最后更新: 2025-03-17 09:42 查看: 13 次反馈刷题

高斯公式举例

内容：从 Gauss 公式 的应用到 Stokes 公式．

注意 Gauss 公式的两种形式．首先是向量形式，也就是场论中使用的形式为：

$$
\oint_{\partial V} a \cdot d S =\iiint_V \operatorname{div} a d x d y d z=\iiint_V \nabla \cdot a d x d y d z
$$

其中也经常将体积元素 $d x d y d z$ 记为 $d v$ 。
另一种是不用向量表示的形式：

$$
\oint_{\partial V} P d y d z+Q d z d x+R d x d y=\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) d x d y d z
$$

下面讲 Gauss 公式的应用。
先补充一个例子，即重新计算上一节的例 4 （p．195）．
例题 0.0 求积分 $\iint_S x^3 d y d z, S$ 是上半椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1, z \geqslant 0$ ，取上侧．
解 4 为了用 Gauss 公式，对于取上侧的曲面 $S$ 添加一片曲面

$$
S_0=\left\{(x, y, z) \mid z=0, \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leqslant 1\right\}
$$

并取下侧。这样 $S \cup S_0$ 就围成了一个闭区域，即上半椭球体，记为 $V$ ．
对 $V$ 和其边界用 Gauss 公式，就有

$$
\iint_S x^3 d y d z+\iint_{S_0} x^3 d y d z=\iiint_V 3 x^2 d x d y d z,
$$

由于 $S_0$ 上所取的面积元向量为 $(0,0,-1)$ ，而 $\iint_S P d y d z=\iint_S P \cos \alpha d S$ ，因此在 $S_0$ 上的积分为 0 ，上述等式左边就是要求的 $I$ ．于是只要计算右边的三重积分．根据积分区域的特点，可以用广义球面坐标代换如下：

$$
\begin{aligned}
I & =\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} d \varphi \int_0^1 a b c \rho^2 \sin \varphi \cdot 3 a^2 \rho^2 \sin ^2 \varphi \cos ^2 \theta d \rho \\
& =3 a^3 b c \int_0^{2 \pi} \cos ^2 \theta d \theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^3 \varphi d \varphi \int_0^1 \rho^4 d \rho=3 a^3 b c \cdot \pi \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}=\frac{2}{5} \pi a^3 b c .
\end{aligned}
$$

例题 0.1 求 $I=\oint_S x d y d z+y d z d x+z d x d y$ ，其中 $S$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ ，取外侧．
解 记 $V$ 为 $S$ 所围的球，直接用 Gauss 公式即有

$$
I=\iiint_V\left(x_x+y_y+z_z\right) d x d y d z=3 \iiint_V d x d y d z=3|V|=4 \pi a^3 .
$$

注 这个公式告诉我们有可能用封闭界曲面上的第二类曲面积分来求出所围的体积，而且有多个形式，下面是其中的两个公式：

$$
|V|=\frac{1}{3} \oiint_{\partial V} x d y d z+y d z d x+z d x d y=\oiint_{\partial V} z d x d y
$$

其中最后一个在 $V=\left\{(x, y, z) \mid(x, y) \in D_{x y}, z_1(x, y) \leqslant z \leqslant z_2(x, y)\right\}$ 时就可以立即转化为我们早就熟悉的用二重积分计算体积的公式

$$
|V|=\iint_{D_{x y}}\left[z_2(x, y)-z_1(x, y)\right] d x d y
$$

当然目前对区域 $V$ 的限制要广松得多．
例题 0.2 求积分 $I=\iint_S\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) d S$ ，其中 $S$ 是锥面 $x^2+y^2=z^2, 0 \leqslant z \leqslant h, \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是锥面 $S$ 上的法向量的方向余弦，且 $\cos \gamma \leqslant 0$.
解 1 不难直接计算这个第一类曲面积分．注意到 $z_x=\frac{x}{z}, z_y=\frac{y}{z}$ ，所取的法向量为 $\left(z_x, z_y,-1\right)$ ，这样就有

$$
\begin{aligned}
I & =\iint_{r \leqslant h}\left(\frac{x^3}{z}+\frac{y^3}{z}-z^2\right) d x d y \\
& =\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^h r\left(r^3 \cos ^3 \theta+r^2 \sin ^3 \theta-r^2\right) d r \\
& =2 \pi \int_0^h\left(-r^3\right) d r=-2 \pi \cdot \frac{h^4}{4}=-\frac{\pi}{2} h^4
\end{aligned}
$$

