最后更新: 2025-02-01 13:09 查看: 83 次反馈刷题

调和函数平均值定理

调和函数的平均值定理 设 $u(x, y)$ 在闭圆 $x^2+y^2 \leqslant R^2$ 上连续，在开圆 $x^2+y^2<R^2$ 内满足方程 $\Delta u \equiv u_{x x}+u_{y y}=0$ ，证明

$$
I=\frac{1}{2 \pi r} \oint_{C_R} u(x, y) d s=u(0,0)
$$

其中 $C_R$ 是圆周 $x^2+y^2=R^2$ ．
证 2 由题意可见，如将 $R$ 改为变量 $r \in(0, R]$ ，就得到

$$
I(r)=\frac{1}{2 \pi r} \oint_{C_r} u(x, y) d s=u(0,0)
$$

其中 $C_r$ 是圆周 $x^2+y^2=r^2$ ．
按照第一类曲线积分的计算方法，用极坐标代换，这时有 $d s=r d \theta$ ，于是得到

$$
I(r)=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} u(r \cos \theta, r \sin \theta) d \theta
$$

利用含参变量的常义积分性质，可见 $I(r)$ 在 $[0, R]$ 上连续，在 $(0, R)$ 上可导，而且可以通过在积分号下求导来计算 $I^{\prime}(r)$ ．于是就有

$$
I^{\prime}(r)=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi}\left(u_x \cos \theta+u_y \sin \theta\right) d \theta
$$

由于在圆周 $C_r$ 上的单位外法向量 $n$ 就是 $(\cos \theta, \sin \theta)$ ，将上述积分写成第一类曲
线积分后，直接用上次补充的 Green 公式的另一种形式，就得到

$$
I^{\prime}(r)=\frac{1}{2 \pi r} \oint_{C_r}\left(u_x \cos \theta+u_y \sin \theta\right) d s=\frac{1}{2 \pi r} \iint_{D_r}\left(u_{x x}+u_{y y}\right) d x d y=0,
$$

这里 $D_r$ 是 $C_r$ 所包围的圆区域，最后利用 $u$ 为调和函数的条件．
由此可见，$I(r)$ 在 $[0, R]$ 上是常值函数，因此 $I=I(R)=I(0)=u(0,0)$ ．
注 1 这里所用的 Green 公式是

$$
\oint_{\partial D}(P \cos \alpha+Q \cos \beta) d s=\iint_D\left(P_x+Q_y\right) d x d y
$$

其中 $(\cos \alpha, \cos \beta)$ 是 $\partial D$ 上的单位外法向量．
注 2 另一个方法是利用方向导数概念，看出 $u_x \cos \theta+u_y \sin \theta=\frac{\partial u}{\partial n}$ ，然后直接用例题 $2( pp .175-176)$ 的结果，就得到
$$
\begin{aligned}
2 \pi I^{\prime}(r) & =\int_0^{2 \pi} \frac{\partial u}{\partial n} d \theta=\frac{1}{r} \oint_{C_r} \frac{\partial u}{\partial n} d s \\
& =\frac{1}{r} \iiint_{x^2+y^2 \leqslant r^2}\left(u_{x x}+u_{y y}\right) d x d y=0 .
\end{aligned}
$$

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