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含参变量常义积分、可导性定理与第二类完全椭圆积分

## 含参变量常义积分的定义
设 $f(x, y)$ 是定义在闭矩形 $[a, b] \times[c, d]$ 上的连续函数，于是对于任意固定的 $y \in[c, d], f(x, y)$ 是 $[a, b]$ 上关于 $x$ 的一元连续函数，因此它在 $[a, b]$ 上的积分存在，且积分值 $\int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x$ 由 $y$ 惟一确定．也就是说，

$$
I(y)=\int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x, \quad y \in[c, d]
$$

确定了一个关于 $y$ 的一元函数．由于式中的 $y$ 可以看成一个参变量，所以称它为含参变量 $y$ 的积分．同理可定义含参变量 $x$ 的积分

$$
J(x)=\int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y, \quad x \in[a, b] .
$$

它们统称**含参变量常义积分**，一般就称为**含参变量积分**．

实际应用中经常遇到含参变量积分．如在计算椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}= 1(b>a>0)$ 的周长时，利用椭圆的参数方程 $x=a \cos t, y= b \sin t$ ，记 $L$ 为椭圆在第一象限的部分（见图15．1．1），则所求周长的四分之一为

$$
\begin{aligned}
\int_L \mathrm{~d} s & =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 \sin ^2 t+b^2 \cos ^2 t} \mathrm{~d} t=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 \sin ^2 t+b^2\left(1-\sin ^2 t\right)} \mathrm{d} t \\
& =b \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\frac{b^2-a^2}{b^2} \sin ^2 t} \mathrm{~d} t=b \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin ^2 t} \mathrm{~d} t
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-10/9e1ff0.jpg){width=200px}

这里 $k=\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b} \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin ^2 t} \mathrm{~d} t$ 就是含参变量 $k$ 的积分，称为**第二类完全椭圆积分**．但遗憾的是，被积函数 $\sqrt{1-k^2 \sin ^2 t}$ 的原函数不能用初等函数表示．因此计算这个积分，通常只能采用数值计算的方法．

## 含参变量常义积分性质
**定理1（连续性定理）** 设二元函数 $f(x, y)$ 在 $[a, b] \times[c, d]$ 上连续，则以 $x$ 为参变量的常义积分

$$
F(x)=\int_c^d f(x, y) d y
$$

在 $[a, b]$ 上连续．
证 只要对每个点 $x_0 \in[a, b]$ 证明 $F$ 在 $x_0$ 连续。
对于任意 $x \in[a, b]$ ，需要估计

$$
\left|F(x)-F\left(x_0\right)\right| \leqslant \int_c^d\left|f(x, y)-f\left(x_0, y\right)\right| d y .
$$

由于在 $[a, b] \times[c, d]$ 上的二元连续函数必定一致连续，对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$, $\forall\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right),\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}\right) \in[a, b] \times[c, d]$ ，只要 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta,\left|y^{\prime}-y^{\prime \prime}\right|<\delta$ ，就有 $\mid f\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)-$ $f\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}\right) \mid<\varepsilon$ ．

取 $y^{\prime}=y^{\prime \prime}=y \in[c, d], x^{\prime}=x_0, x^{\prime \prime}=x \in O_\delta\left(x_0\right) \cap[a, b]$ ，可见 $\forall y \in[c, d]$ 成立：

$$
\left|f(x, y)-f\left(x_0, y\right)\right|<\varepsilon
$$

于是对 $\forall x \in O_\delta\left(x_0\right) \cap[a, b]$ 就成立

$$
\left|F(x)-F\left(x_0\right)\right| \leqslant \int_c^d\left|f(x, y)-f\left(x_0, y\right)\right| d y \leqslant \varepsilon(d-c)
$$

这表明 $F$ 在点 $x_0$ 连续．由于 $x_0$ 可取到 $[a, b]$ 中任意一点，因此 $F \in C[a, b]$ ．
注1 这就是 $\lim _{x \rightarrow x_0} F(x)=F\left(x_0\right)$ ，因此也就是

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \int_c^d f(x, y) d y=\int_c^d f\left(x_0, y\right) d y=\int_c^d \lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y) d y
$$

即在 $[c, d]$ 上的积分运算和 $x \rightarrow x_0$ 的极限运算可交换．
注 2 这时 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，即存在积分 $\int_a^b F(x) d x=\int_a^b d x \int_c^d f(x, y) d y$ ．从重积分知识知道还有

$$
\int_a^b F(x) d x=\int_a^b d x \int_c^d f(x, y) d y=\int_c^d d y \int_a^b f(x, y) d x .
$$

其中第二个二次积分的存在性可以用定理 1 于含参积分 $\int_c^d f(x, y) d x$ 得到，但两个二次积分相等是需要另行证明的。由于教科书中的安排，我们已经学过重积分，因此这里不必再证明了．而且还知道上述积分等于 $\iint_{[a, b] \times[c, d]} f(x, y) d x d y$ ．

**定理2（可导性定理）** 设 $f(x, y)$ 和 $f_x(x, y)$ 在 $[a, b] \times[c, d]$ 上连续，则 $F(x)$在 $[a, b]$ 上可导，且有

$$
F^{\prime}(x)=\int_c^d f_x(x, y) d y
$$

证 任取点 $x_0 \in[a, b]$ ，并设 $x=x_0+\Delta x \in[a, b]$ ，作出差商

$$
\frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_c^d\left[f\left(x_0+\Delta x, y\right)-f\left(x_0, y\right)\right] d x=\int_c^d f_x\left(x_0+\theta \Delta x, y\right) d y
$$

其中 $0<\theta<1$ ，它与 $x_0, x, y$ 都可能有关．
从定理要求证明的结论可见，需要对下列表达式作出估计：

$$
\begin{aligned}
\left|\fra

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