解 2 积分 $I$ 虽是第一类曲面积分，但立即可以转化为第二类曲面积分：

$$
I=\iint_S x^2 d y d z+y^2 d z d x+z^2 d x d y
$$

其中 $S$ 取下侧。
添加上平面 $S_0: z=h, x^2+y^2 \leqslant h^2$ ，并取上侧，这样的 $S_0$ 就与 $S$ 一起成为分片光滑的封闭曲面，而且取外侧。将它们所围的区域记为 $V$ ，则就可以用 Gauss 公式得到

$$
I+\iint_{S_0} x^2 d y d z+y^2 d z d x+z^2 d x d y=\iiint_V 2(x+y+z) d x d y d z
$$
先计算在 $S_0$ 上的积分．由于在 $S_0$ 上的法向量是 $(0,0,1)$ ，因此被积表达式的前两项都是 0 ，而第三项中 $z=h$ ，且直接可转化为二重积分，这样就得到

$$
\iint_{S_0} z^2 d x d y=\iint_{x^2+y^2 \leqslant h^2} h^2 d x d y=\pi h^4
$$

对于上述三重积分可以用柱坐标代换计算：

$$
\begin{aligned}
\iiint_V 2(x+y+z) d x d y d z & =2 \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^h d r \int_0^h r[r(\cos \theta+\sin \theta)+z] d z \\
& =2 \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^h d r \int_r^h r z d z=2 \pi \int_0^h r\left(h^2-r^2\right) d r \\
& =\pi h^4-\frac{\pi}{2} h^4=\frac{\pi}{2} h^4 .
\end{aligned}
$$

合并以上就得到 $I=-\pi h^4+\frac{\pi}{2} h^4=-\frac{1}{2} \pi h^4$ ．
例题 0.3 证明 Archimedes 浮体定律：浸在液体里的物体所受到的浮力垂直向上，其大小等于物体所排开的液体之重量．

证 设 $\rho$ 是液体的密度，将液体表面取为 $x y$ 平面，并取 $z$ 轴垂直向下．
将浸入液体的物体表面记为曲面 $S$ 。在深度 $z$ 处的物体表面上面积元为 $d S$ 处积分就得到所要的浮力

$$
F =\oiint_S \rho g z n _{\text {内 }} d S=-\rho g \oiint_{S_{\text {外狍 }}} z d S .
$$

注意上式是向量等式，右边并非一个第二类曲面积分．
写出 $d S =( d y d z, d z d x, d x d y)$ ，则就得到在三个坐标轴方向的三个第二类曲面积分．也可以将 $S$ 的单位外法向量写为 $n _{\text {外 }}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ ，然后从 $d S _{\text {外 }}= n _{\text {外 }} d S$ 得到

$$
\begin{aligned}
F & =-\rho g \not \oiint_S z( i \cos \alpha+ j \cos \beta+ k \cos \gamma) d S \\
& =\left(-\rho g \not \oiint_S z d y d z\right) i +\left(-\rho g \oiint_S z d z d x\right) j +\left(-\rho g \oiint_S z d x d y\right) k \\
& =0 i +0 j -\rho g \iiint_V d x d y d z=(-\rho g|V|) k
\end{aligned}
$$

（这里用了三次 Gauss 公式），这样就证明了所要的结论．
注 若密度 $\rho$ 与深度 $z$ 有关，则 Archimedes 定律仍然正确．但当密度与 $x, y$有关时则方向不再是垂直向上了。

四．区域有洞的情况
只讨论有一个洞的情况，其推广是明显的。

设 $S$ 为分片光滑的封闭曲面．在 $S$ 所围区域的内部有另一个分片光滑的封闭曲面 $S_1$ ．将 $S$ 和 $S_1$ 之间的区域记为 $V$ ．设向量场 $a =(P, Q, R)$ 在 $V$ 上连续可微．这时也有 Gauss 公式成立：

$$
\left(\iint_S+\iint_{S_1}\right) a \cdot d S =\iint_{\partial V} a \cdot d S =\iiint_V \operatorname{div} a d x d y d z
$$

