最后更新: 2025-02-01 12:35 查看: 14 次反馈刷题

第二类曲面积分的物理意义

$\S 24.2$ 第二类曲面积分

一．面积元向量
设 $S: r = r (u, v),(u, v) \in D$ 是光滑或分片光滑曲面，$\pm r _u \times r _v$ 是 $S$ 的法向量，称

$$
d S = \pm\left( r _u \times r _v\right) d u d v
$$

为面积元向量．从定义可见， $d S$ 是曲面的法向量，模长等于上一节中定义的面积元 $d S$ ，即有 $| d S |= d S$ ，其符号根据今后的需要而定．也可以写出

$$
d S = n d S,
$$

其中 $n$ 是指定的单位法向量．
对于由 $z=z(x, y),(x, y) \in D$ 给定的曲面，若 $z(x, y)$ 分片连续可微，则

$$
d S = \pm\left(-z_x,-z_y, 1\right) d x d y
$$

分别表示向上和向下的两个面积元向量．

二．物理背景
与前面一样先从一个物理问题开始引入第二类曲面积分．这就是计算不可压缩流体通过曲面的流量。
设想有不可压缩流体流过某个曲面 $S$ ．考虑其上的面积元向量 $d S$ ．若流体在流过曲面时的速度向量 $v$ 与 $d S$ 一致，则单位时间中通过该面积元的流量近似地为 $|v| d S$ ，即相当于以 $d S$ 为底以

![图片](/uploads/2025-02/3020bd.jpg)

对于 $v$ 和 $d S$ 不一定同向的一般情况，则需要取这两个向量的内积，而单位时间通过该面积元的流量为 $v \cdot d S$（参见图 3）。

于是通过曲面 $S$ 的总流量就可以写成下列积分：

$$
Q=\iint_S v \cdot d S
$$

其中 $v = v (x, y, z)$ 是流体在点 $(x, y, z) \in S$ 处的流速， $d S$ 是在该点的面积元向量．这样的积分就称为第二类曲面积分．

由于在每个点 $(x, y, z)$ 处， $d S$ 有两个方向，因此在定义上述积分时首先要确定每一个面积元向量的取向．如果将所有 $d S$ 取相反方向，则积分值也反号．

双侧曲面和单侧曲面
恰如平面上的 Jordan 曲线定理那样，三维空间 $R ^3$ 的封闭曲面，只要是单位球面的连续双射下的映像，就将全空间分成两个区域，而该封闭曲面就是它们的公共边界．这样就确定了内部和外部区域，同时也就确定了曲面的内侧和外侧。这样就可以对每个面积元向量 $d S$ 按照该向量是指向内部还是外部来确定取什么方向。

这表明在计算通过封闭曲面的流量时有两种选择，其中之一是规定流出为正，即对应于取 $d S$ 为指向外部的法向量。另一种选择是规定流入为正，这时的面积元向量为指向内部的法向量．

下面对于球面的侧的概念作一个正式的讨论．
曲线有两个取向，相应地曲面有两侧，但事情并不是如此简单。
对于光滑曲面上的点，如前所说有两个法向量，它们分别对应于该点邻近的曲面的两侧。然而这只是局部性的概念。

在平时常见的双侧曲面之外还存在单侧曲面（甚至还有单侧的封闭曲面），其中最著名的就是 Möbius 带 ${ }^{(1)}$ 。

容易用狭长的纸条来制作 Möbius带的模型。如图4上方所示，只要将纸条 $A B A^{\prime} B^{\prime}$ 绕虚线标出的中线旋转 $180^{\circ}$ ，然后将左右两边 $A B$ 和 $A^{\prime} B^{\prime}$ 按照 $A$ 对 $A^{\prime}, B$ 对 $B^{\prime}$ 的要求粘合在一起，就得到该图下方的曲面。

在图4的曲面上的某一点 $(x, y, z)$处画出了面积元向量 $d S$ 在两个相反方向的向量．

![图片](/uploads/2025-02/95d9c6.jpg)
 
 取两个 $d S$ 中的一个，例如指向上方的一个向量，然后将点 $(x, y, z)$ 沿曲面的中线（用虚线标出）移动一周回到原来的出发点，就可以发现该向量已经变为指向下方。这表明，就每一点的局部而言，两个相反方向的 $d S$ 表明有两侧，但从全曲面来说，则不存在可以区分的两侧。

用通俗的话来说，普通的双侧曲面的两侧可以涂上两种不同的颜色，只有当越过曲面的边缘（如果该曲面有边的话）时才会从一种颜色变为另一种颜色．但对于 Möbius 带这样的单侧曲面来说，这是不可能的．如果要在某点 $(x, y, z)$ 的局部范围的两侧开始涂上不同的颜色，则在企图将整个曲面都涂上颜色时，一定会在某处相遇，而无法再做下去。（这里不需要像双侧曲面那样越过曲面的边缘．）

下面给出正式的定义。
定义 0.2 设 $S$ 为光滑曲面，任取点 $P(x, y, z) \in S$ ，并选定在该点的一个法向量 $n$ ．当点 $P$ 经过在曲面上的任何一条封闭曲线回到原来的位置时，相应的法向量 $n$ 仍然与原来选定的指向一致，则称 $S$ 为双侧曲面．

由此可见，对于单侧曲面来说，无法计算流体通过曲面的流量．
本章以下只使用双侧曲面．这时在计算流量或类似的问题中，必定说明取哪一侧为正侧，也就是规定在两个可能的 $d S$ 中取哪一个，然后才可以计算。

特别是对于封闭的（双侧）曲面，一般都以外侧为正侧．

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