最后更新: 2025-10-26 04:48 查看: 76 次纠错评论(0) 课件开VIP

第一类曲面积分的性质与举例

## 第一类曲面积分的最基本性质。
（1）非负性质．若 $f \geqslant 0$ ，且 $\iint_S f d S$ 存在，则 $\iint_S f d S \geqslant 0$ ．

（2）关于被积函数的线性性质．设 $\iint_S f d S$ 和 $\iint_S g d S$ 存在，则对任意实数 $\alpha, \beta$ ，成立
$$
\iint_S(\alpha f+\beta g) d S=\alpha \iint_S f d S+\beta \iint_S g d S
$$

（3）关于曲面的可加性质．若 $S=S_1 \cup S_2$ ，且 $S_1$ 和 $S_2$ 除边界外不相交，则在 $\iint_{S_1} f d S$ 和 $\iint_{S_2} f d S$ 存在时，就有

$$
\iint_S f d S=\iint_{S_1} f d S+\iint_{S_2} f d S
$$

`例` 求 $I=\iint_S \sqrt{x^2+y^2} d S$ ，其中 $S$ 是以原点为中心，$R$ 为半径的球面．
解 1 利用对称性，记 $S_{+}$为上半球面 $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$ ，则有

$$
I=2 \iint_{S_{+}} \sqrt{x^2+y^2} d S
$$

下面只要计算面积元
$$
d S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}} d x d y
$$

然后就有

$$
I=2 R \quad \iint_{x^2+y^2 \leqslant R^2} \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}} d x d y
$$

可以采用极坐标来计算上述二重积分．这样就有

$$
I=2 R \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^R \frac{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}} d r=4 \pi R \int_0^R \frac{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}} d r
$$

用三角代换 $r=R \sin \varphi$ ，就有

$$
I=4 \pi R^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 \varphi d \varphi=\pi R^3
$$

解 2 用球面坐标来表示曲面 $S$ ，即

$$
x=R \sin \varphi \cos \theta, y=R \sin \varphi \sin \theta, z=R \cos \varphi
$$

则已知面积元为 $d S=R^2 \sin \varphi d \varphi d \theta$（见 p .128 ），因此就有

$$
I=\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^\pi R^3 \sin ^2 \varphi d \varphi=4 \pi R^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 \varphi d \varphi=\pi R^3 .
$$

`例` 求均匀球面 $S$（不妨设面密度 $\rho=1$ ）对一单位质点的引力 $F$ ．
解 这个问题实际上已经在第二十一章 p .140 的例 6 中解决．以下简要地复述一下．
首先取合适的坐标．以球心为原点，将单位质点放在 $z$ 轴上的 $(0,0, c)$ 处，设 $c \geqslant 0$ ．从对称性知 $F =(0,0, F)$ ，其中

$$
F=G \iint_S \frac{z-c}{r^3} d S
$$

其中 $r=\sqrt{x^2+y^2+(z-c)^2}$ ．
用球面坐标 $x=R \sin \varphi \cos \theta, y=R \sin \varphi \sin \theta, z=R \cos \varphi$ ，即可与上一个例子一样有

$$
\begin{aligned}
F & =G \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^\pi \frac{R \cos \varphi-c}{\left(R^2+c^2-2 R c \cos \varphi\right)^{3 / 2}} \cdot R^2 \sin \varphi d \varphi \\
& =2 \pi G R^2 \int_0^\pi \frac{(R \cos \varphi-c) \sin \varphi}{\left(R^2+c^2-2 R c \cos \varphi\right)^{3 / 2}} d \varphi
\end{aligned}
$$

以下具体计算略。

`例`计算 $I=\iint_{\Sigma} \sqrt{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1(a, b, c>0)$ ．
解 椭球面的参数方程为

$$
x=a \sin \varphi \cos \theta, \quad y=b \sin \varphi \sin \theta, \quad z=c \cos \varphi,
$$

