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第二类曲面积分的定义

四．第二类曲面积分的定义
设 $S$ 是由 $r = r (u, v),(u, v) \in D$ 表示的光滑或分段光滑曲面，又给定在 $S$ 上定义的向量值函数

$$
f (x, y, z)=P(x, y, z) i +Q(x, y, z) j +R(x, y, z) k
$$

此外又指定曲面 $S$ 的一侧，这就是规定面积元向量 $d S$ ，或者说在两个法向量方向中规定取哪一个．这时定义 $f$ 在曲面 $S$ 的指定一侧的第二类曲面积分为

$$
\begin{aligned}
\iint_S f \cdot d S & = \pm \iint_{D_{u v}} f ( r (u, v)) \cdot\left( r _u \times r _v\right) d u d v \\
& = \pm \iint_{D_{u v}}\left|\begin{array}{ccc}
P & Q & R \\
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & z_v
\end{array}\right| d u d v \\
& = \pm \iint_{D_{u v}}\left[P \frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}+Q \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}+R \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right] d u d v
\end{aligned}
$$

如前面所述，面积元向量 $d S$ 与面积元 $d S$ 之间有关系 $d S = n d S$ ，因此又有

$$
\iint_S f \cdot d S =\iint_S f \cdot n d S
$$
显然以上定义已经表明可以用二重积分或者第一类曲面积分来计算第二类曲面积分。（关于三个 Jacobi 行列式可参看教科书 p .71 和 p .125 ．）

对于以 $z=z(x, y),(x, y) \in D_{x y}$ 给定的曲面 $S$ ，设 $z(x, y)$ 连续可微，这时有 $d S = \pm\left(-z_x,-z_y, 1\right) d x d y$ ，其中的正负号分别对应了曲面的上侧和下侧，则就有

$$
\iint_D f \cdot d S = \pm \iint_D\left(-P z_x-Q z_y+R\right) d x d y
$$

又从定义可见，若仅仅改变曲面的侧，其他不变，则这时的第二类曲面积分的值反号。

对于封闭曲面 $S$ ，则有

$$
\oint_{S_{\text {S外狍 }}} f \cdot d S =-\oint_{S_{\text {内刚 }}} f \cdot d S .
$$

平时规定若不加说明，则总是取封闭曲面的外侧，即以外侧为正侧．
例题 0.1 设 $S: x^2+y^2+z^2=R^2, f =(x, y, z)$ ，求
$$
I=\oint_{S_R} f \cdot d S
$$

其中 $S$ 取外侧．
解 这时 $d S =\frac{ r }{r} d S, r =(x, y, z)$ ，又有 $f = r =(x, y, z)$ ，这样就可以将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分：

$$
\begin{aligned}
I & =\iint_S r \cdot \frac{ r }{r} d S=\iint_S r d S \\
& =R \iint_S d S=R|S|=4 \pi R^3 .
\end{aligned}
$$

例题 0.2 设 $S$ 是曲面 $z=x^2+y^2, x^2+y^2 \leqslant 1, f =\left(0,0, x^2\right)$ ，求

$$
I=\iint_S f \cdot d S
$$

其中 $S$ 取上侧．
解 先计算指向上方的面积元向量

$$
d S =\left(-z_x,-z_y, 1\right) d x d y=(-2 x,-2 y, 1) d x d y
$$

于是就将第二类曲面积分转化为二重积分：

$$
I=\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1}\left(0,0, x^2\right) \cdot(-2 x,-2 y, 1) d x d y=\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1} x^2 d x d y,
$$

用极坐标代换 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，就有

$$
I=\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^1 r^3 \cos ^2 \theta d r=\frac{\pi}{4}
$$

五．第二类曲面积分的其他表示方式
以上的第二类曲面积分可以称为是向量表示形式，此外还有其他形式：
（1）方向余弦表示形式．用 $n$ 表示与面积元向量 $d S$ 同向的单位法向量，即

$$
n =\frac{d S }{d S}=\frac{ r _u \times r _v}{\left| r _u \times r _v\right|}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)
$$

则就有

$$
\begin{aligned}
\iint_S f \cdot d S & =\iint_S f \cdot n d S \\
& =\iint_S(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) d S
\end{aligned}
$$

这样就将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分的非向量形式．这本身也提供了一种计算方法，在例 1 中就是如此。

从前面的第一类曲面积分知道它与曲面的取侧无关。在上式右边是第一类曲面积分．然而在其中出现了 $n$ ，因此如取法方向改取为 $- n$ ，则积分反号．
（2）也经常将面积元向量约定记为

$$
d S =(d y d z, d z d x, d x d y)
$$

然后将第二类曲面积分写为

$$
\iint_S f \cdot d S =\iint_S P d y d z+Q d z d x+R d x d y
$$

这里要注意，右边的 $d y d x$ 等并不是二重积分的积分元，它们只是向量 $d S$ 的三个分量。

例题 0.3 将第二类曲面积分 $I=\iint_S R(x, y) d x d y$ 化为二重积分，其中 $S$ 是 $x^2+y^2 \leqslant 1, z=0$ ，取下侧．
解 按照定义，有 $f =(0,0, R), d S =( d y d z, d z d x, d x d y)$ ，就可以将它写为向量形式：

$$
I=\iint_S(0,0, R) \cdot d S
$$

由给定的曲面是在 $z=0$ 上，并取下侧，就有 $d S =(0,0,-1) d x d y$ ，这里右边的 $d x d y$ 是二重积分的积分元．这样就将 $I$ 转化为二重积分：

$$
I=\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1}(0,0, R) \cdot(0,0,-1) d x d y=-\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1} R d x d y .
$$

