最后更新: 2025-10-26 19:28 查看: 212 次纠错评论(0) 课件开VIP

Gauss 高斯公式背景与定义

## 高斯公式的物理背景
想象水流以速度 $v (x, y, z)=(P, Q, R)$ 流过一个曲面,因为流过曲面的每一点速度都是不同的，而且曲面在每一点的弯曲程度也是不同的，因此为了计算流量，可以在曲面上取极小的一个曲面进行研究。
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如下图，取一个曲面的一个切平面，要研究通过的流量，只要把每一点的流量进行累加即可。
 ![图片](/uploads/2025-01/e98751.svg){WIDTH=200PX}

高斯公式就是描述了通过流量的这种关系。
### 引申
想象有一个向量场，在这个场内有一个封闭曲面 $S, V$ 是 $S$ 所围的三维形体，即有 $S=\partial V$ ．
问题是如何计算从 $V$ 的表面 $S$ 流出的总流量．就 $S$ 上的各个点而言，可能是流入或者流出，我们要计算的总流量是它们的代数和。

这里约定从 $S$ 流出的量为正，这也就是取面积元向量 $d S$ 为曲面 $S$ 的外法向，即取 $S$ 的外侧．在前面已经从这个物理问题导出了第二类曲面积分，只是曲面不一定是封闭的。

现在从完全不同的角度来考虑问题．设想总流量大于 0 或小于 0 ，则从不可压缩流体来看，一定是在封闭曲面内部存在＂源＂或＂汇＂（英文中用 source 和 sink 来表示）。

根据质量守恒定律，从封闭曲面 $S$ 流出的量 $Q$ 应当等于 $V$ 内部的每一小部分流出的量的总和．

现在考虑 $V$ 内的一小块长方体

$$
[x, x+\Delta x] \times[y, y+\Delta y] \times[z, z+\Delta z] .
$$

由于取流出该长方体的外表面的量为正，因此在长方体最上面的一个面的面积元向量为 $(0,0,1) \Delta x \Delta y$ ，而该面上的速度近似于 $v (x, y, z+\Delta z)$ ，因此从该面流出的量近似为

$$
v (x, y, z+\Delta z) \cdot(0,0,1) \Delta x \Delta y=R(x, y, z+\Delta z) \Delta x \Delta y
$$

同样可知从长方体下面的面积元向量是 $(0,0,-1) \Delta x \Delta y$ ，流出的量近似为 $-R(x, y, z) \Delta x \Delta y$ ．于是经过这两个面流出的总量就是

$$
[R(x, y, z+\Delta z)-R(x, y, z)] \Delta x \Delta y \approx \frac{\partial R}{\partial z} \Delta x \Delta y \Delta z
$$

对于长方体的其他 4 的面流出的量可作类似讨论．将它们合并就得到从长方体流出的总量近似为

$$
\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \Delta x \Delta y \Delta z
$$

### 散度
由此给出一个新的概念：即向量场 $v$ 的**散度**

$$
\operatorname{div} v =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
$$

也经常用 nabla 算子写为 $\nabla \cdot v$ 。
考虑 $V$ 内的每一点处的散度，这就得到一个数量场。（前面曾经从数量场生成一个向量场——梯度场，其中包括从势量场生成力场等。现在是从向量场生成一个数量场——散度场．）于是 $V$ 的内部生成的总流量为

$$
\iiint_V \operatorname{div} v d x d y d z,
$$

同时根据前述的守恒律，就有

$$
\oint_S v \cdot d S =\iiint_V \operatorname{div} v d x d y d z
$$

这就是 Gauss 公式。

关于高斯通俗的通俗解释，请参考高等数学里的 [高斯公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=433)

## 高斯公式的证明
**定理**   设空间区域 $V$ 由分片光滑的双侧封闭曲面 $S$ 围成．若函数 $P, Q, R$ 在 $V$上连续，且有一阶连续偏导数，则

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& \iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z = \oint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y ,
\end{aligned}...(1)
}
$$

其中 $S$ 取外侧．（1）式称为高斯公式．
证 下面只证

$$
\iiint_V \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oint_S R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$

读者可类似地证明

$$
\begin{aligned}
& \iiint_V \frac{\partial P}{\partial x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\
& \iiint_V \frac{\partial Q}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oint_S Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x .
\end{aligned}
$$

这些结果相加便得到了高斯公式（1）．

## 高斯公式的两种形式
### 向量模式
 高斯公式首先是向量形式，也就是场论中使用的形式为：

$$
\oint_{\partial V} a \cdot d S =\iiint_V \operatorname{div} a d x d y d z=\iiint_V \nabla \cdot a d x d y d z
$$

其中也经常将体积元素 $d x d y d z$ 记为 $d v$ 。

### 代数表达式形式

$$
\oint_{\partial V} P d y d z+Q d z d x+R d x d y=\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) d x d y d z
$$

【注1】应用高斯公式一定要注意三个条件：**封闭性**(封闭曲面)、**方向性**(封闭曲面的外侧)、封闭区域上的偏导**连续性**.

【注2】对于不满足高斯公式的对坐标的曲面积分，也可以通过构造条件，如添加辅助面封闭曲面，去掉偏导数不连续的点的方式使得积分满足条件来执行计算. 值得注意的是，在添加辅助面后，一定要记得用最终结果减去辅助面上的积分结果；同时要注意添加的辅助面的方向，在计算时要满足高斯公式的条件.

