最后更新: 2025-10-26 19:28 查看: 148 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

Gauss 高斯公式背景与定义

## 高斯公式的物理背景
想象水流以速度 $v (x, y, z)=(P, Q, R)$ 流过一个曲面,因为流过曲面的每一点速度都是不同的，而且曲面在每一点的弯曲程度也是不同的，因此为了计算流量，可以在曲面上取极小的一个曲面进行研究。
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如下图，取一个曲面的一个切平面，要研究通过的流量，只要把每一点的流量进行累加即可。
 ![图片](/uploads/2025-01/e98751.svg){WIDTH=200PX}

高斯公式就是描述了通过流量的这种关系。
### 引申
想象有一个向量场，在这个场内有一个封闭曲面 $S, V$ 是 $S$ 所围的三维形体，即有 $S=\partial V$ ．
问题是如何计算从 $V$ 的表面 $S$ 流出的总流量．就 $S$ 上的各个点而言，可能是流入或者流出，我们要计算的总流量是它们的代数和。

这里约定从 $S$ 流出的量为正，这也就是取面积元向量 $d S$ 为曲面 $S$ 的外法向，即取 $S$ 的外侧．在前面已经从这个物理问题导出了第二类曲面积分，只是曲面不一定是封闭的。

现在从完全不同的角度来考虑问题．设想总流量大于 0 或小于 0 ，则从不可压缩流体来看，一定是在封闭曲面内部存在＂源＂或＂汇＂（英文中用 source 和 sink 来表示）。

根据质量守恒定律，从封闭曲面 $S$ 流出的量 $Q$ 应当等于 $V$ 内部的每一小部分流出的量的总和．

现在考虑 $V$ 内的一小块长方体

$$
[x, x+\Delta x] \times[y, y+\Delta y] \times[z, z+\Delta z] .
$$

由于取流出该长方体的外表面的量为正，因此在长方体最上面的一个面的面积元向量为 $(0,0,1) \Delta x \Delta y$ ，而该面上的速度近似于 $v (x, y, z+\Delta z)$ ，因此从该面流出的量近似为

$$
v (x, y, z+\Delta z) \cdot(0,0,1) \Delta x \Delta y=R(x, y, z+\Delta z) \Delta x \Delta y
$$

同样可知从长方体下面的面积元向量是 $(0,0,-1) \Delta x \Delta y$ ，流出的量近似为 $-R(x, y, z) \Delta x \Delta y$ ．于是经过这两个面流出的总量就是

$$
[R(x, y, z+\Delta z)-R(x, y, z)] \Delta x \Delta y \approx \frac{\partial R}{\partial z} \Delta x \Delta y \Delta z
$$

对于长方体的其他 4 的面流出的量可作类似讨论．将它们合并就得到从长方体流出的总量近似为

$$
\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \Delta x \Delta y \Delta z
$$

### 散度
由此给出一个新的概念：即向量场 $v$ 的**散度**

$$
\operatorname{div} v =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
$$

也经常用 nabla 算子写为 $\nabla \cdot v$ 。
考虑 $V$ 内的每一点处的散度，这就得到一个数量场。（前面曾经从数量场生成一个向量场——梯度场，其中包括从势量场生成力场等。现在是从向量场生成一个数量场——散度场．）于是 $V$ 的内部生成的总流量为

$$
\iiint_V \operatorname{div} v d x d y d z,
$$

同时根据前述的守恒律，就有

$$
\oint_S v \cdot d S =\iiint_V \operatorname{div} v d x d y d z
$$

这就是 Gauss 公式。

关于高斯通俗的通俗解释，请参考高等数学里的 [高斯公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=433)

## 高斯公式的证明
**定理**   设空间区域 $V$ 由分片光滑的双侧封闭曲面 $S$ 围成．若函数 $P, Q, R$ 在 $V$上连续，且有一阶连续偏导数，则

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& \iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z = \oint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y ,
\end{aligned}...(1)
}
$$

其中 $

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【高等数学】高斯公式 Gauss公式

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