最后更新: 2025-02-01 13:20 查看: 330 次反馈刷题

一致收敛判别法

三．一致收敛判别法
这里只讨论以 $+\infty$ 为惟一奇点的含参变量广义积分的一致收玫判别法．
定理 0.1 （Cauchy 一致收敛准则）含参变量 $x$ 的广义积分 $\int_c^{+\infty} f(x, y) d y$ 在 $x \in I$ 上一致收敛的充分必要条件是：对 $\forall \varepsilon>0, \exists d_{\varepsilon}, \forall d, d^{\prime} \geqslant d_{\varepsilon}, \forall x \in I$ ：

$$
\left|\int_d^{d^{\prime}} f(x, y) d y\right|<\varepsilon
$$

定理 0.2 （Weierstrass 判别法）设含参变量 $x$ 的广义积分 $\int_c^{+\infty} f(x, y) d y$在 $x \in I$ 上收玫，又设有非负函数 $F(y), y \geqslant c$ ，使得当 $x \in I, y \geqslant c$ 时成立 $|f(x, y)| \leqslant F(y)$ ，且 $\int_c^{+\infty} F(y) d y$ 收玫，则 $\int_c^{+\infty} f(x, y) d y$ 在 $x \in I$ 上一致收敛．

定理 0.3 （1）Abel 判别法 设 $u(x, y)$ 关于 $y$ 单调，且在 $x \in I$ 和 $y \in[c,+\infty)$上一致有界，又设 $\int_c^{+\infty} v(x, y) d y$ 在 $x \in I$ 上一致收敛，则 $\int_c^{+\infty} u(x, y) v(x, y) d y$ 在 $x \in I$ 上一致收敛．
（2）Dirichlet 判别法 设 $\int_c^{+\infty} u(x, y) d y$ 在 $x \in I$ 上一致收敛，$u(x, y)$ 关于 $y$单调，关于 $x \in I$ 一致收敛于 0 ，又设 $\int_c^d v(x, y) d y$ 在 $x \in I$ 和 $d \in[c,+\infty)$ 上一致有界，则 $\int_c^{+\infty} u(x, y) v(x, y) d y$ 在 $x \in I$ 上一致收敛．

证 利用 $u(x, y)$ 关于 $y$ 单调，在 $c \leqslant d<d^{\prime}$ 时在区间 $\left[d, d^{\prime}\right]$ 上对于积分 $\int_d^{d^{\prime}} u(x, y) v(x, y) d y$ 用积分第二中值定理，则有 $\xi \in\left[d, d^{\prime}\right]$ ，使得成立

$$
\int_d^{d^{\prime}} u(x, y) v(x, y) d y=u(x, d) \int_d^{\xi} v(x, y) d y+u\left(x, d^{\prime}\right) \int_{\xi}^{d^{\prime}} v(x, y) d y,
$$

以下分别利用两个判别法的不同条件作估计．
（1）这时有 $M>0$ ，使得 $|u(x, y)|<M \forall x \in I, \forall y \in[c,+\infty)$ ．又由于 $\int_c^{+\infty} v(x, y) d y$ 在 $x \in I$ 上一致收玫，根据 Cauchy 准则的必要性，对 $\forall \varepsilon>0, \exists d_{\varepsilon}$ ， $\forall d, d^{\prime} \geqslant d_{\varepsilon}, \forall x \in I:$

$$
\left|\int_d^{d^{d^{\prime}}} v(x, y) d y\right|<\frac{\varepsilon}{2 M} .
$$

于是就可以估计得到

$$
\left|\int_d^{d^{\prime}} u(x, y) v(x, y) d y\right| \leqslant 2 M \cdot \frac{\varepsilon}{2 M}=\varepsilon .
$$

再根据 Cauchy 准则的充分性知道 $\int_c^{+\infty} u(x, y) v(x, y) d y$ 在 $x \in I$ 上一致收玫．
（2）从积分 $\int_c^d v(x, y) d y$ 在 $x \in I, d \in[c,+\infty)$ 上一致有界的条件知存在 $M>0$ ，使得对于 $\forall d \geqslant c, \forall x \in I$ ，成立 $\left|\int_c^d v(x, y) d y\right|<M$ 。于是 $\forall d, d^{\prime} \geqslant c$ ， $\forall x \in I$ ，就有

$$
\left|\int_d^{d^{\prime}} v(x, y) d y\right|=\left|\int_a^d v(x, y) d y-\int_a^{d^{d^{\prime}}} v(x, y) d y\right|<2 M .
$$

再利用 $\lim _{y \rightarrow+\infty} u(x, y)=0$ 在 $x \in I$ 上一致成立，对 $\forall \varepsilon>0, \exists d_{\varepsilon} \geqslant c, \forall d \geqslant d_{\varepsilon}$ ， $\forall x \in I:|u(x, y)|<\frac{\varepsilon}{4 M}$ ．于是可以从前面的等式估计得到

$$
\left|\int_d^{d^{\prime}} u(x, y) v(x, y) d y\right| \leqslant 2 \cdot \frac{\varepsilon}{4 M} \cdot 2 M=\varepsilon .
$$

再根据 Cauchy 准则的充分性知道 $\int_c^{+\infty} u(x, y) v(x, y) d y$ 在 $x \in I$ 上一致收敛。
现在回顾上面的例 4 ，可以看出，由于广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ 收玫，且与参变量无关，而另一个因子 $e ^{-s x}$ 在 $x \in[0,+\infty)$ 上单调减少，且关于 $s \in[0,+\infty)$ 一致成立 $0 \leqslant e ^{-s x} \leqslant 1$ ，因此用 Abel 判别法就可以得到例 4 所要的结论，记含参变量广义积分

$$
\int_0^{+\infty} e^{-s x} \cdot \frac{\sin x}{x} d x
$$

对于 $s \in[0,+\infty)$ 一致收敛．
其实在例 4 的解题过程中就已经用了积分第二中值定理，因此本质上和用 Abel 判别法是相同的．

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