最后更新: 2025-02-01 12:50 查看: 13 次反馈刷题

有孔的 Stokes 公式

四．有孔的 Stokes 公式
这与 Green 公式在单连通区域的证明完全相同，结论是 Stokes 公式仍然成立，只是曲面 $S$ 的边界 $\partial S$ 可以由多条曲线组成，这时每一条曲线的曲线都应当与 $S$ 的取向相容．

注 现在已经容易看到，特别当 $S$ 就是 $x y$ 平面上的区域时，若取上侧，同时 $a =(P, Q, R)$ 中 $R=0$ ，且 $P, Q$ 与 $z$ 无关，则 Stokes 公式就变成 Green 公式．

例题0．3（Ampère 环路定律）设 $z$ 轴有电流 $I$ 通过，$C$ 为绕 $z$ 轴一周的封闭曲线，方向见图 4．设 $I$ 产生的磁场强度为 $B$ ，求 $B$ 沿曲线 $C$ 的环流量 $\oint_C B \cdot d S$ ．由于

![图片](/uploads/2025-02/157e17.jpg)
 
$$
\operatorname{rot} B =\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{-2 I y}{x^2+y^2} & \frac{2 I x}{x^2+y^2} & 0
\end{array}\right|= 0
$$

解 在点 $(x, y, z)$ 处的磁场强度为

$$
B =\frac{2 I}{x^2+y^2}(-y, x, 0)
$$

对于这个向量场来说，$z$ 轴是奇线．在 $x y$ 平面上作圆 $C_{\varepsilon}$ ： $x^2+y^2=\varepsilon^2$ ，方向与 $C$ 相同，又作曲面 $S_{\varepsilon}$ ，它以 $C$ 和 $C_{\varepsilon}$ 为边界．这样就可以用有孔的 Stokes 公式如下：

$$
\oint_C B \cdot d r =\oint_{C_{\varepsilon}} B \cdot d r +\iint_{S_{\varepsilon}} \operatorname{rot} B \cdot d S
$$
因此绕 $C$ 的环流量和绕 $C_{\varepsilon}$ 的环流量相同，而 $C_{\varepsilon}$ 上的积分容易计算如下

$$
\begin{aligned}
\oint_{C_{\varepsilon}} B \cdot d r & =\oint_{C_{\varepsilon}} \frac{2 I}{\varepsilon^2}(-y, x, 0) \cdot(d x, d y, d z) \\
& =\frac{2 I}{\varepsilon^2} \oint_{C_{\varepsilon}}-y d x+x d y \\
& =\frac{2 I}{\varepsilon^2} \iint_{x^2+y^2 \leqslant \varepsilon^2}\left(-\frac{\partial(-y)}{\partial y}+\frac{\partial(x)}{\partial x}\right) d x d y \\
& =\frac{4 I}{\varepsilon^2} \iint_{x^2+y^2 \leqslant \varepsilon^2} d x d y=4 \pi I,
\end{aligned}
$$

因此所求的环流量为 $4 \pi I$ ．
注 参看 p .170 之例 5 比较，可见那里已经解决了封闭曲线 $C$ 在 $x y$ 平面（或平行于该平面）中的情况．Stokes 公式使得这个定律可以推广到围绕 $z$ 轴的任意光滑封闭曲线上去．

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