最后更新: 2025-10-27 06:07 查看: 246 次纠错评论(0) 课件开VIP

贝塔beta函数与第一类欧拉Euler积分

## Beta 函数
形如

$$
\boxed{
\mathrm{B}(p, q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x
}
$$

的含参变量积分称为 **Beta 函数**，或**第一类 Euler 积分**．
先看它的定义域．将 Beta 函数写成

$$
\mathrm{B}(p, q)=\int_0^{1 / 2} x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x+\int_{1 / 2}^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x
$$

当 $x \rightarrow 0$ 时，$x^{p-1}(1-x)^{q-1} \sim x^{p-1}$ ，所以只有当 $p>0$ 时右边第一个反常积分收敛．而当 $x \rightarrow 1$时，$x^{p-1}(1-x)^{q-1} \sim(1-x)^{q-1}$ ，所以只有当 $q>0$ 时右边第二个反常积分收敛．这说明了 $\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x$ 对于每对 $(p, q) \in(0,+\infty) \times(0,+\infty)$ 收敛，即 Beta 函数 $\mathrm{B}(p, q)$ 的定义域为 $(0,+\infty) \times(0,+\infty)$ 。

##  Beta 函数的性质．

**1．连续性**： $\mathrm{B}(p, q)$ 在 $(0,+\infty) \times(0,+\infty)$ 上连续．
证 对于任意固定的 $p_0>0, q_0>0$ ，当 $p \geqslant p_0, q \geqslant q_0$ 时，

$$
x^{p-1}(1-x)^{q-1} \leqslant x^{p_0-1}(1-x)^{q_0-1}, \quad 0 \leqslant x \leqslant 1,
$$

而 $\int_0^1 x^{p_0-1}(1-x)^{q_0-1} \mathrm{~d} x$ 收敛，由 Weierstrass 判别法， $\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x$ 关于 $p, q$ 在 $\left[p_0\right.$ ， $+\infty) \times\left[q_0,+\infty\right)$ 上一致收敛，从而 $\mathrm{B}(p, q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x$ 在 $\left[p_0,+\infty\right) \times\left[q_0\right.$ ， $+\infty)$ 上连续．

由 $p_0>0, q_0>0$ 的任意性得知 $\mathrm{B}(p, q)$ 在 $(0,+\infty) \times(0,+\infty)$ 上连续。
**2．对称性**： $\mathrm{B}(p, q)=\mathrm{B}(q, p), p>0, q>0$ ．
证 作变换 $x=1-t$ 就得到

$$
\mathrm{B}(p, q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x=\int_0^1(1-t)^{p-1} t^{q-1} \mathrm{~d} t=\mathrm{B}(q, p) .
$$

**3．递推公式**： $\mathrm{B}(p, q)=\frac{q-1}{p+q-1} \mathrm{~B}(p, q-1), p>0, q>1$ ．

证 利用分部积分法得到

$$
\begin{aligned}
\mathrm{B}(p, q) & =\int_0^1 \frac{1}{p}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x^p=\left.\frac{1}{p} x^p(1-x)^{q-1}\right|_0 ^1+\frac{q-1}{p} \int_0^1 x^p(1-x)^{q-2} \mathrm{~d} x \\
& =\frac{q-1}{p}\left[\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-2} \mathrm{~d} x-\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x\right] \\
& =\frac{q-1}{p} \mathrm{~B}(p, q-1)-\frac{q-1}{p} \mathrm{~B}(p, q),
\end{aligned}
$$

移项整理后就得到递推公式．
由 $\mathrm{B}(p, q)$ 的对称性并结合递推公式可得到，当 $p>1, q>1$ 时，成立

$$
\mathrm{B}(p, q)=\frac{(p-1)(q-1)}{(p+q-1)(p+q-2)} \mathrm{B}(p-1, q-1) .
$$

4．其他表示：
（1）作变量代换 $x=\cos ^2 \varphi$ ，得到

$$
\mathrm{B}(p, q)=2 \int_0^{\pi / 2} \cos ^{2 p-1} \varphi \sin ^{2 q-1} \varphi \mathrm{~d} \varphi
$$

据此可以得到

$$
\mathrm{B}\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)=\pi .
$$

（2）作变量代换 $x=\frac{1}{1+t}$ ，得到

$$
\mathrm{B}(p, q)=\int_0^{+\infty} \frac{t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}} \mathrm{~d} t=\int_0^1 \frac{t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}} \mathrm{~d} t+\int_1^{+\infty} \frac{t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}} \mathrm{~d} t
$$

