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Fermat定理
日期:
2023-10-18 14:20
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Fermat定理
Fermat 定理(常译费马定理),是一个函数极值和导数关系的定理。 **定理内容** 如果点 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的极值点,并且 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导,则 $$ f^{\prime}\left(x_0\right)=0 . $$ **证明** 使用函数导数的定义证明。不妨设 $f\left(x_0\right)$ 为极小值,极大值同理。 由此我们知道 $$ \begin{aligned} & \forall x \in U_{+}\left(x_0\right), f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} \geqslant 0 . \\ & \forall x \in U_{-}\left(x_0\right), f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} \leqslant 0 . \end{aligned} $$ 由于 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)=f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ ,所以 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$. ## 推论 1. 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可导,且 $f_{+}^{\prime}(a) f_{-}^{\prime}(b)<0$ ,则存在 $\xi \in(a, b)$ ,使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。 2. 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可导但没有零点,则导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上定号(即 $\forall x \in[a, b], f(x)>0$ 或 $f(x)<0)$ 。(和第一点等价) 3. 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可导,则对任意介于 $f_{+}^{\prime}(x)$ 和 $f_{-}^{\prime}(x)$ 之间的数 $k$ ,存在 $\xi \in(a, b)$ ,使得 $f^{\prime}(\xi)=k($ 导函数的介值定理,Darboux 定理)。 用途 Fermat 定理可以推出 Rolle 定理。
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