最后更新: 2025-02-01 12:46 查看: 12 次反馈刷题

Stokes 公式

$\S 24.4$ Stokes 公式
一．Stokes 公式
这里首先需要引进向量场的旋度概念．设有连续可微的向量场 $a =(P, Q, R)$ ，则可以由 $a$ 生成一个新的向量场

$$
\begin{aligned}
\operatorname{rot} a & =\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} \\
P & Q & R
\end{array}\right| \\
& =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) i +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial z}\right) j +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) k
\end{aligned}
$$

称为 $a$ 的旋度．它反映了向量场 $a$ 的旋转程度，是场论中的一个重要概念．
也可以用 $\operatorname{curl} a$ 来表示旋度．此外，若用 nabla 算子 $\nabla$ ，则就可以将旋度写为 $\nabla \times a$ ．

下面介绍 Stokes 公式．
如图1所示，分片光滑曲面 $S$ 的边界是分段光滑的闭曲线 $C=\partial S, C$ 的取向与 $d S$ 符合右手法则．通俗地说，即设想一个人在 $C$ 上沿所取的方向往前走时，人的头与 $d S$ 一致，这时曲面应当在左侧。我们称符合这个要求的曲面 $S$ 和其边界 $C$ 的取向为相容的．

定理 0.0 （Stokes 公式）设 $a =(P, Q, R)$ 于曲面 $S$ 上连续可微，$S$ 与 $C$ 的取向相容，则成立

$$
\oint_C a \cdot d r =\iint_S \operatorname{rot} a \cdot d S \left(=\iint_S \nabla \times a \cdot d S \right) .
$$

注 若不用向量形式，则可以将 Stokes 公式写为
 ![图片](/uploads/2025-02/c990cb.jpg)
 
 注 若不用向量形式，则可以将 Stokes 公式写为

$$
\begin{aligned}
\oint_C P d x & +Q d y+R d z=\iint_S\left|\begin{array}{ccc}
\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| d S=\iint_S\left|\begin{array}{ccc}
d y d z & d z d x & d x d y \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| \\
& =\iint_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) d y d z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial z}\right) d z d x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y
\end{aligned}
$$

显然这完全来自于对第二类曲面积分中向量积分元 $d S$ 的多种表示形式．又可以注意到，最后一式的被积表达式中的第三项与 Green 公式中二重积分的被积表达式完全相同，然后用变量循环置换即可得到前两项．

证 略

刷题

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