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含参变量广义积分

$\S 25.2$ 含参变量广义积分
这里同时需要一元积分学中的广义积分和函数项级数中的一致收敛概念．例如设要讨论含参变量广义积分

$$
F(x)=\int_a^{+\infty} f(x, y) d y
$$

在点 $x_0$ 是否连续．写出

$$
\left|F(x)-F\left(x_0\right)\right|=\left|\int_c^{+\infty}\left[f(x, y)-f\left(x_0, y\right)\right] d y\right|
$$

就可以看出不能简单地将含参变量常义积分中的方法搬到这里来．将上式右边分拆如下

$$
\begin{aligned}
\left|F(x)-F\left(x_0\right)\right| & \leqslant \int_c^d\left|f(x, y)-f\left(x_0, y\right)\right| d y \\
& +\left|\int_d^{+\infty} f(x, y) d y\right|+\left|\int_d^{+\infty} f\left(x_0, y\right) d y\right|
\end{aligned}
$$

就可以看出，问题在于是否可能对于给定的 $\varepsilon>0$ ，当 $d$ 足够大时使得右边的后两项同时小于 $\varepsilon$ ，若可能，则再对右边第一项令 $x$ 和 $x_0$ 充分接近，使得它也小于 $\varepsilon$ 。

再仔细观察右边的后两项。第三项没有困难，由于 $x=x_0$ 时广义积分 $\int_c^{+\infty} f\left(x_0, y\right) d y$ 收敛，因此当 $d$ 充分大时该项可以小于事先给定的 $\varepsilon$ 。困难在于右边的第二项，其中的参变量 $x$ 可以取到 $x_0$ 的一个邻域中的任何值，要使得这一项对于所有这些 $x$ 都充分小，这就需要引进含参变量广义积分的一致收玫概念。

一．含参变量广义积分的一致收敛性
设含参变量 $x$ 的广义积分

$$
F(x)=\int_c^{+\infty} f(x, y) d y
$$

只含有一个奇点 $+\infty$ ，且对于区间 $I$ 上的 $x$ 都收敛．
为了下面讨论的方便，引入余积分（相当于无穷级数中的余项概念）：称

$$
r(x, d)=\int_d^{+\infty} f(x, y) d y
$$

为余积分，它是 $x, d$ 的二元函数，其中 $x \in I, d \geqslant c$ ．
定义 0.1 若对 $\forall \varepsilon>0, \exists d_{\varepsilon} \geqslant c, \forall d \geqslant d_{\varepsilon}, \forall x \in I$ ：
$$
\left|\int_d^{+\infty} f(x, y) d y\right|<\varepsilon
$$

则称以 $+\infty$ 为奇点的含参变量 $x$ 的广义积分 $\int_c^{+\infty} f(x, y) d y$ 在 $x \in I$ 上一致收敛．
例题 0.1 证明：以 $+\infty$ 为奇点的 $I(b)=\int_0^{+\infty} e ^{-x} \sin b x^2 d x$ 在 $b \in(-\infty,+\infty)$上一致收敛。

证 不难直接看出对每个 $b$ 广义积分都收敛。
为证明其一致收敛性，可以对余积分作估计，这样就有

$$
\left|\int_d^{+\infty} e^{-x} \sin b x^2 d x\right| \leqslant \int_d^{+\infty} e^{-x} d x=e^{-d}
$$

可见对 $\forall \varepsilon>0$ ，只要取 $d_{\varepsilon}>\max \left\{0, \ln \frac{1}{\varepsilon}\right\}$ ，就可以对于所有 $d \geqslant d_{\varepsilon}$ 和所有 $b \in(-\infty,+\infty)$ 成立

$$
\left|\int_d^{+\infty} e^{-x} \sin b x^2 d x\right|<\varepsilon
$$

例题 0.2 证明：$F(s)=\int_0^{+\infty} e ^{-s x} \cdot \frac{\sin x}{x} d x$ 在 $s \in[\lambda, M]$ 上一致收敛，其中 $0<\lambda<M$

证 可看出积分对 $s>0$ 总是收玫的．当 $0<\lambda \leqslant s \leqslant M$ 时，对余积分可以估计如下：

$$
\left|\int_d^{+\infty} e^{-s x} \cdot \frac{\sin x}{x} d x\right| \leqslant \int_d^{+\infty} e^{-s x} d x \leqslant \int_d^{+\infty} e^{-\lambda x} d x=\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda d}
$$

可见对 $\forall \varepsilon>0$ ，只要取 $d_{\varepsilon}>\max \left\{0, \frac{1}{\lambda} \ln \frac{1}{\lambda \varepsilon}\right\}$ ，就可以对所有 $d \geqslant d_{\varepsilon}$ 和所有的 $s \in[\lambda, M]$ 成立

$$
\left|\int_d^{+\infty} e^{-s x} \cdot \frac{\sin x}{x} d x\right|<\varepsilon
$$

注 由证明可见，实际上该题的含参变量 $s$ 的广义积分在 $(0,+\infty)$ 中的每一个有界闭子区间上都是一致收敛的，这就称为在 $(0,+\infty)$ 上内闭一致收敛。

