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含参变量广义积分

## 含参变量反常积分的一致收敛
含参变量的反常积分也有两种：**无穷区间上的含参变量反常积分和无界函数的含参变量反常积分**．

先考虑前一种情况。设二元函数 $f(x, y)$ 定义在 $[a,+\infty) \times[c, d]$ 上，若对某个 $y_0 \in[c, d]$ ，反常积分 $\int_a^{+\infty} f\left(x, y_0\right) \mathrm{d} x$ 收敛，则称含参变量反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x$ 在 $y_0$ 处收敛，并称 $y_0$ 为它的**收敛点**．记 $E$ 为所有收敛点组成的点集，则 $E$ 就是函数

$$
I(y)=\int_a^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x
$$

的定义域，也称为反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x$ 的**收敛域**．
同样，我们要讨论函数 $I(y)$ 的连续性、可微性和可积性．为此，需要引进一致收敛的概念．（读者可以将这个概念与函数项级数的一致收敛概念相比较．）

**定义15．2．1** 设二元函数 $f(x, y)$ 定义在 $[a,+\infty) \times[c, d]$ 上，且对任意的 $y \in [c, d]$ ，反常积分

$$
I(y)=\int_a^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x
$$

存在．如果对于任意给定的 $\varepsilon>0$ ，存在与 $y$ 无关的正数 $A_0$ ，使得当 $A>A_0$ 时，对于所有的 $y \in[c, d]$ ，成立

$$
\left|\int_a^A f(x, y) \mathrm{d} x-I(y)\right|<\varepsilon,
$$

即

$$
\left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon,
$$

则称 $\int_a^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x$ 关于 $y$ 在 $[c, d]$ 上一致收敛 $($ 于 $I(y))$ 。在参变量明确时，也常简称 $\int_a^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x$ 在 $[c, d]$ 上一致收敛．

同样可以对 $\int_{-\infty}^a f(x, y) \mathrm{d} x$ 或 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x$ 定义关于 $y$ 的一致收敛概念．

###   含参变量广义积分
这里同时需要一元积分学中的广义积分和函数项级数中的一致收敛概念．例如设要讨论含参变量广义积分

$$
F(x)=\int_a^{+\infty} f(x, y) d y
$$

在点 $x_0$ 是否连续．写出

$$
\left|F(x)-F\left(x_0\right)\right|=\left|\int_c^{+\infty}\left[f(x, y)-f\left(x_0, y\right)\right] d y\right|
$$

就可以看出不能简单地将含参变量常义积分中的方法搬到这里来．将上式右边分拆如下

$$
\begin{aligned}
\left|F(x)-F\left(x_0\right)\right| & \leqslant \int_c^d\left|f(x, y)-f\left(x_0, y\right)\right| d y \\
& +\left|\int_d^{+\infty} f(x, y) d y\right|+\left|\int_d^{+\infty} f\left(x_0, y\right) d y\right|
\end{aligned}
$$

就可以看出，问题在于是否可能对于给定的 $\varepsilon>0$ ，当 $d$ 足够大时使得右边的后两项同时小于 $\varepsilon$ ，若可能，则再对右边第一项令 $x$ 和 $x_0$ 充分接近，使得它也小于 $\varepsilon$ 。

再仔细观察右边的后两项。第三项没有困难，由于 $x=x_0$ 时广义积分 $\int_c^{+\infty} f\left(x_0, y\right) d y$ 收敛，因此当 $d$ 充分大时该项可以小于事先给定的 $\varepsilon$

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