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收敛数列保号性定理与夹逼定理

## 2.2.2 收敛数列与不等式的关系
定理 2.11 （**比较定理**）设 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 均为收敛数列．
（1）若 $n$ 充分大时有 $x_n \geqslant y_n$ ，则就有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n \geqslant \lim _{n \rightarrow \infty} y_n$ ；
（2）若有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n>\lim _{n \rightarrow \infty} y_n$ ，则当 $n$ 充分大时就有 $x_n>y_n$ ．

证 先证明 $(2)$ ．记 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a, \lim _{n \rightarrow \infty} y_n=b$ ，且 $a>b$ ．取 $\varepsilon=\frac{a-b}{2}$ ，则 $\exists N, \forall n \geqslant N$ ，同时成立

$$
\left|x_n-a\right|<\varepsilon, \quad\left|y_n-b\right|<\varepsilon
$$

于是当 $n \geqslant N$ 时就有

$$
y_n<b+\varepsilon=\frac{a+b}{2}=a-\varepsilon<x_n .
$$

再证明（1）．用反证法．若 $a \geqslant b$ 不成立，则就有 $a<b$ ．从刚才已经证明的（2）知道，$\exists N, \forall n \geqslant N: x_n<y_n$ ，这与 $n$ 充分大时 $x_n \geqslant y_n$ 的条件相矛盾．

在比较定理中取 $y_n=0 \forall n$ ，则就得到下列推论．

## 保号性定理
**推论（保号性定理）** 设 $\left\{x_n\right\}$ 为收玫数列．（1）若 $n$ 充分大时 $x_n \geqslant 0$ ，则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n \geqslant 0 ;(2)$ 若极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n>0$ ，则当 $n$ 充分大时 $x_n>0$ ．

**注1** 还有加强形式的保号性定理：若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a>0$ ，则 $\forall c \in(0, a), \exists N$ ， $\forall n \geqslant N: x_n>c$ ．这在今后也是常用的结论．

**注2** 对于比较定理之（1）还要指出，若将其中的条件加强为＂若 $n$ 充分大时有 $x_n>y_n$＂，那么是否可以将其结论改进为 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n>\lim _{n \rightarrow \infty} y_n$ ？

回答是不能．这只要举出一个反例即可．例如数列 $\{1 / n\}$ 的每一项大于 0 ，但其极限却为 0 ，可见在取极限后不等号可能变成等号．因此要记住，对于以 $>$ 号出现的不等式，若两边当 $n \rightarrow \infty$ 时的极限都存在的话，则在取极限之后应当将不等式
中的 $>$ 改为 $\geqslant$ ．这是不等式的极限运算中的常识．
下面是一个有用的工具，它也有两面夹定理等其他名称．

## 夹逼定理
定理2.12 （夹逼定理）设有三个数列 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\},\left\{z_n\right\}$ ，且当 $n$ 充分大时成立不等式

$$
y_n \leqslant x_n \leqslant z_n
$$

又假设左边和右边的两个数列都收玫，且有同一极限，即有 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n=\lim _{n \rightarrow \infty} z_n=a$ ，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 一定收敛，且成立 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ．

证 从数列 $\left\{y_n\right\}$ 和 $\left\{z_n\right\}$ 同时收玫于 $a$ 可知，$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N$ ，同时成立

$$
\left|y_n-a\right|<\varepsilon, \quad\left|z_n-a\right|<\varepsilon
$$

因此当 $n \geqslant N$ 就有

$$
a-\varepsilon<y_n \leqslant x_n \leqslant z_n<a+\varepsilon
$$

即得到
$$
\left|x_n-a\right|<\varepsilon .
$$

这就证明了 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 。
下面是用夹逼定理的一个典型例题。

**例题2.17** 设有 $k$ 个非负数 $a_1, \cdots, a_k$ ，证明：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_1^n+\cdots+a_k^n\right)^{\frac{1}{n}}=\max \left\{a_1, \cdots, a_k\right\}
$$

证 记 $A=\max \left\{a_1, \cdots, a_k\right\}$ ，则有

$$
A \leqslant\left(a_1^n+\cdots+a_k^n\right)^{\frac{1}{n}} \leqslant\left(k \cdot A^n\right)^{\frac{1}{n}}=A \sqrt[n]{k}
$$

利用已知的结果 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{k}=1$（见例题 2.5 ），用夹逼定理即得．
现在引入在分析中常用的两个记号，即所谓小＂$o$＂记号和大＂$O$＂记号．
若数列 $\left\{x_n\right\}$ 为无穷小量，则记为 $x_n=o(1)$ ；若数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界，则记为 $x_n=O(1)$ 。（在易发生混淆时后面还应当写出 $(n \rightarrow \infty)$ ．）

从无穷小量的定义 2.2 和数列极限的定义 2.1 可见

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \Longleftrightarrow x_n-a=o(1) \Longleftrightarrow x_n=a+o(1)
$$

这里要提请注意，含有 $o(1)$ 和 $O(1)$ 的等式，例如上式最后的 $a+o(1)$ ，实际上都与 $n \rightarrow \infty$ 的极限过程有关，因此不是普通的等式。一般我们规定只能从左向右读，而不能反过来读．
例如，将等式

$$
o(1)=O(1)
$$

从左向右读就是＂无穷小量是有界量＂，这是正确的（这是定理 2.5 的推论）；但反过来读就变成了＂有界量是无穷小量＂，这当然不一定成立。

下面再举一个有关 $o(1), O(1)$ 的例题．这里要学习如何证明类似的命题以及书写方式。

**例题2.18** 证明 $o(1) O(1)=o(1)$（**此等式读作无穷小量与有界量的乘积为无穷小量**）．

证 设有 $x_n=o(1), y_n=O(1)$ ．根据定义对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N:\left|x_n\right|<\varepsilon$ 。同时又 $\exists M>0, \forall n:\left|y_n\right| \leqslant M$ ．这样就在 $n \geqslant N$ 时有

$$
\left|x_n y_n\right|<M \varepsilon .
$$

由于 $M$ 是与 $\varepsilon, n$ 无关的常数，因此已经得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n y_n=0$ ，即 $x_n y_n=o(1)$ ．

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