最后更新: 2025-02-01 12:51 查看: 13 次反馈刷题

空间的格林公式

五．空间的＂Green 定理＂
对空间区域同样可以定义单连通和多连通的概念，当然这里的单连通区域会有多种复杂情况．例如在球内部挖去一个小球后所得的仍然是单连通区域，但其边界则由两个封闭曲面组成，而圆环面所围区域不是单连通的，但其边界则是一个封闭曲面。

下面叙述平面 Green 定理的推广．它的证明与平面情况类似，从略．
定理 0.1 设 $V$ 是 $R ^3$ 中的单连通区域， $a =(P, Q, R)$ 在 $V$ 内连续可微，则以下四个命题等价：
（1）对 $V$ 中的任一分段光滑的闭曲线 $\Gamma$ 上，有 $\oint_\gamma a \cdot d r =0$ ．（环流量为 0 ．）
（2）对于 $V$ 内的任意两点 $A, B$ ，积分 $\int_{\overparen{A B}} a \cdot d r$ 只与点 $A, B$ 有关，而与具体的曲线 $\overparen{A B}$ 的形状无关．（积分与路径无关．）
（3）在 $V$ 内存在单值可微函数 $\varphi(x, y, z)$ ，使得成立

$$
d \varphi=P d x+Q d y+R d z(= a \cdot d r )
$$

称 $\varphi$ 为势函数或原函数．（存在势函数．）
（4）在 $V$ 内处处成立 $\operatorname{rot} a = 0$ ，即 $\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}, \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 。（空间恰当条件．）

当上述条件之一满足时，势函数全体为

$$
\varphi(x, y, z)=\int_{\left(x_0, y_0, z_0\right)}^{(x, y, z)} a \cdot d r +C=\int_{\left(x_0, y_0, z_0\right)}^{(x, y, z)} P d x+Q d y+R d z
$$

其中点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 为 $V$ 内的任一固定点，$C$ 为任意常数．
例题 0.4 设 $\omega=\left(x y^2+x^2 y-f(x) y\right) d x+(f(x) y+2 x) d y+z d z$ 为恰当形式，求 $f(x)$ 及势函数．

解 将 $\omega$ 写成 $a \cdot d r$, 计算旋度

$$
\begin{aligned}
\operatorname{rot} a & =\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
x y^2+x^2 y-f(x) y & f(x) y+2 x & z
\end{array}\right| \\
& =\left(0,0, f^{\prime}(x) y+2-2 x y-x^2-f(x)\right) .
\end{aligned}
$$

根据恰当条件，应当有

$$
f^{\prime}(x) y+2-2 x y-x^2-f(x)=\left(f^{\prime}(x)-2 x\right) y+2-x^2-f(x)=0
$$

由于 $y$ 可取任意值，因此只能是 $f^{\prime}(x)=2 x$ ．然后即可看出 $f(x)=x^2-2 x$ ．
于是得到

$$
a =\left(x y^2+2 y, x^2 y+2 x-2 y, z\right),
$$

由此直接可以得到势函数为

$$
\begin{aligned}
\varphi(x, y, z) & =\int_{(0,0,0)}^{(x, y, z)} a \cdot d r +C \\
& =\int_{(0,0,0)}^{(x, y, z)}\left(x y^2+2 y\right) d x+\left(x^2 y+2 x-2 y\right) d y+z d z \\
& =\frac{1}{2} x^2 y^2+2 x y-y^2+\frac{1}{2} z^2+C .
\end{aligned}
$$

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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