最后更新: 2025-02-01 12:33 查看: 14 次反馈刷题

第一类曲面积分的定义

三．第一类曲面积分的定义
现在给出第一类曲面积分的定义。
定义 0.1 设曲面 $S: r = r (u, v),(u, v) \in D$ ，函数 $f(x, y, z)$ 在 $S$ 上有定义，则定义 $f$ 在 $S$ 上的第一类曲面积分为

$$
\iint_S f(x, y, z) d S=\iint_D f( r (u, v))\left| r _u \times r _v\right| d u d v
$$

这个定义同时给出了第一类曲面积分的计算方法，即将它归结为右边的二重积分来计算。

对于以 $z=z(x, y),(x, y) \in D$ 给定的曲面，就有

$$
\iint_S f(x, y, z) d S=\iint_D f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} d x d y .
$$

以下是第一类曲面积分的最基本性质。
（1）非负性质．若 $f \geqslant 0$ ，且 $\iint_S f d S$ 存在，则 $\iint_S f d S \geqslant 0$ ．
（2）关于被积函数的线性性质．设 $\iint_S f d S$ 和 $\iint_S g d S$ 存在，则对任意实数 $\alpha, \beta$ ，成立
$$
\iint_S(\alpha f+\beta g) d S=\alpha \iint_S f d S+\beta \iint_S g d S
$$

（3）关于曲面的可加性质．若 $S=S_1 \cup S_2$ ，且 $S_1$ 和 $S_2$ 除边界外不相交，则在 $\iint_{S_1} f d S$ 和 $\iint_{S_2} f d S$ 存在时，就有

$$
\iint_S f d S=\iint_{S_1} f d S+\iint_{S_2} f d S
$$

例题 0.4 求 $I=\iint_S \sqrt{x^2+y^2} d S$ ，其中 $S$ 是以原点为中心，$R$ 为半径的球面．
解 1 利用对称性，记 $S_{+}$为上半球面 $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$ ，则有

$$
I=2 \iint_{S_{+}} \sqrt{x^2+y^2} d S
$$

下面只要计算面积元
$$
d S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}} d x d y
$$

然后就有

$$
I=2 R \quad \iint_{x^2+y^2 \leqslant R^2} \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}} d x d y
$$

可以采用极坐标来计算上述二重积分．这样就有

$$
I=2 R \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^R \frac{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}} d r=4 \pi R \int_0^R \frac{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}} d r
$$

用三角代换 $r=R \sin \varphi$ ，就有

$$
I=4 \pi R^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 \varphi d \varphi=\pi R^3
$$

解 2 用球面坐标来表示曲面 $S$ ，即

$$
x=R \sin \varphi \cos \theta, y=R \sin \varphi \sin \theta, z=R \cos \varphi
$$

则已知面积元为 $d S=R^2 \sin \varphi d \varphi d \theta$（见 p .128 ），因此就有

$$
I=\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^\pi R^3 \sin ^2 \varphi d \varphi=4 \pi R^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 \varphi d \varphi=\pi R^3 .
$$

例题 0.5 求均匀球面 $S$（不妨设面密度 $\rho=1$ ）对一单位质点的引力 $F$ ．
解 这个问题实际上已经在第二十一章 p .140 的例 6 中解决．以下简要地复述一下．
首先取合适的坐标．以球心为原点，将单位质点放在 $z$ 轴上的 $(0,0, c)$ 处，设 $c \geqslant 0$ ．从对称性知 $F =(0,0, F)$ ，其中

$$
F=G \iint_S \frac{z-c}{r^3} d S
$$

其中 $r=\sqrt{x^2+y^2+(z-c)^2}$ ．
用球面坐标 $x=R \sin \varphi \cos \theta, y=R \sin \varphi \sin \theta, z=R \cos \varphi$ ，即可与上一个例子一样有

$$
\begin{aligned}
F & =G \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^\pi \frac{R \cos \varphi-c}{\left(R^2+c^2-2 R c \cos \varphi\right)^{3 / 2}} \cdot R^2 \sin \varphi d \varphi \\
& =2 \pi G R^2 \int_0^\pi \frac{(R \cos \varphi-c) \sin \varphi}{\left(R^2+c^2-2 R c \cos \varphi\right)^{3 / 2}} d \varphi
\end{aligned}
$$

以下计算见前面的引理．

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