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斯托克斯 Stokes 公式

## 斯托克斯 Stokes 公式
### 旋度
这里首先需要引进向量场的旋度概念．设有连续可微的向量场 $a =(P, Q, R)$ ，则可以由 $a$ 生成一个新的向量场

$$
\begin{aligned}
\operatorname{rot} a & =\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} \\
P & Q & R
\end{array}\right| \\
& =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) i +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial z}\right) j +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) k
\end{aligned}
$$

称为 $a$ 的**旋度**．它反映了向量场 $a$ 的旋转程度，是场论中的一个重要概念．
也可以用 $\operatorname{curl} a$ 来表示旋度．此外，若用 nabla 算子 $\nabla$ ，则就可以将旋度写为 $\nabla \times a$ ．

## 斯托克斯公式 Stokes 公式．
如图1所示，分片光滑曲面 $S$ 的边界是分段光滑的闭曲线 $C=\partial S, C$ 的取向与 $d S$ 符合右手法则．通俗地说，即设想一个人在 $C$ 上沿所取的方向往前走时，人的头与 $d S$ 一致，这时曲面应当在左侧。我们称符合这个要求的曲面 $S$ 和其边界 $C$ 的取向为相容的．

**Stokes公式** 设 $a =(P, Q, R)$ 于曲面 $S$ 上连续可微，$S$ 与 $C$ 的取向相容，则成立

$$
\begin{aligned}
\oint_C P d x & +Q d y+R d z=\iint_S\left|\begin{array}{ccc}
\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| d S=\iint_S\left|\begin{array}{ccc}
d y d z & d z d x & d x d y \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| \\
& =\iint_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) d y d z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial z}\right) d z d x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y
\end{aligned}
$$

如果写成向量的形式就是

$$
\oint_C a \cdot d r =\iint_S \operatorname{rot} a \cdot d S \left(=\iint_S \nabla \times a \cdot d S \right) .
$$

![图片](/uploads/2025-02/c990cb.jpg)

显然这完全来自于对第二类曲面积分中向量积分元 $d S$ 的多种表示形式．又可以注意到，最后一式的被积表达式中的第三项与 Green 公式中二重积分的被积表达式完全相同，然后用变量循环置换即可得到前两项．

证明：证 先证

$$
\iint_S \frac{\partial P}{\partial z} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-\frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\oint_L P \mathrm{~d} x ...(3)
$$

其中曲面 $S$ 由方程 $z=z(x, y)$ 确定，它的正侧法线方向数为 $\left(-z_x,-z_y, 1\right)$ ，方向余弦为 $(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ ，所以

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\cos \alpha}{\cos \gamma}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\cos \beta}{\cos \gamma} .
$$

若 $S$ 在 $x y$ 平面上投影区域为 $D_{x y}, L$ 在 $x y$ 平面上的投影曲线记为 $\Gamma$ ．现由第二型曲线积分定义及格林公式有

$$
\begin{aligned}
\oint_L P(x, y, z) \mathrm{d} x & =\oint_{\Gamma} P(x, y, z(x, y)) \mathrm{d} x \\
& =-\iint_{D_{x y}} \frac{\partial}{\partial y} P(x, y, z(x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
\end{aligned}

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