## 例题
**用高斯公式计算曲面积分的基本步骤**
使用高斯公式计算对坐标的曲面积分，或对面积的曲面积分的计算步骤：
**第一步**：明确被积表达式中的 $P(x, y, z), ~ Q(x, y, z), ~ R(x, y, z)$ 函数， $\mathrm{d} y \mathrm{~d} z$ 前面的是 $P(x, y, z)$ ， $\mathrm{d} z \mathrm{~d} x$ 前面的是 $Q(x, y, z), \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 前面的是 $R(x, y, z)$ ；如果有负号，记得带上负号；没有对应相应的坐标微元表达式，则对应的函数等于 0 ．

**第二步**：明确三个条件：封闭性，方向性和偏导连续性；如果不满足，通过添加辅助面构造条件，使计算的积分满足三个条件．

**第三步**：计算三个偏导数的和，即
$$
\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)
$$

并计算以它为被积函数，由封闭积分曲面（分片光滑的曲面构成的封闭曲面）所围立体区域上的三重积分．称 $\operatorname{div} \vec{v}$ 为向量场 $\vec{v}=(P, Q, R)$ 的散度．

**第四步**：如果积分正好满足高斯公式的条件，则三重积分即为所求结果；否则，需要考虑积分曲面的方向和计算添加的辅助面上的积分，并借助积分对积分曲面的可加性和积分曲面的方向对积分的计算的影响，计算得到最终需要的积分结果．

> **为什么很多人感觉高斯公式难用，最核心的，高斯公式的难点在于理解“曲面的侧”，只有深刻理解了曲面的方向，才能真正理解高斯公式，详见 [曲面的侧](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=424)**

`例` 求积分 $\iint_S x^3 d y d z, S$ 是上半椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1, z \geqslant 0$ ，取上侧．

![图片](/uploads/2025-10/870edd.jpg){width=300px}
 
解 ：为了用 Gauss 公式，对于取上侧的曲面 $S$ 添加一片曲面

$$
S_0=\left\{(x, y, z) \mid z=0, \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leqslant 1\right\}
$$

并取下侧。这样 $S \cup S_0$ 就围成了一个闭区域，即上半椭球体，记为 $V$ ．
对 $V$ 和其边界用 Gauss 公式，就有

$$
\iint_S x^3 d y d z+\iint_{S_0} x^3 d y d z=\iiint_V 3 x^2 d x d y d z,
$$

由于 $S_0$ 上所取的面积元向量为 $(0,0,-1)$ ，而 $\iint_S P d y d z=\iint_S P \cos \alpha d S$ ，因此在 $S_0$ 上的积分为 0 ，上述等式左边就是要求的 $I$ ．于是只要计算右边的三重积分．根据积分区域的特点，可以用广义球面坐标代换如下：

$$
\begin{aligned}
I & =\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} d \varphi \int_0^1 a b c \rho^2 \sin \varphi \cdot 3 a^2 \rho^2 \sin ^2 \varphi \cos ^2 \theta d \rho \\
& =3 a^3 b c \int_0^{2 \pi} \cos ^2 \theta d \theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^3 \varphi d \varphi \int_0^1 \rho^4 d \rho=3 a^3 b c \cdot \pi \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}=\frac{2}{5} \pi a^3 b c .
\end{aligned}
$$

`例`  计算

$$
\oint_S y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^2 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^2+x z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
$$

其中 $S$ 是边长为 $a$ 的正立方体表面并取外侧 
解 应用高斯公式，所求曲面积分等于

$$
\begin{aligned}
& \iiint_V\left[\frac{\partial}{\partial x}(y(x-z))+\frac{\partial}{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(y^2+x z\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
= & \iiint_V(y+x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_0^a \mathrm{~d} z \int_0^a \mathrm{~d} y \int_0^a(y+x) \mathrm{d} x \\
= & a \int_0^a\left(a y+\frac{1}{2} a^2\right) \mathrm{d} y=a^4 .
\end{aligned}
$$

`例`设某种流体的速度为 $\boldsymbol{v}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$ ，求单位时间内流体流过曲面 $\Sigma: y=x^2 +z^2(0 \leqslant y \leqslant h)$ 的流量，其中 $\Sigma$ 的方向取左侧（见图14．3．17）。

![图片](/uploads/2025-10/350dd8.jpg){width=300px}

解 流量的计算公式为

$$
\Phi=\iint_{\Sigma} v \cdot n \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$

由于 $\Sigma$ 不是封闭曲面，但添加一片曲面

$$
\sigma: y=h, \quad x^2+z^2 \leqslant h
$$

后，$\Sigma+\sigma$ 就是封闭曲面，这里 $\sigma$ 的方向取右侧．
记 $\Sigma+\sigma$ 所围的区域为 $\Omega$ ，则由 Gauss 公式，得 
$$
\begin{aligned}
& \iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_\sigma x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
= & \iiint_{\Omega} 3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 \int_0^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\sqrt{h}} r \mathrm{~d} r \int_{r^2}^h \mathrm{~d} y=\frac{3 \pi}{2} h^2
\end{aligned}
$$

其中计算三重积分时利用了柱面坐标变换 $z=r \cos \theta, x=r \sin \theta, y=y$ ．由于

$$
\iint_\sigma x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_\sigma y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=\iint_{x^2+z^2 \leqslant h} h \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=\pi h^2,
$$

所以

$$
\Phi=\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{3 \pi}{2} h^2-\pi h^2=\frac{\pi}{2} h^2
$$

### 求体积
若高斯公式中 $P=x, Q=y, R=z$ ，则有

$$
\iiint_V(1+1+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oint_S x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$

于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 $V$ 的体积公式

$$
\Delta V=\frac{1}{3} \oint_S x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$

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