最后更新: 2025-10-27 06:23 查看: 46 次纠错评论(0) 课件开VIP

勒让德公式 legendre

关于 Gamma 函数，可以推出Legendre 公式

**定理 Legendre 公式**

$$
\Gamma(s) \Gamma\left(s+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2 s-1}} \Gamma(2 s), \quad s>0
$$

证 由于

$$
\mathrm{B}(s, s)=\int_0^1 x^{s-1}(1-x)^{s-1} \mathrm{~d} x=\int_0^1\left[\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-x\right)^2\right]^{s-1} \mathrm{~d} x=2 \int_0^{\frac{1}{2}}\left[\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-x\right)^2\right]^{s-1} \mathrm{~d} x,
$$

作变量代换 $\frac{1}{2}-x=\frac{1}{2} \sqrt{t}$ ，得到

$$
\mathrm{B}(s, s)=\frac{1}{2^{2 s-1}} \int_0^1(1-t)^{s-1} t^{-\frac{1}{2}} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2^{2 s-1}} \mathrm{~B}\left(\frac{1}{2}, s\right) .
$$

利用 Beta 函数与 Gamma 函数的关系，从上式得

$$
\frac{\Gamma(s) \Gamma(s)}{\Gamma(2 s)}=\frac{1}{2^{2 s-1}} \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma(s)}{\Gamma\left(s+\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{2^{2 s-1}} \frac{\sqrt{\pi} \Gamma(s)}{\Gamma\left(s+\frac{1}{2}\right)}
$$

整理后就得到 Legendre 公式。
证毕

## 延伸阅读

**勒让德公式**（Legendre's Formula），也称为**勒让德定理**。

---

## 1. 公式内容

勒让德公式用于计算 **n!（n的阶乘）的质因数分解中，某个质数 p 的指数**。

设 $ v_p(n!) $ 表示质数 $ p $ 在 $ n! $ 的质因数分解中的指数（即 $ n! $ 能被 $ p^{v_p(n!)} $ 整除，但不能被 $ p^{v_p(n!)+1} $ 整除）。

勒让德公式为：

$$
v_p(n!) = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \cdots
$$

其中 $\lfloor x \rfloor$ 表示对 $x$ 向下取整，求和一直进行到 $ p^k > n $ 为止（即直到 $\lfloor n/p^k \rfloor = 0$）。

---

## 2. 公式的理解与推导

### 思路
$ n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n $。

我们要数一下从 $1$ 到 $n$ 这些数中，总共含有多少个质因子 $p$。

### 分组计数法
- **第一步**：在 $1, 2, \dots, n$ 中，有 $\left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor$ 个数是 $p$ 的倍数（每个数至少提供 1 个 p 因子）。
- **第二步**：在 $1, 2, \dots, n$ 中，有 $\left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor$ 个数是 $p^2$ 的倍数（这些数在第一步已算过 1 次，现在额外再提供 1 个 p 因子，因为它们是 $p^2$ 的倍数）。
- **第三步**：在 $1, 2, \dots, n$ 中，有 $\left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor$ 个数是 $p^3$ 的倍数（这些数在第一步、第二步各算过一次，现在再额外提供 1 个 p 因子）。
- 依此类推……

所以，**总因子数** = 第一步 + 第二步 + 第三步 + ……

---

## 3. 例子

**例 1**：求 $ v_5(100!) $

$$
v_5(100!) = \left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{5^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{5^3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{5^4} \right\rfloor + \cdots
$$
$$
= \lfloor 20 \rfloor + \lfloor 4 \rfloor + \lfloor 0.8 \rfloor + \lfloor 0.16 \rfloor + \dots
$$
$$
= 20 + 4 + 0 + 0 + \dots = 24
$$

所以 $100!$ 末尾有 24 个零（因为每个零来自一个因子 10 = 2×5，而 2 的个数比 5 多，所以零的个数由 5 的个数决定）。

---

**例 2**：求 $ v_2(10!) $

$$
v_2(10!) = \lfloor 10/2 \rfloor + \lfloor 10/4 \rfloor + \lfloor 10/8 \rfloor + \lfloor 10/16 \rfloor + \dots
$$
$$
= 5 + 2 + 1 + 0 = 8
$$

检验：$10! = 3628800 = 2^8 \times \dots$ 正确。

---

## 4. 应用

1. **组合数是否为整数**：组合数 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$，要判断它是否为整数，可以用勒让德公式检查对每个质数 $p$，是否有 $v_p(n!) \ge v_p(k!) + v_p((n-k)!)$。
2. **数论问题**：求阶乘的因数分解。
3. **末尾零的个数**：就是 $ \min(v_2(n!), v_5(n!)) = v_5(n!) $（因为 5 的个数少于 2 的个数）。

---

## 5. 推广：对任意实数 $x$ 的推广

有时勒让德公式也写成对实数 $x$ 的形式（当 $x$ 是正整数 $n$ 时就是上面的公式）：

$$
v_p(n!) = \frac{n - s_p(n)}{p - 1}
$$
其中 $s_p(n)$ 是 $n$ 在 $p$ 进制下的各位数字之和。

这个等价形式来自 $p$ 进制表示和等比数列求和，推导如下：

设 $n = a_k p^k + a_{k-1} p^{k-1} + \dots + a_1 p + a_0$，其中 $0 \le a_i < p$。

那么：
$$
\left\lfloor \frac{n}{p^m} \right\rfloor = a_k p^{k-m} + a_{k-1} p^{k-1-m} + \dots + a_m
$$
对所有 $m \ge 0$ 求和（$a_i=0$ 当 $i>k$），经过代数运算可得：
$$
v_p(n!) = \frac{n - (a_k + a_{k-1} + \dots + a_0)}{p - 1} = \frac{n - s_p(n)}{p - 1}
$$

---

**例 3**：用此公式求 $v_5(100!)$  
$100$ 的 5 进制表示：$100 \div 5 = 20$ 余 0，$20 \div 5 = 4$ 余 0，$4 \div 5 = 0$ 余 4，所以 $100 = (400)_5$。  
$s_5(100) = 4+0+0=4$。  
$$
v_5(100!) = \frac{100 - 4}{5 - 1} = \frac{96}{4} = 24
$$
与前面一致。

---

## 总结

勒让德公式：
$$
v_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor = \frac{n - s_p(n)}{p - 1}
$$
是数论中非常实用的工具，用于计算阶乘中质因数的指数。

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