最后更新: 2025-10-27 06:17 查看: 427 次纠错评论(0) 课件开VIP

伽玛Gamma 函数与第二类欧拉Euler积分

## Gamma 函数
形如

$$
\boxed{
\Gamma(s)=\int_0^{+\infty} x^{s-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x
}
$$

的含参变量积分称为 **Gamma 函数**，或**第二类 Euler 积分**．
先看它的定义域．将 Gamma 函数写成

$$
\Gamma(s)=\int_0^1 x^{s-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x+\int_1^{+\infty} x^{s-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x,
$$

由反常积分的收敛判别法，当 $s \leqslant 0$ 时，右边第一个反常积分发散，而当 $s>0$ 时，两个反常积分都收敛，因此 Gamma 函数 $\Gamma(s)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ ．

下面叙述 Gamma 函数的性质．

**1.连续性与可导性**：$\Gamma(s)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续且可导．

证明：略

**2．递推公式**：$\Gamma(s)$ 满足

$$
\Gamma(s+1)=s \Gamma(s), \quad s>0
$$

证 利用分部积分法即得到

$$
\Gamma(s+1)=\int_0^{+\infty} x^s \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x=-\int_0^{+\infty} x^s \mathrm{de}^{-x}=-\left.x^s \mathrm{e}^{-x}\right|_0 ^{+\infty}+s \int_0^{+\infty} x^{s-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x=s \Gamma(s)
$$

特别地，当 $s=n$ 为正整数时，

$$
\Gamma(n+1)=n \Gamma(n)=n(n-1) \Gamma(n-1)=\cdots=n!\Gamma(1),
$$

而 $\Gamma(1)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x=1$ ，所以

$$
\Gamma(n+1)=n!.
$$

> **因而 Gamma 函数可以说是阶乘的推广**。

由于 $\Gamma(s)=\frac{\Gamma(s+1)}{s}$ 以及 $\Gamma(1)=1$ ，所以

$$
\lim _{s \rightarrow 0+} \Gamma(s)=+\infty
$$

**3．其他表示**：
（1）在 $\Gamma(s)$ 的表示式中作变量代换 $x=t^2$ ，那么

$$
\Gamma(s)=2 \int_0^{+\infty} t^{2 s-1} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t
$$

据此可知

$$
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=2 \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t=\sqrt{\pi} .
$$

（2）作变量代换 $x=\alpha t(\alpha>0)$ 可得

$$
\Gamma(s)=\alpha^s \int_0^{+\infty} t^{s-1} \mathrm{e}^{-\alpha t} \mathrm{~d} t
$$

**定义域的延拓**：
由于等式

$$
\Gamma(s)=\frac{\Gamma(s+1)}{s}
$$

的右边在 $(-1,0)$ 上有意义，则可以应用上式来定义左边函数 $\Gamma(s)$ 在 $(-1,0)$ 上的值．用同样的方法，再利用 $\Gamma(s)$ 已在 $(-1,0)$ 上定义的值，定义 $\Gamma(s)$ 在 $(-2,-1)$ 上的值．如此继续下去，就可以把 $\Gamma(s)$ 的定义域延拓到

$$
(-\infty,+\infty) \backslash\{0,-1,-2,-3, \cdots\}
$$

上去．$\Gamma(s)$ 的图像如图 15．3．1 所示．易证明 $\lim _{s \rightarrow+\infty} \Gamma(s)=+\infty$

其图像为

![img-text](/uploads/2025-02/59fca8.jpg)

## 伽玛函数的作用
伽玛函数可以认为是阶乘的推广，他在概率论与数理统计里有大量相应，详见 [伽玛分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=960)

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