在最后一个积分中再作变量代换 $t=\frac{1}{u}$ ，得到

$$
\int_1^{+\infty} \frac{t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}} \mathrm{~d} t=\int_0^1 \frac{u^{p-1}}{(1+u)^{p+q}} \mathrm{~d} u
$$

于是

$$
\mathrm{B}(p, q)=\int_0^1 \frac{t^{p-1}+t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}} \mathrm{~d} t(=\mathrm{B}(q, p)) .
$$

## Beta 函数的作用

### 2. 主要作用

Beta 函数的作用可以从以下几个层面来理解：

#### 作用一：计算特定类型的定积分

这是 Beta 函数最直接、最原始的作用。当你遇到形如 $ \int_{0}^{1} t^{a} (1-t)^{b} \, dt $ 的积分时，可以直接将其写为 Beta 函数的形式。

*   **示例**：计算 $ \int_{0}^{1} t^{4} (1-t)^{5} \, dt $
    *   对比定义 $ B(x, y) = \int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt $
    *   这里 $ x-1 = 4 \Rightarrow x = 5 $，$ y-1 = 5 \Rightarrow y = 6 $
    *   所以，$ \int_{0}^{1} t^{4} (1-t)^{5} \, dt = B(5, 6) $
    *   利用 Gamma 函数关系：$ B(5, 6) = \frac{\Gamma(5) \Gamma(6)}{\Gamma(11)} = \frac{4! \times 5!}{10!} = \frac{24 \times 120}{3628800} = \frac{1}{1260} $

通过一个简单的变量代换 $ t = \sin^2 \theta $，Beta 函数还可以用来计算许多三角函数的积分。

*   **示例**：计算 $ \int_{0}^{\pi/2} \sin^{m}(\theta) \cos^{n}(\theta) \, d\theta $
    *   令 $ t = \sin^2 \theta $，经过推导可得：
    *   $ \int_{0}^{\pi/2} \sin^{m}(\theta) \cos^{n}(\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} B(\frac{m+1}{2}, \frac{n+1}{2}) = \frac{1}{2} \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{m+n}{2} + 1)} $

#### 作用二：作为概率统计中的“归一化常数”

这是 Beta 函数在现代科学中极其重要的一个作用。**Beta 分布** 是定义在区间 [0, 1] 上的一个连续概率分布，其概率密度函数（PDF）为：

$$
f(t; \alpha, \beta) = \frac{1}{B(\alpha, \beta)} t^{\alpha-1} (1-t)^{\beta-1}
$$

在这里，**Beta 函数 $ B(\alpha, \beta) $ 的核心作用就是确保这个概率密度函数的积分等于 1**，即起到“归一化常数”的作用。

因为：
$$
\int_{0}^{1} t^{\alpha-1} (1-t)^{\beta-1} \, dt = B(\alpha, \beta)
$$
所以：
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{B(\alpha, \beta)} t^{\alpha-1} (1-t)^{\beta-1} \, dt = \frac{B(\alpha, \beta)}{B(\alpha, \beta)} = 1
$$

这使得 Beta 分布在描述比例、概率等介于 0 和 1 之间的随机变量时非常有用，例如：
*   一个产品的合格率。
*   一次选举中某候选人的支持率。
*   贝叶斯统计中作为二项分布的共轭先验分布。

#### 作用三：连接 Gamma 函数，简化复杂计算

由于 $ B(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} $，我们可以利用这个关系：
1.  **用 Gamma 函数计算 Beta 函数**：Gamma 函数的数值计算通常更成熟，所以计算 $ B(5, 6) $ 时，我们实际上是通过计算 $ \frac{\Gamma(5)\Gamma(6)}{\Gamma(11)} $ 来完成的。
2.  **证明复杂的恒等式**：许多涉及 Gamma 函数和积分的复杂恒等式，通过 Beta 函数作为桥梁可以变得非常简单。例如，计算 $ \Gamma(\frac{1}{2}) $ 的值。
    *   我们知道 $ B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(\frac{1}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(1)} = [\Gamma(\frac{1}{2})]^2 $
    *   同时，根据积分定义 $ B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{t(1-t)}} \, dt $
    *   通过变量代换，可以算出这个积分等于 $ \pi $。
    *   因此，$ [\Gamma(\frac{1}{2})]^2 = \pi \Rightarrow \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} $。

---

### 总结

我们可以将 Beta 函数的作用归纳为一张表：

总而言之，Beta 函数最初是为了解决一类特定的积分问题而被定义的，但它的真正威力在于它与其他特殊函数（尤其是 Gamma 函数）的深刻联系，以及它在概率统计等领域中作为基础构建模块的卓越能力。它把复杂的积分运算包装成了一个简洁、可操作的特殊函数，极大地便利了理论研究和实际计算。

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