最后更新: 2025-10-26 07:31 查看: 109 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

第二类曲面积分计算举例

## 第二类曲面积分计算举例
### 方向的选取
设 $S$ 是由 $r = r (u, v),(u, v) \in D$ 表示的光滑或分段光滑曲面，又给定在 $S$ 上定义的向量值函数

$$
f (x, y, z)=P(x, y, z) i +Q(x, y, z) j +R(x, y, z) k
$$

此外又指定曲面 $S$ 的一侧，这就是规定面积元向量 $d S$ ，或者说在两个法向量方向中规定取哪一个．这时定义 $f$ 在曲面 $S$ 的指定一侧的第二类曲面积分为

$$
\begin{aligned}
\iint_S f \cdot d S & = \pm \iint_{D_{u v}} f ( r (u, v)) \cdot\left( r _u \times r _v\right) d u d v \\
& = \pm \iint_{D_{u v}}\left|\begin{array}{ccc}
P & Q & R \\
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & z_v
\end{array}\right| d u d v \\
& = \pm \iint_{D_{u v}}\left[P \frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}+Q \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}+R \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right] d u d v
\end{aligned}
$$

如前面所述，面积元向量 $d S$ 与面积元 $d S$ 之间有关系 $d S = n d S$ ，因此又有

$$
\iint_S f \cdot d S =\iint_S f \cdot n d S
$$

对于以 $z=z(x, y),(x, y) \in D_{x y}$ 给定的曲面 $S$ ，设 $z(x, y)$ 连续可微，这时有 $d S = \pm\left(-z_x,-z_y, 1\right) d x d y$ ，其中的正负号分别对应了曲面的上侧和下侧，则就有

$$
\iint_D f \cdot d S = \pm \iint_D\left(-P z_x-Q z_y+R\right) d x d y
$$

又从定义可见，若仅仅改变曲面的侧，其他不变，则这时的第二类曲面积分的值反号。

对于封闭曲面 $S$ ，则有

$$
\oint_{S_{\text {S外狍 }}} f \cdot d S =-\oint_{S_{\text {内刚 }}} f \cdot d S .
$$

平时规定若不加说明，则总是取封闭曲面的外侧，即以外侧为正侧． 更详细讨论请参考 [曲面的侧](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=424)

## 例题

`例`设 $S: x^2+y^2+z^2=R^2, f =(x, y, z)$ ，求
$$
I=\oint_{S_R} f \cdot d S
$$

其中 $S$ 取外侧．
解 这时 $d S =\frac{ r }{r} d S, r =(x, y, z)$ ，又有 $f = r =(x, y, z)$ ，这样就可以将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分：

$$
\begin{aligned}
I & =\iint_S r \cdot \frac{ r }{r} d S=\iint_S r d S \\
& =R \iint_S d S=R|S|=4 \pi R^3 .
\end{aligned}
$$

`例` 设 $S$ 是曲面 $z=x^2+y^2, x^2+y^2 \leqslant 1, f =\left(0,0, x^2\right)$ ，求

$$
I=\iint_S f \cdot d S
$$

其中 $S$ 取上侧．
解 先计算指向上方的面积元向量

$$
d S =\left(-z_x,-z_y, 1\right) d x d y=(-2 x,-2 y, 1) d x d y
$$

于是就将第二类曲面积分转化为二重积分：

$$
I=\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1}\left(0,0, x^2\right) \cdot(-2 x,-2 y, 1) d x d y=\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1} x^2 d x d y,
$$

用极坐标代换 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，就有

$$
I=\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^1 r^3 \cos ^2 \theta d r=\frac{\pi}{4}
$$

### 第二类曲面积分的其他表示方式
以上的第二类曲面积分可以称为是向量表示形式，此外还有其他形式：
（1）方向余弦表示形式．用 $n$ 表示与面积元向量 $d S$ 同向的单位法向量，即

$$
n =\

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【高等数学】曲面的侧与第二类曲面积分概述

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