最后更新: 2025-10-26 07:25 查看: 75 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

有向曲面与第二类曲面积分的物理意义

## 有向曲面

### 曲面的侧
为了给曲面确定方向，先要阐明曲面的侧的概念．设连通曲面 $S$ 上到处都有连续变动的切平面（或法线），$M$ 为曲面 $S$ 上的一点，曲面在 $M$ 处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向就是负方向．设 $M_0$ 为 $S$ 上任一点，$L$ 为 $S$ 上任一经过点 $M_0$ ，且不超出 $S$ 边界的闭曲线．又设 $M$为动点，它在 $M_0$ 处与 $M_0$ 有相同的法线方向，且有如下特性：当 $M$ 从 $M_0$ 出发沿 $L$ 连续移动，这时作为曲面上的点 $M$ ，它的法线方向也连续地变动．最后当 $M$ 沿 $L$ 回到 $M_0$时，若这时 $M$ 的法线方向仍与 $M_0$ 的法线方向相一致，则说这曲面 $S$ 是**双侧曲面** ；若与 $M_0$ 的法线方向相反，则说 $S$ 是**单侧曲面**．

>  如果放一只蚂蚁在一张白纸上，无论它怎样爬，只要它不越过白纸的边界，当它再爬回到原来的位置时，还是在纸的上方，不会到下面去．这就像在白纸上的一点处选择一个指向上方的单位法向量，然后沿任何一条不越过边界的闭曲线连续地移动它，使它与所过之点处的一个单位法向量相合，并保持这种相合的连续性，那么当它又回到原来的位置时，它还是原来的那个单位法向量，而不会变成指向白纸下方的那个单位法向量．具有这种性质的曲面叫做**双侧曲面**,这样一来，在双侧曲面 $\Sigma$ 上，如果选定了一点 $P$ 和曲面 $\Sigma$ 在该点的一个法向量，通过从这点连续地移动法向量就可以惟一地确定 $\Sigma$ 上其他点的法向量的方向。于是曲面 $\Sigma$ 就由法向量的方向被分为两侧（例如，球面有内侧和外侧）．选好一侧的曲面称为**定向曲面**．

### 曲面的法向量
我们在 [切平面与法线方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395) 说明了一个重要结论：**曲面的3个偏导数组成一个向量，这个向量就是曲面的法向量**。

设曲面 $S$ 由方程$z=f(x, y) ...①$  给出，对① 变形为 $f(x,y,z)=z-f(x,y)$ 或 $f(x,y,z)=f(x,y)-z$ 然后求偏导分别得到

$$
\left(-f_x,-f_y, 1\right) \text {及 } \left(f_x, f_y,-1\right) 
$$

这里前一个法向量的第三个坐标大于 $0$ ，他以$z$轴的正向成锐角，因而该法向量指向上方。而后一个法向量的第三个分量小于零，因而它的指向与 $z$ 轴的正向成钝角，故该法向量指向下方。

> **当我们在其上每一点 $P(x, y, z)$ 处取 $n$ $=\left(-f_x,-f_y, 1 \right)$ 时，我们称选定了曲面的上侧；而当在每点 $P(x, y, z) \in S$ 取 $n =\left(f_x, f_y,-1\right)$时，我们称选定了曲面的下侧．**

参见图

![图片](/uploads/2025-10/4e400c.jpg){width=400px}
 
 
### 面积元向量
设 $S: r = r (u, v),(u, v) \in D$ 是光滑或分片光滑曲面，$\pm r _u \times r _v$ 是 $S$ 的法向量，称

$$
d S = \pm\left( r _u \times r _v\right) d u d v
$$

为面积元向量． 具体推导请参考 [曲面的法向量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395)

从定义可见， $d S$ 是曲面的法向量，模长等于上一节中定义的面积元 $d S$ ，即有 $| d S |= d S$ ，其符号根据今后的需要而定．也可以写出

$$
d S = n d S,
$$

其中 $n$ 是指定的单位法向量．
对于由 $z=z(x, y),(x, y) \in D$ 给定的曲面，若 $z(x, y)$ 分片连续可微，则

$$
d S = \pm\left(-z_x,-z_y, 1\right) d x d y
$$

分别表示向上和向下的两个面积元向量．

## 曲面侧的计算

设双侧曲面 $\Sigma$ 的方程为

$$
x=x(u, v), \quad y=y(u, v), \quad z=z(u, v), \quad(u, v) \in D .
$$

这里 $D$ 为 $u v$ 平面上具有分段光滑边界的区域。进一步假设 $x, y, z$ 对 $u$ 和 $v$ 有连续偏导数，且相应的 Jacobi 矩阵

$$
\boldsymbol{J}=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v}
\end{array}\right)
$$

总是满秩的．这时曲面 $\Sigma$ 是光滑的．
前面已经知道，曲面的法向量可以表示为

$$
\pm \boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v= \pm\left(\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right),
$$

＂$\pm$＂表示曲面上每个点 $(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ 都有方向相反的两个法向量．于是在这点的单位法向量及方向余弦为

$$
\boldsymbol{n}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=\frac{1}{ \pm \sqrt{E G-F^2}}\left(\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right),
$$

这里 $E G-F^2=\left[\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}\right]^2+\left[\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}\right]^2+\left[\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right]^2$ ．
在根号前取定一个符号后，曲面对每一个点 $(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ 都确定了一个单位法向量。而又由假设，方向余弦是连续的，因此所确定的单位法向量是连续变动的，曲面的双侧性就保证了法向量不会指向另一侧去。这就是说，在根号前取定一个符号后，也就确定了曲面的一侧。

例如，光滑曲面 $\Sigma$ 的方程为
$$
z=z(x, y), \quad(x, y) \in D,
$$

其中 $D$ 为平面区域。那么

$$
\boldsymbol{n}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=\frac{1}{ \pm \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\left(-z_x,-z_y, 1\right) .
$$

如果取正号，则 $\cos \gamma>0$ ，这时法向量与 $z$ 轴成锐角，意味着取定了曲面的上侧，而取负号则意味着取定了曲面的下侧。

## 物理背景
与前面一样先从一个物理问题开始引入第二类曲面积分．这就是**计算不可压缩流体通过曲面的流量**。
设想有不可压缩流体流过某个曲面 $S$ ．考虑其上的面积元向量 $d S$ ．若流体在流过曲面时的速度向量 $v$ 与 $d S$ 一致，

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【高等数学】第二类曲面积分（对坐标轴的曲面积分）【高等数学】曲面的侧与第二类曲面积分概述

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