下面讨论比例 3 更为一般的情况，即是如何将更为一般的积分

$$
I=\iint_S R(x, y, z) d x d y
$$

转化为 $x y$ 平面上的二重积分，其中 $S$ 为曲面 $z=z(x, y),(x, y) \in D$ ．（在例 3 中曲面方程即 $z=0, D=\left\{x^2+y^2 \leqslant 1\right.$ ，且 $R$ 与 $z$ 无关．）

如前所述，$I=\iint_S R(x, y, z) \cos \gamma d S$ ，其中 $d S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2} d x d y, \cos \gamma$ 是单位法向量 $n$ 与 $z$ 轴正向夹角的余弦．

若曲面取上侧，则法向量为 $\left(-z_x,-z_y, 1\right)$ ，因此 $\cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}$ ．反之，
若曲面取下侧，则上述法向量和余弦都应乘以 -1 ．这样就得到以下结论：
（i）当曲面为 $S: z=z(x, y),(x, y) \in D_{x y}$ 时，

$$
I=\iint_S R(x, y, z) d x d y= \pm \iint_{D_{x y}} R(x, y, z(x, y)) d x d y
$$

其中当 $S$ 取上侧时右边取＂＋＂号，当 $S$ 取下侧时右边取＂一＂号．这样就将第二类曲面积分转化为二重积分。

用相同的推理可以得到完全对称的结果：
（ii）当曲面为 $S: x=x(y, z),(y, z) \in D_{y z}$ 时，

$$
I=\iint_S P(x, y, z) d y d z= \pm \iint_{D_{y z}} P(x(y, z), y, z) d y d z .
$$

其中当 $S$ 取前侧时右边取＂＋＂号，当 $S$ 取后侧时右边取＂－＂号，其中前侧指余弦
$\cos \alpha>0$ ，后侧指 $\cos \alpha<0$ ．
（iii）当曲面为 $S: y=y(x, z),(x, z) \in D_{x z}$ 时，

$$
I=\iint_S Q(x, y, z) d z d x= \pm \iint_{D_{x z}} Q(x, y(x, z), z) d x d z
$$

其中当 $S$ 取右侧时右边取＂＋＂号，当 $S$ 取左侧时右边取＂－＂号，其中右侧指余弦 $\cos \beta>0$ ，左侧指 $\cos \beta<0$ 。

于是我们看到，除了一般的双参数 $u, v$ 表示的曲面情况下将第二类曲面积分转化为二重积分的公式之外，还有以直角坐标变量为双参数情况的上述转化方法．它比较简单，但也有缺点．这就是对于 $P, Q, R$ 要分别处理，而且具体问题中的曲面往往可能要分片后才能使用上述（i）－（iii）的规则。

注 与第二类曲线积分比较，上述（i）－（iii）相当于对曲线 $C: y=y(x)$ ， $a \leqslant x \leqslant b$ 来计算积分 $\int_C P(x, y) d x$ ．这时就有

$$
\int_C P(x, y) d x= \pm \int_a^b P(x, y(x)) d x
$$

其中若 $C$ 的取向与从 $a$ 到 $b$ 的方向一致，则右边取正号，否则取负号．同样对于在 $C: x=x(y)$ 上的积分 $\int_C Q(x, y) d y$ 也有类似的规则．

六．其他例子
例题 0.4 求 $I=\iint_S x^3 d y d z$ ，其中 $S$ 是上半椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1, z \geqslant 0$ ，取上侧．

解 1 从曲面 $S$ 来看，用 $x, y$ 为自变量是自然的．即有

$$
z=c \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}
$$

![图片](/uploads/2025-02/6cbf2e.jpg)

其定义域为 $D_{x y}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leqslant 1\right.\right\}$ ．
为了将 $I$ 转化为在 $D_{x y}$ 上的二重积分，根据约定有
$$
\iint_S P d y d z= \pm \iint_S x^3 \cos \alpha d S= \pm \iint_{D_{x y}} P \frac{\partial(y, z)}{\partial(x, y)} d x d y
$$

对于 $x=x, y=y, z=z(x, y)$ ，则如第二类曲面积分定义后所述，在曲面取上侧时在积分号前取正号，且有 $\frac{\partial(y, z)}{\partial(x, y)}=-z_x$ ，也就是上侧法向量 $\left(-z_x,-z_y, 1\right)$ 的第一个分量。

