最后更新: 2025-02-01 12:32 查看: 12 次反馈刷题

第一类曲面积分的物理意义

$\S 24.1$ 第一类曲面积分
一．面积元
由于这里的内容在前面都已经讲过，采取以自学为主的方法。
需要时请自己回顾教科书 p． 70 开始对曲面的介绍（还有在第十八章对于切平面的内容），以及教科书 p． 124 开始的 $\S 21.3$ 的第一小节的内容．该小节的标题是曲面的参数表示与曲面的面积．其中包括曲面面积计算公式

$$
|S|=\iint_D\left| r _u \times r _v\right| d u d v=\iint_D d S
$$

这里的曲面方程为 $r = r (u, v),(u, v) \in D$ ．设曲面光滑或分片光滑，即设 $r (u, v)$连续可微，且 $r _u$ 和 $r _v$ 处处不共线．这相当于曲面处处有切平面．（回顾 p． 44 的切平面概念和 p． 71 关于切平面方程的讨论．）

称上述公式中的 $d S=\left| r _u \times r _v\right| d u d v$ 为曲面的面积元。它是 $u v$ 平面上以 $\Delta u$和 $\Delta v$ 为边的矩形在曲面上的映象的线性主部．（在前面应当使用类似的名称，例如二重积分中在直角坐标下的 $d x d y$ 和在极坐标下的 $r d r d \theta$ 为面积元等．）

对于平时最熟悉的曲面 $z=z(x, y),(x, y) \in D$ ，则可将 $x, y$ 作为双参数而写出
$$
r =(x, y, z(x, y)) .
$$

这时的面积元为

$$
\begin{aligned}
d S & =\left| r _u \times r _v\right| d x d y=\left|\left(1,0, z_x\right) \times\left(0,1, z_y\right)\right| d x d y \\
& =\sqrt{1+z_x^2+z_y^2} d x d y
\end{aligned}
$$

这都在 p .125 见过。
下面一般均假设上面提到的区域都是零边界的有界闭区域．

二．物理背景
与第一类曲线积分相同，采用曲面上分布的质量问题来引入第一类曲面积分．
设在曲面 $S$ 分布有质量，点 $P(x, y, z) \in S$ ，取包含点 $P$ 的一小块曲面，设其面积为 $\Delta S$ ，质量为 $\Delta M$ ，就可以定义在点 $P$ 的平均质量面密度为

$$
\bar{\rho}=\frac{\Delta M}{\Delta S}
$$

然后将小块的直径 $d \rightarrow 0$ 时的极限

$$
\rho(x, y, z)=\lim _{d \rightarrow 0} \frac{\Delta M}{\Delta S}
$$

定义为 $S$ 上点 $P$ 处的质量面密度．这样可以看出 $S$ 的总质量为

$$
M=\iint_S \rho(x, y, z) d S
$$

其中 $d S$ 为面积元．这个积分就是第一类曲面积分．
可见第一类曲面积分的被积函数恒等于 1 时就得到曲面面积．

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