^2+3}$ ．
解 这里的方法是分子分母同除以 $n^3$ ，于是就有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4 n^3-5 n+2}{n^3+2 n^2+3}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4-\frac{5}{n^2}+\frac{2}{n^3}}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^3}}
$$

然后从 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ 出发，对右边多次用四则运算法则即可求出极限为 4 ．
注 这是处理分子分母都是 $n$ 的多项式时的有理分式极限问题的最简单有效的方法．这类问题今后会多次遇到。

**例题2.14** 已知 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ 及 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_n}{y_n}=a \neq 0$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n$ ．
解 从条件可知当 $n$ 充分大时 $\frac{x_n}{y_n} \neq 0$（参见四则运算法则中（4）的证明），因此可以如下利用运算法则：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} y_n=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_n}{\frac{x_n}{y_n}}=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty} x_n}{\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_n}{y_n}}=\frac{0}{a}=0 .
$$

**例题2.15** 设 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 都发散，问 $\left\{x_n+y_n\right\}$ 一定发散吗？
证 不一定．例如数列 $\left\{(-1)^{n-1}\right\},\left\{(-1)^n\right\}$ 都是发散数列，但它们的和却是每一项都等于 0 的常值数列．

注 再举一个例题．从收玫数列的有界性定理知道数列 $\{n\}$ 和 $\{-n\}$ 都是发散数列，但它们的和却也是每一项等于 0 的常值数列．

**例题2.16** 设 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，证明：

$$
\left\{x_n+y_n\right\} \text { 收玫 } \Longleftrightarrow\left\{y_n\right\} \text { 收玫. }
$$

证 充分性 $(\Longleftarrow)$ 已经包含在四则运算法则之（1）中。
必要性 $(\Longrightarrow)$ 。令 $z_n=x_n+y_n$ ，则 $y_n=z_n-x_n$ ，因此从 $\left\{z_n\right\}$ 和 $\left\{x_n\right\}$ 收玫再用收玫数列的减法运算法则就推出 $\left\{y_n\right\}$ 收玫．

下面是有关无穷大量的四则运算法则方面的一些结果，其证明留作为练习题．

**定理2.10**
（1）$( \pm \infty)+( \pm \infty)= \pm \infty$ ；
（2）$\pm \infty+O(1)= \pm \infty$ ；
（3）$( \pm \infty)( \pm \infty)=+\infty, \quad( \pm \infty)(\mp \infty)=-\infty$

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