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第一类曲面积分的物理意义与定义

## 第一类曲面积分
### 物理意义
类似第一类曲线积分，设在质量分布不均匀的曲面 $S$，点 $P(x, y, z) \in S$ ，取包含点 $P$ 的一小块曲面，因为密度不是均匀分布，可以取极小的一块面积面积 $\Delta S$ ，设质量为 $\Delta M$ ，就可以定义在点 $P$ 的平均为

$$
{\Delta M}= {\rho} {\Delta S}
$$

把所有小质量累加就是整个曲面的质量，为此得到第一类曲面积分的定义。

### 定义
**定义**  设 $S$ 是空间中可求面积的曲面，$f(x, y, z)$ 为定义在 $S$ 上的函数．对曲面 $S$作分割 $T$ ，它把 $S$ 分成 $n$ 个小曲面块 $S_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，以 $\Delta S_i$ 记小曲面块 $S_i$ 的面积，分割 $T$ 的细度 $\|T\|=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{S_i\right.$ 的直径 $\}$ ，在 $S_i$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)(i=1,2, \cdots, n)$ ，若极限

$$
\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i
$$

存在，且与分割 $T$ 及 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)(i=1,2, \cdots, n)$ 的取法无关，则称此极限为 $f(x, y, z)$ 在 $S$上的第一型曲面积分，记作

$$
\iint_S f(x, y, z) \mathrm{d} S .
$$

于是前面讲到的曲面块的质量可由第一型曲面积分（1）求得．
特别地，当 $f(x, y, z) \equiv 1$ 时，曲面积分 $\iint_S \mathrm{~d} S$ 就是曲面块 $S$ 的面积．

## 第一类曲面积分的计算
第一型曲面积分可化为二重积分来计算．
**定理22．1** 设有光滑曲面
 
$$
S: z=z(x, y),(x, y) \in D
$$

$f(x, y, z)$ 为 $S$ 上的连续函数，则

$$
\boxed{
\iint_S f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_D f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y ...(2)
}
$$

具体推导可以参考第一类曲线积分得到。

`例` 计算 $\iint_S \frac{\mathrm{~d} S}{z}$ ，其中 $S$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$被平面 $z=h(0<h<a)$ 所截的顶部（图22－1）．

解 曲面 $S$ 的方程为

$$
z=\sqrt{a^2-x^2-y^2},
$$
 ![图片](/uploads/2025-10/699034.jpg){width=250px}

定义域 $D$ 为圆域 $x^2+y^2 \leqslant a^2-h^2$ ．由于

$$
\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}},
$$

所以由公式

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【高等数学】第一类曲面积分(对面积的曲面积分)

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