其中 $0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi$ ．经计算得到

$$
\frac{\partial(y, z)}{\partial(\varphi, \theta)}=b c \sin ^2 \varphi \cos \theta, \quad \frac{\partial(z, x)}{\partial(\varphi, \theta)}=a c \sin ^2 \varphi \sin \theta, \quad \frac{\partial(x, y)}{\partial(\varphi, \theta)}=a b \sin \varphi \cos \varphi,
$$

所以

$$
\begin{aligned}
E G-F^2 & =\left(\frac{\partial(y, z)}{\partial(\varphi, \theta)}\right)^2+\left(\frac{\partial(z, x)}{\partial(\varphi, \theta)}\right)^2+\left(\frac{\partial(x, y)}{\partial(\varphi, \theta)}\right)^2 \\
& =(a b c)^2 \sin ^2 \varphi\left(\frac{\cos ^2 \theta \sin ^2 \varphi}{a^2}+\frac{\sin ^2 \theta \sin ^2 \varphi}{b^2}+\frac{\cos ^2 \varphi}{c^2}\right)
\end{aligned}
$$

而这时被积函数化为

$$
\sqrt{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}}=\sqrt{\frac{\cos ^2 \theta \sin ^2 \varphi}{a^2}+\frac{\sin ^2 \theta \sin ^2 \varphi}{b^2}+\frac{\cos ^2 \varphi}{c^2}} .
$$

由被积函数与积分曲面的对称性，它在第一卦限的积分后再乘 8 即为所求．所以

$$
\begin{aligned}
& I=8 \iint\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \\
&=\frac{4}{3} a b c\left(\frac{\cos ^2 \theta \sin ^2 \varphi}{a^2}+\frac{\sin ^2 \theta \sin ^2 \varphi}{b^2}+\frac{\cos ^2 \varphi}{c^2}\right) \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \mathrm{~d} \theta \\
&\left.\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)
\end{aligned}
$$

`例`设圆锥面 $z^2=x^2+y^2$（见图 14．1．9）上具有均匀的单位面密度，它被平面 $z=a$ 和 $z=b(0<a<b)$ 所截部分为 $\Sigma$ ．求 $\Sigma$ 对位于原点处、具有单位质量的质点的引力．

![图片](/uploads/2025-10/c90e78.jpg){width=250px}

解 设 $\Sigma$ 对质点的引力为 $\boldsymbol{F}=\left(F_x, F_y, F_z\right)$ ，由对称性，引力在 $x$ 轴和 $y$ 轴方向的分量为零，即 $F_x=F_y=0$ ．

对于曲面上任一点 $P(x, y, z)$ ，包含它的曲面面积微元 $\mathrm{d} S$ 所具有的质量为 $1 \cdot \mathrm{~d} S$ ．由万有引力定律， $\mathrm{d} S$ 对锥面顶点处的质点的引力在 $z$ 轴上的分量为

$$
G \frac{\mathrm{~d} S}{x^2+y^2+z^2} \cos \theta,
$$

其中 $G$ 为万有引力常量，而 $\theta$ 为矢径 $\overrightarrow{O P}$ 与 $z$ 轴之间的

夹角，它恰好为锥面的半顶角 $\frac{\pi}{4}$ ．所以由微元法可知

$$
F_z=\iint_{\Sigma} G \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)} .
$$

由于 $\Sigma$ 的方程为

$$
\begin{aligned}
&z=\sqrt{x^2+y^2}, \quad(x, y) \in D,\\
&\text { 这里 } D \text { 为它在 } x y \text { 平面上的投影 }\left\{(x, y) \mid a^2 \leqslant x^2+y^2 \leqslant b^2\right\} \text { ．因此 }\\
&\begin{aligned}
F_z & =\iint_D G \frac{1}{\sqrt{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)} \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =G \iint_D \frac{1}{x^2+y^2+z^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=G \iint_D \frac{1}{2\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =G \int_0^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_a^b \frac{r \mathrm{~d} r}{2 r^2}=G \pi \ln \frac{b}{a}
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

其他版本
【高等数学】第一类曲面积分的计算举例

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：第一类曲面积分的物理意义与定义

下一篇：有向曲面与第二类曲面积分的物理意义

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)