从椭球面方程直接计算出 $z_x=-\frac{c^2 x}{a^2 z}$ ，因此得到所要的二重积分：

$$
I=\iint_{\substack{x^2 \\ a^2}} \frac{y^2}{b^2} \leqslant 1 .
$$

然后可用广义极坐标代换计算如下：

$$
\begin{aligned}
I & =a b \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^1 r \cdot \frac{c^2}{a^2} \cdot \frac{a^4 r^4 \cos ^4 \theta}{c \sqrt{1-r^2}} d r \\
& =a^3 b c \int_0^{2 \pi} \cos ^4 \theta d \theta \int_0^1 \frac{r^5}{\sqrt{1-r^2}} d r \\
& =a^3 b c \cdot 4 \cdot\left(\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2}\right) \cdot\left(\frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 3}\right)=\frac{2}{5} \pi a^3 b c^2
\end{aligned}
$$

解 2 对于上半椭球面用广义球面坐标来描述，即有

$$
x=a \sin \varphi \cos \theta, y=b \sin \varphi \sin \theta, z=c \cos \varphi
$$

其中参数变化范围是 $0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi$ ，则就有
$$
I=\iint_{\substack{0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2} \\ 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi}} x^3 \cdot \frac{\partial(y, z)}{\partial(\varphi, \theta)} d \varphi d \theta
$$

其中的 Jacobi 行列式是

$$
\frac{\partial(y, z)}{\partial(\varphi, \theta)}=\left|\begin{array}{cc}
b \cos \varphi \sin \theta & b \sin \varphi \cos \theta \\
-c \sin \varphi & 0
\end{array}\right|=b c \sin ^2 \varphi \cos \theta
$$

作为法向量的第一个分量，它 $x$ 同号，因此与曲面 $S$ 的上侧一致．（否则就要添上负号．）

这样就可以计算如下

$$
\begin{aligned}
I & =\iint_{\substack{0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2} \\
0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi}} a^3 \sin ^3 \varphi \cos ^3 \theta \cdot b c \sin ^2 \varphi \cos \theta d \varphi d \theta \\
& =a^3 b c \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^5 \varphi d \varphi \int_0^{2 \pi} \cos ^4 \theta d \theta \\
& =a^3 b c\left(\frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 3}\right) \cdot 4 \cdot\left(\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2}\right)=\frac{2}{5} \pi a^3 b c^2
\end{aligned}
$$

解 3 可以直接转化为 $y, z$ 为自变量的二重积分．但这时需要将曲面分为两片：
$$
x= \pm a \sqrt{1-\frac{y 2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}}
$$

即 $x \geqslant 0$ 和 $x \leqslant 0$ 两片，记为 $S_1$ 和 $S_2$ ，它们在 $y z$ 平面上的投影相同，都是 $\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \leqslant 1, z \geqslant 0$ ，记为区域 $D$ 。

由于取曲面的上侧，因此法向量与 $x$ 轴正向的夹角分别为锐角和钝角，从而对于曲面的分解 $S=S_1 \cup S_2$ 来说，$S_1$ 取前侧，$S_2$ 取后侧，这样就可以应用前面的规则确定出转化为二重积分时在积分号前分别取正号和负号。又由于 $S_1$ 和 $S_2$ 在 $y z$平面上的积分区域相同，最后可以合成一个积分：

$$
\begin{aligned}
I & =\iint_{S_1} x^3 d y d z+\iint_{S_2} x^3 d y d z \\
& =\iint_D a^3\left(1-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}\right)^{\frac{3}{2}} d y d z-\iint_D\left(-a^3\right)\left(1-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}\right)^{\frac{3}{2}} d y d z \\
& =2 \iint_D a^3\left(1-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}\right)^{\frac{3}{2}} d y d z
\end{aligned}
$$

为计算最后的二重积分，用广义极坐标

$$
y=b r \cos \theta, z=c r \sin \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant \pi, 0 \leqslant r \leqslant 1
$$

这样就得到
$$
\begin{aligned}
I & =2 b c \int_0^\pi d \theta \int_0^1 a^3 r\left(1-r^2\right)^{\frac{3}{2}} d r \\
& =2 a^3 b c \pi\left(-\left.\frac{1}{5}\left(1-r^2\right)^{\frac{5}{2}}\right|_0 ^1\right)=\frac{2}{5} a^3 b c \pi .
\end{aligned}
$$

例题 0.5 电学中的 Gauss 定律，即由点电荷 $q$ 在真空中产生静电场 $E$ ，在 $E$通过以电电荷为中心的任意一个球面 $S$ 的通量为

$$
\iint_S E \cdot d S =4 \pi q,
$$

其中取球面 $S$ 的外侧．
解 根据 Coulomb 公式，有 $E (x, y, z)=\frac{q}{r^2} r _0$ ，其中 $r _0$ 是从原点到点 $(x, y, z)$方向的单位向量，$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ．

设 $S$ 为以原点为中心，以 $a>0$ 为半径的球面，则在球面外侧的单位法向量就是该点处的 $r _0$ ．因此 $E$ 与 $d S$ 共线，在 $q>0$ 时同向，在 $q<0$ 时反向．

这样就有

$$
\iint_S E \cdot d S =\iint_S \frac{q}{a^2} d S=\frac{q}{a^2} \cdot 4 \pi a^2=4 \pi q .
$$

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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