同样可以给出有限奇点的含参变量广义积分的一致收敛性定义。不妨设以 $x$为参变量的有界区间上的积分

$$
F(x)=\int_c^d f(x, y) d y
$$

以下限 $c$ 为惟一奇点，并假设该积分对于 $x \in I$ 都收敛．
这时可以定义余积分为

$$
r(x, \delta)=\int_c^{c+\delta} f(x, y) d y
$$

它是 $x$ 和 $\delta$ 的二元函数，其中 $x \in I, \delta \in(0, d-c)$ ．

定义 0.2 若对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_{\varepsilon}>0, \forall \delta \in\left(0, \delta_{\varepsilon}\right], \forall x \in I$ ：

$$
\left|\int_c^{c+\delta} f(x, y) d y\right|<\varepsilon,,
$$

则称以 $c$ 为奇点的含参变量 $x$ 的广义积分 $\int_c^d f(x, y) d y$ 在 $x \in I$ 上一致收玫．
对于含有多个奇点的含参变量积分，当积分在每一个奇点处都一致收玫时才称该积分一致收敛．

例题 0.3 证明：积分 $\Gamma(s)=\int_0^{+\infty} t^{s-1} e ^{-t} d t$ 在 $s \in(0,+\infty)$ 上内闭一致收敛．
解 有两个奇点 0 和 $+\infty$（当 $s \geqslant 1$ 时只有一个奇点 $+\infty$ ），将积分分拆为

$$
\int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-t} d t=\int_0^1 t^{s-1} e^{-t} d t+\int_1^{+\infty} t^{s-1} e^{-t} d t
$$

对于 $0<\lambda \leqslant s \leqslant M$ ，第一个积分的余积分可以估计如下（其中 $0<\delta \leqslant 1$ ）：

$$
\left|\int_0^\delta t^{s-1} e^{-t} d t\right| \leqslant \int_0^\delta t^{\lambda-1} d t=\frac{1}{\lambda} \delta^\lambda
$$

从最后一式当 $\delta \rightarrow 0^{+}$时极限为 0 ，可见第一个积分在 $s \in[\lambda, M]$ 上一致收玫．（注意由于 $0 \leqslant t \leqslant \delta \leqslant 1$ ，因此当 $s \in[\lambda, M]$ 时， $e ^{s-1} \leqslant e ^{\lambda-1}$ ．）

对第二个积分，利用

$$
\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{t^{M-1}}{e^{-t / 2}}=0
$$

因此在 $[1,+\infty)$ 上 $t^{M-1} e ^{-t / 2}$ 有界，即存在 $K>0$ ，使得 $t^{M-1} e ^{-t / 2} \leqslant K \forall t \geqslant 1$ ，于是其余积分可估计如下（其中 $d \geqslant 1$ ）：

$$
\left|\int_d^{+\infty} t^{s-1} e^{-t} d t\right| \leqslant \int_d^{+\infty} t^{M-1} e^{-t} d t \leqslant K \int_d^{+\infty} e^{-t / 2} d t=2 K e^{-d / 2}
$$

从最后一式当 $d \rightarrow+\infty$ 时极限为 0 ，可见第二个积分在 $s \in[\lambda, M]$ 上一致收
例题 0.4 证明例 2 的积分在 $s \in[0,+\infty)$ 上一致收敛
证 此题最好还是在讲了 Cauchy 一致收敛准则后再做．这时顺理成章地估计在区间 $\left[d, d^{\prime}\right]\left(0<d<d^{\prime}\right)$ 上的积分．同时利用 $\frac{1}{ e ^{s x} x}$ 为单调减少的非负函数，直接用积分第二中值定理就有

$$
\left|\int_d^{d^{\prime}} \frac{\sin x}{e^{s x} x} d x\right|=\left|\frac{1}{e^{s d} d} \int_d^{\xi} \sin x d x\right| \leqslant \frac{2}{d},
$$

可见结论成立．
例题 0.5 证明：积分 $F(s)=\int_0^{+\infty} s e ^{-s y} d y$ 在 $s \in[0,1]$ 上不一致收敛．
证 惟一奇点是 $+\infty$ ．用反证法．设积分在 $s \in[0,1]$ 上一致收玫，则对 $\forall \varepsilon>0$ ， $\exists d_{\varepsilon}, \forall d \geqslant d_{\varepsilon}, \forall s \in[0,1]:$

$$
\left|\int_d^{+\infty} s e^{-s y} d y\right|<\varepsilon
$$

若 $s=0$ 则积分显然为 0 ，而当 $s>0$ 时可直接求出为

$$
\int_d^{+\infty} s e^{-s y} d y=-\left.e^{-s y}\right|_{y=d} ^{y \rightarrow+\infty}=e^{-s d}
$$

代入前面的不等式，并令 $s \rightarrow 0^{+}$，得到 $1 \leqslant \varepsilon$ ．这与 $\varepsilon>0$ 可任意小相矛盾．
注 可以证明上述积分在 $s \in(0,1]$ 上内闭一致收敛．

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