最后更新: 2025-10-27 05:41 查看: 53 次纠错评论(0) 课件开VIP

空间曲线积分与路线无关的条件

## 空间曲线积分与路线无关的条件

由斯托克斯公式，可导出空间曲线积分与路线无关的条件．为此先介绍一下空间单连通区域的概念．

区域 $V$ 称为单连通区域，如果 $V$ 内任一封闭曲线皆可以不经过 $V$ 以外的点而连续收缩于属于 $V$ 的一点．如球体是单连通区域．非单连通区域称为复连通区域．如环状区域不是单连通区域，而是复连通区域．

与平面曲线积分相仿，空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应的定理．
**定理 22.7** 设 $\Omega \subset \mathbf{R}^3$ 为空间单连通区域．若函数 $P, Q, R$ 在 $\Omega$ 上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：
（i）对于 $\Omega$ 内任一按段光滑的封闭曲线 $L$ ，有

$$
\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=0 ;
$$

（ii）对于 $\Omega$ 内任一按段光滑的曲线 $L$ ，曲线积分

$$
\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z
$$

与路线无关；
（iii）$P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$ 是 $\Omega$ 内某一函数 $u$ 的全微分，即

$$
\mathrm{d} u=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z ;
$$

（iv）$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}, \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}$ 在 $\Omega$ 内处处成立．

证明：略。

`例` 验证曲线积分

$$
\int_L(y+z) \mathrm{d} x+(z+x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z
$$

与路线无关，并求被积表达式的原函数 $u(x, y, z)$ ．
解 由于

$$
\begin{aligned}
& P=y+z, \quad Q=z+x, \quad R=x+y, \\
& \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}=1,
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-10/eeae75.jpg)

所以曲线积分与路线无关．
现在求
$$
u(x, y, z)=\int_{M_0 M}(y+z) \mathrm{d} x+(z+x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z .
$$

取 $M_0 M$ 如图22－9，从 $M_0$ 沿平行于 $x$ 轴的直线到 $M_1\left(x, y_0, z_0\right)$ ，
再沿平行于 $y$ 轴的直线到 $M_2\left(x, y, z_0\right)$ ，最后沿平行于 $z$ 轴的直线到 $M(x, y, z)$ ．于是

$$
\begin{aligned}
u(x, y, z)= & \int_{x_0}^x\left(y_0+z_0\right) \mathrm{d} s+\int_{y_0}^y\left(z_0+x\right) \mathrm{d} t+\int_{z_0}^z(x+y) \mathrm{d} r \\
= & \left(y_0+z_0\right) x-\left(y_0+z_0\right) x_0+\left(z_0+x\right) y- \\
& \left(z_0+x\right) y_0+(x+y) z-(x+y) z_0 \\
= & x y+x z+y z+c
\end{aligned}
$$

其中 $c=-x_0 y_0-x_0 z_0-y_0 z_0$ 是一个常数．若取 $M_0$ 为原点，则得

$$
u(x, y, z)=x y+x z+y z .
$$

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