其中在 $V$ 的边界 $\partial V=S \cup S_1$ 上取关于 $V$ 的外侧，这对于 $S$ 也是外侧，但对于 $S_1$则是内侧了。

证明的方法与多连通区域上的 Green 公式的证明类似．从略．
例题 0.4 求 $I=\oiint_S \operatorname{grad}\left(\frac{1}{r}\right) \cdot d S$ ，其中 $S$ 是包围原点的封闭曲面，$r=$

$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
注 若将被积函数改为 $\operatorname{grad}\left(-\frac{q}{r}\right)$ ，则这就是 p． 196 例 5 的推广，即证明一般形式的电学中的 Gauss 定律。在那里只是对于以原点为中心的球面计算出通量为 $4 \pi q$ 。

首先计算被积函数：

$$
\operatorname{grad}\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{1}{r^2}\left(r_x, r_y, r_z\right)=-\frac{1}{r^3}(x, y, z)=-\frac{ r }{r^3}
$$

用半径充分小的 $\varepsilon>0$ 球面 $S_{\varepsilon}: x^2+y^2+z^2=r^2$ 将原点包围起来，然后就可以在 $S$ 和 $S_{\varepsilon}$ 之间的区域 $V_{\varepsilon}$ 上用 Gauss 公式，这样就有

$$
I=\oiint_{S_{\varepsilon}} \operatorname{grad}\left(\frac{1}{r}\right) \cdot d S +\iiint_{V_{\varepsilon}} \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\left(\frac{1}{r}\right)\right) d x d y d z
$$

其中 $S_{\varepsilon}$ 取外侧。
直接计算得到

$$
\operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\left(\frac{1}{r}\right)\right)=\operatorname{div}\left(-\frac{x}{r^3},-\frac{y}{r^3},-\frac{z}{r^3}\right)
$$

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& =\left(-\frac{x}{r^3}\right)_x+\left(-\frac{y}{r^3}\right)_y+\left(-\frac{z}{r^3}\right)_z \\
& =-\frac{3}{r^3}+\frac{3 x}{r^4} \cdot \frac{x}{r}+\frac{3 y}{r^4} \cdot \frac{y}{r}+\frac{3 z}{r^4} \cdot \frac{z}{r}=0 .
\end{aligned}\\
&\text { 这样就得到 }\\
&\begin{aligned}
I & =\iint_{S_{\varepsilon}}-\frac{ r }{r^3} \cdot d S \\
& =-\frac{1}{\varepsilon^3} \iiint_{r \leqslant \varepsilon} \operatorname{div} r d x d y d z \\
& =-\frac{3}{\varepsilon^3} \iiint_{r \leqslant \varepsilon} d x d y d z=-\frac{3}{\varepsilon^3} \cdot \frac{4}{3} \pi \varepsilon^3=-4 \pi
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

注 最后一步的计算利用在 $S_{\varepsilon}$ 上 $r=\varepsilon$ ，因此可以将分母的 $r^3$ 提出到积分号前，从而在 $S_{\varepsilon}$ 内被积函数不再有奇性，可以再一次用 Gauss 公式．其中 $\operatorname{div} r = d (x, y, z)=3$ ．当然也可以写出

$$
\iint_{S_{\varepsilon}} r \cdot d S =\iint_{S_{\varepsilon}} x d y d z+y d z d x+z d x d y
$$

之后再用 Gauss 公式。
教科书上的方法也不错．这就是利用在 $S_{\varepsilon}$ 上 $d S =\frac{ r }{ r } d S$ ，然后就有

$$
I=\iint_{S_{\varepsilon}}-\frac{ r }{r^3} \cdot \frac{ r }{r} d S=-\frac{1}{\varepsilon^2} \iint_{S_{\varepsilon}} d S=-\frac{1}{\varepsilon^2}|S|=-4 \pi .
$$

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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